Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/22/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
Punkte 3 3 2 2 3 4 4 4 5 3 4 5 3 3 4 2 3 3 4 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Der Durchschnitt von Mengen und .
  2. Die Konvergenz einer reellen Folge gegen .
  3. Der Logarithmus zur Basis , , einer positiven reellen Zahl .
  4. Der Differenzenquotient zu einer Funktion in einem Punkt .
  5. Das bestimmte Integral zu einer Riemann-integrierbaren Funktion
  6. Eine Linearkombination in einem -Vektorraum.


Lösung

  1. Die Menge

    heißt der Durchschnitt der beiden Mengen.

  2. Die Konvergenz gegen bedeutet, dass es zu jedem reellen ein derart gibt, dass für alle die Abschätzung

    gilt.

  3. Der Logarithmus zur Basis , , von ist durch

    definiert.

  4. Zu , , heißt die Zahl

    der Differenzenquotient von zu und .

  5. Das nach Voraussetzung existierende Oberintegral zu über heißt bestimmtes Integral.
  6. Es sei eine Familie von Vektoren in . Dann heißt der Vektor

    eine Linearkombination dieser Vektoren


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die stetige Umkehrfunktion.
  2. Die Periodizätseigenschaften für Sinus und Kosinus (ohne spezielle Werte).
  3. Der Satz über lineare Abbildungen zwischen gleichdimensionalen Vektorräumen.


Lösung

  1. Es sei ein Intervall und

    eine stetige,streng wachsende Funktion. Dann ist das Bild ebenfalls ein Intervall, und die Umkehrabbildung

    ist ebenfalls stetig.
  2. Die Sinusfunktion und die Kosinusfunktion erfüllen in folgende Periodizitätseigenschaften.
    1. Es ist und für alle .
    2. Es ist und für alle .
    3. Es ist und für alle .
  3. Es sei ein Körper und es seien und Vektorräume über der gleichen Dimension . Es sei
    eine lineare Abbildung. Dann ist genau dann injektiv, wenn surjektiv ist.


Aufgabe (2 Punkte)

Erläutere das Prinzip Beweis durch Widerspruch.


Lösung

Man möchte eine Aussage beweisen. Man nimmt an, dass nicht gilt. Daraus leitet man durch logisch korrektes Schließen einen Widerspruch her. Somit kann nicht gelten und also muss gelten.


Aufgabe (2 Punkte)

Es sei eine natürliche Zahl. Wann ist die Zahl eine Primzahl?


Lösung

Es gilt generell die Zerlegung

Bei sind beide Faktoren und daher kann nicht prim sein. Bei ist

eine Primzahl. Bei liegt keine Primzahl vor.


Aufgabe (3 Punkte)

Heidi Gonzales beschließt, sich eine Woche lang ausschließlich von Heidelbeeren zu ernähren, und ihre Nahrungszufuhr gleichmäßig über ihre Wachzeit (16 Stunden pro Tag) zu verteilen. Ihr Kalorienbedarf liegt bei kcal und Gramm Heidelbeeren enthalten kcal. Eine mittlere Heidelbeere wiegt Gramm. In welchem Abstand muss sie sich eine Heidelbeere einwerfen?


Lösung

Heidi muss pro Tag mal Gramm Heidelbeeren essen, also Kilogramm. Wegen sind das Heidelbeeren pro Tag. Die Stunden haben Sekunden. Es ist . Sie muss also alle Sekunden eine Heidelbeere essen.


Aufgabe (4 Punkte)

Beweise durch Induktion, dass für

die Abschätzung

gilt.


Lösung

Induktionsanfang für . Es ist

Zum Induktionsschluss sei . Dann ist
Andererseits ist nach der binomischen Formel

Wir müssen

nachweisen. Der erste Summand stimmt links und rechts überein, für die anderen Summanden zeigen wir, dass die linken, also jeweils , mindestens so groß wie die rechten sind. Dies folgt aber direkt aus (da ), aus , da ja ist, aus und aus .


Aufgabe (4 Punkte)

Man finde ein Polynom von minimalem Grad mit


Lösung

Es muss ein interpolierendes Polynom vom Grad geben, wir können also den Ansatz

machen, wobei wegen der ersten Bedingung direkt gilt. Die übrigen Interpolationspunkte liefern das lineare Gleichungssystem

ergibt

und ergibt

bzw.

Daraus folgt und und damit auch . Das interpolierende Polynom minimalen Grades ist also


Aufgabe (4 Punkte)

Beweise das Quotientenkriterium für Reihen.


Lösung

Die Konvergenz ändert sich nicht, wenn man endlich viele Glieder ändert. Daher können wir annehmen. Ferner können wir annehmen, dass alle nichtnegative reelle Zahlen sind. Es ist

Somit folgt die Konvergenz aus dem Majorantenkriterium und der Konvergenz der geometrischen Reihe.


Aufgabe (5 Punkte)

Zeige, dass die Funktion
mit
nur im Nullpunkt stetig ist.


Lösung

Sei zunächst und vorgegeben. Dann kann man setzen, denn aus folgt wegen oder auch . Sei nun . Wir zeigen, dass man für kein mit der Abschätzungseigenschaft für die Stetigkeit finden kann. Sei hierzu vorgegeben und sei . Wenn rational ist, so wählen wir eine irrationale Zahl , wenn irrational ist, so wählen wir eine rationale Zahl . Im ersten Fall gilt

im zweiten Fall gilt

so dass in beiden Fällen die -Umgebung von nicht in die -Umgebung von abgebildet wird.


Aufgabe (3 Punkte)

Gibt es eine reelle Zahl, die in ihrer vierten Potenz, vermindert um das Doppelte ihrer dritten Potenz, gleich dem Negativen der Quadratwurzel von ist?


Lösung

Es geht um eine reelle Lösung für die Gleichung

Für und ist , es kann also allenfalls in eine Lösung geben. Dazu bestimmen wir, wo die Funktion ihr Minimum annimmt. Für die Ableitung gilt

An den beiden Nullstellen und sind die Werte

und

Also ist das Minimum von größer als und es gibt keine Lösung.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

eine Funktion, die die Funktionalgleichung

für alle erfülle und die in differenzierbar sei. Zeige, dass dann in jedem Punkt differenzierbar ist und die Beziehung mit einem festen gilt.


Lösung

Bei ist , so dass die Nullfunktion vorliegt, die die angegebene Ableitungseigenschaft (mit einem beliebigen ) erfüllt. Sei also . Dann ist wegen . Der Differenzenquotient ist

Der rechte Faktor ist der Differenzenquotient im Nullpunkt. Dieser konvergiert nach Voraussetzung für gegen . Also konvergiert der Differenzenquotient gegen und die Ableitungseigenschaft ist mit erfüllt.


Aufgabe (5 Punkte)

Beweise den Satz über die Ableitung in einem Extremum.


Lösung

Wir können annehmen, dass ein lokales Maximum in besitzt. Es gibt also ein mit für alle . Es sei eine Folge mit , die gegen („von unten“) konvergiere. Dann ist und und somit ist der Differenzenquotient

was sich dann nach Lemma 7.11 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)) auf den Limes, also den Differentialquotienten, überträgt. Also ist . Für eine Folge mit gilt andererseits

Daher ist auch und somit ist insgesamt .


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme das Taylor-Polynom der Ordnung zur rationalen Funktion

im Entwicklungspunkt .


Lösung

Nach der Quotientenregel ist

und

Es ist

und

Somit ist das gesuchte Taylor-Polynom gleich


Aufgabe (3 Punkte)

Beweise den Satz über die Stammfunktion der Umkehrfunktion.


Lösung

Ableiten unter Verwendung von Lemma 14.7 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)) und Satz 14.8 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)) ergibt


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme den Durchschnittswert der Quadratwurzel für . Vergleiche diesen Wert mit der Wurzel des arithmetischen Mittels von und und mit dem arithmetischen Mittel der Wurzel von und der Wurzel von .


Lösung

Es ist

Der Durchschnittswert ist also

Das arithmetische Mittel von und ist , die Wurzel davon ist . Wegen

ist

Die Quadratwurzeln von bzw. sind bzw. und das arithmetische Mittel davon ist . Wegen

ist dies kleiner als . Insgesamt gilt also


Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die Punktrichtungsform für die durch die Gleichung

im gegebene Gerade.


Lösung

Es ist eine Lösung der Gleichung, die wir als Aufpunkt nehmen können. Der Vektor ist eine Lösung der zugehörigen homogenen Gleichung. Somit ist

eine Beschreibung der Geraden in Punktrichtungsform.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein Körper und es seien und Vektorräume über der Dimension bzw. . Es sei

eine lineare Abbildung, die bezüglich zweier Basen durch die Matrix beschrieben werde. Zeige, dass

gilt.


Lösung Lineare Abbildung/Matrix bzgl. Basis/Rang/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein Körper und sei

ein von verschiedener Vektor. Man finde ein lineares Gleichungssystem in Variablen mit Gleichungen, dessen Lösungsraum genau

ist.


Lösung Man beachte, dass der Lösungsraum eines linearen Gleichungssystems ein affiner Unterraum der Form ist, wobei eine spezielle Lösung ist, also gilt. Im Falle dieser Aufgabe sucht man eine Matrix , sodass diese genau den durch den Vektor aufgespannten Unterraum (hier eine Gerade!) besitzt. Nach der Vorüberlegung kann wegen der hier speziellen Form der Lösungsmenge nur ein Element aus dem Kern von sein und wir können ohne Einschränkung, wählen. Wählen wir , so ist die (eindimensionale) Lösungsmenge also genau der Kern von . Nach der Dimensionsformel für lineare Abbildungen gilt

da linear ist. Aus Dimensionsgründen muss gelten. Da die Spalten von nun aufspannen, sind -viele davon linear unabhängig. Daher genügt es, eine Matrix mit mit dem von aufgespannten Unterraum als . Da der Vektor nicht der Nullvektor ist, existieren linear unabhängige zu orthogonale Vektoren (siehe unten für Details!). Das bedeutet, dass für . Wählt man die als -te Zeile von (), so gilt für alle , womit das lineare Gleichungssystem den geforderten Lösungsraum besitzt.

Die Zeilen von können wir so wählen, dass für zwei aufeinanderfolgenden Einträge und von für das Skalarprodukt stets für geeignete gilt. Zur Konstruktion: Vorerst wählen wir und anschließend den -ten und den -ten Eintrag und von geeignet; es sind drei mögliche Fälle für zwei aufeinanderfolgende Einträge von möglich. Die Vektoren für können wie folgt gewählt werden:

1. Fall:

Sind und beide von Null verschieden, so wählt man als und als .

2. Fall:

Sind und beide Null, so wählt man und beiden von Null verschieden, bspw. beide .

3. Fall:

Ist genau einer der beiden Einträge von und von Null verschieden, so wählt man, falls dies ist, und von Null verschieden, bspw. . Falls aber gilt, so wählt man den und von Null verschieden, bspw. .


Da alle anderen Einträge von Null sind, erkennt man leicht die Gültigkeit von für . Die lineare Unabhängigkeit von liest man direkt der Matrix mit den Zeilen ab, da diese (wenn man sich als Zeile eine Nullzeile hinzudenkt) eine obere Dreiecksmatrix, keine der Zeilen ein Nullvektor ist und keine zwei aufeinanderfolgenden Zeilen und identisch bzw. Vielfache voneinander sein können, wobei letzteres unter Beachtung der obigen drei Fälle leicht verifiziert werden kann.

Alternativ überlegt man sich unter Beachtung der drei Fälle, dass keine Spalte von eine Nullspalte ist und jeder Vektor aus dem als Linearkombination von den Spalten von dargestellt werden kann, womit, wegen der Surjekivität von aus der Dimensionsformel folgt. Nach Konstruktion ist und aus Dimensionsgründen ist der von aufgespannte Unterraum genau , also die Lösungsmenge von .


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass das charakteristische Polynom zu einer linearen Abbildung auf einem endlichdimensionalen -Vektorraum wohldefiniert ist, also unabhängig von der gewählten Basis.


Lösung

Es seien und die beschreibenden Matrizen von bezüglich zweier Basen. Dann besteht zwischen ihnen die Beziehung

mit der invertierbaren Basiswechselmatrix . Es besteht die Beziehung

da die Streckungsmatrizen mit jeder Matrix vertauschbar sind. Aufgrund des Determinantenmultiplikationssatz gilt daher