Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/54/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
Punkte 3 3 2 2 3 5 6 3 3 3 1 7 3 5 3 3 3 6 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine Teilmenge einer Menge .
  2. Der Grad eines Polynoms , , über einem Körper .
  3. Die Stetigkeit einer Funktion

    in einem Punkt .

  4. Das Treppenintegral zu einer Treppenfunktion

    auf einem Intervall zur Unterteilung und den Werten , .

  5. Eine lineare Abbildung

    zwischen zwei -Vektorräumen und .

  6. Der Spaltenrang einer -Matrix über einem Körper .


Lösung

  1. Man sagt, dass die Menge eine Teilmenge von ist, wenn jedes Element von auch ein Element von ist.
  2. Der Grad eines von verschiedenen Polynoms

    mit ist .

  3. Man sagt, dass stetig im Punkt ist,wenn es zu jedem ein derart gibt, dass für alle mit die Abschätzung gilt.
  4. Das Treppenintegral von ist durch

    definiert.

  5. Eine Abbildung

    heißt lineare Abbildung, wenn die beiden folgenden Eigenschaften erfüllt sind.

    1. für alle .
    2. für alle und .
  6. Man nennt die Dimension des von den Spalten erzeugten Untervektorraums von den (Spalten-)Rang der Matrix .


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Das Majorantenkriterium für eine Reihe von reellen Zahlen.
  2. Der Satz über die Taylorreihe einer Potenzreihe.
  3. Der Satz über Vektoren in einem -dimensionalen -Vektorraum .


Lösung

  1. Sei eine konvergente Reihe von reellen Zahlen und eine Folge reeller Zahlen mit für alle . Dann ist die Reihe
    absolut konvergent.
  2. Es sei eine Potenzreihe, die auf dem Intervall konvergiere, und es sei

    die dadurch definierte

    Funktion. Dann ist unendlich oft differenzierbar und die Taylorreihe im Entwicklungspunkt stimmt mit der vorgegebenen Potenzreihe überein.
  3. Es sei ein Körper und ein -Vektorraum mit endlicher Dimension . Für Vektoren in sind folgende Eigenschaften äquivalent.
    1. bilden eine Basis von .
    2. bilden ein Erzeugendensystem von .
    3. sind linear unabhängig.


Aufgabe (2 Punkte)

Erläutere das Prinzip Beweis durch Widerspruch.


Lösung

Man möchte eine Aussage beweisen. Man nimmt an, dass nicht gilt. Daraus leitet man durch logisch korrektes Schließen einen Widerspruch her. Somit kann nicht gelten und also muss gelten.


Aufgabe (2 Punkte)

Eine Schokolade ist ein rechteckiges Raster, das aus rechteckigen Teilstücken besteht ( beziehe sich auf die Länge). Die Teilstücke sind durch Längsrillen und durch Querrillen voneinander abgetrennt. Der Abstand der Längsrillen sei und der Abstand der Querrillen sei . Was ist der Flächeninhalt der Schokolade? Wie lang ist die Gesamtrille?


Lösung

Die Länge der Schokolade ist und die Höhe ist , deshalb ist der Flächeninhalt der Schokolade gleich .

Es gibt Längsrillen, die jeweils die Länge haben, und es gibt Querrillen, die jeweils die Länge haben. Die gesamte Länge der Rillen ist daher


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei eine endliche Menge und eine Abbildung. Es sei die -fache Hintereinanderschaltung von mit sich selbst. Zeige, dass es natürliche Zahlen mit gibt.


Lösung

Da endlich ist, ist auch die Abbildungsmenge endlich, da es für jedes Element nur viele Möglichkeiten gibt, wohin es abgebildet werden kann. Die Hintereinanderschaltungen , , gehören alle zu dieser Abbildungsmenge. Da es keine injektive Abbildung von in eine endliche Menge gibt, gibt es Zahlen mit


Aufgabe (5 Punkte)

Auf dem kürzlich entdeckten Planeten Trigeno lebt eine rechenbegabte Spezies. Sie verwenden wie wir die rationalen Zahlen mit „unserer“ Addition und Multiplikation. Sie verwenden ferner eine Art „Ordnung“ auf den rationalen Zahlen, die sie mit bezeichnen. Diese trigenometrische Ordnung stimmt mit unserer Ordnung überein, wenn beide Zahlen sind. Dagegen gilt bei ihnen

für jede rationale Zahl . Die renommierte Ethnomathematikerin Dr. Eisenbeis vermutet, dass dies damit in Zusammenhang steht, dass sie die als heilig verehren.

Zeige, dass die folgenden Eigenschaften erfüllt.

  1. Für je zwei Elemente gilt entweder oder oder .
  2. Aus und folgt (für beliebige ).
  3. Aus und folgt .
  4. Aus und folgt .

Welche Eigenschaft eines angeordneten Körpers erfüllt nicht?


Lösung

Sämtliche Eigenschaften gelten, wenn jeweils die nicht vorkommt, da dann mit übereinstimmt und von diese Eigenschaften bekannt sind. Wir müssen also jeweils nur Situationen betrachten, wo vorkommt.

  1. Bei gilt , deshalb gilt die Eigenschaft.
  2. Wenn ist wegen die Aussage klar. Wenn ist, so ist auch und in diesem Fall ist auch .
  3. Die Voraussetzung gilt nur bei

    in diesem Fall ist aber auch .

  4. Ebenso.

Es gilt nicht die Eigenschaft

Aus folgt . Andernfalls würde wegen auch

gelten, was aber nicht gilt.


Aufgabe (6 (1+4+1) Punkte)

Es sei

  1. Finde eine ganzzahlige Nullstelle von .
  2. Finde sämtliche reellen Nullstellen von .
  3. Bestimme eine Zerlegung von in Linearfaktoren.


Lösung

  1. Es ist

    somit ist eine Nullstelle von .

  2. Mit einer Division mit Rest ergibt sich

    Es geht also noch um die Nullstellen von . Diese sind

  3. Es ist


Aufgabe (3 Punkte)

Eine Bahncard , mit der man ein Jahr lang Prozent des Normalpreises einspart, kostet Euro und eine Bahncard , mit der man ein Jahr lang Prozent des Normalpreises einspart, kostet Euro. Für welchen Jahresgesamtnormalpreis ist keine Bahncard, die Bahncard oder die Bahncard die günstigste Option?


Lösung

Es sei der Gesamtnormalpreis. Mit BC25 hat man die Kosten

und mit BC50 hat man die Kosten

Die Bedingung

führt auf

Die Bedingung

führt auf

Die Bedingung

führt auf

also

Also ist für keine Bahncard die günstigste Option, für ist die BC25 die günstigste Option und für ist die BC50 die günstigste Option.


Aufgabe (3 Punkte)

Untersuche die Folge

auf Konvergenz. Verwende, dass gegen konvergiert.


Lösung

Es ist

Daher ist

Da und somit auch das Quadrat davon gegen konvergiert, konvergiert die Folge gegen .


Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass die harmonische Reihe divergiert.


Lösung

Für die Zahlen ist

Daher ist

Damit ist die Folge der Partialsummen unbeschränkt und kann nach Lemma 7.9 (Mathematik_für_Anwender_(Osnabrück_2019-2020)) nicht konvergent sein.


Aufgabe (1 Punkt)

Erstelle eine Kreisgleichung für den Kreis im mit Mittelpunkt , der durch den Punkt läuft.


Lösung

Der Abstand der beiden Punkte ist

Die Kreisgleichung ist somit


Aufgabe (7 Punkte)

Beweise den Satz über die Ableitung und das Wachstumsverhalten einer Funktion .


Lösung

(1). Es genügt, die Aussagen für wachsende Funktionen zu beweisen. Wenn wachsend ist, und ist, so gilt für den Differenzenquotienten

für jedes mit . Diese Abschätzung gilt dann auch für den Grenzwert, und dieser ist .
Sei umgekehrt die Ableitung .    Nehmen wir an, dass es zwei Punkte in mit gibt. Aufgrund des Mittelwertsatzes gibt es dann ein mit mit

 im Widerspruch zur Voraussetzung.

(2). Es sei nun mit nur endlich vielen Ausnahmen.  Angenommen es wäre für zwei Punkte . Da nach dem ersten Teil wachsend ist, ist auf dem Intervall konstant. Somit ist auf diesem gesamten Intervall, ein Widerspruch dazu, dass nur endlich viele Nullstellen besitzt.


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die Taylorentwicklung der Funktion

im Punkt bis zum Grad .


Lösung

Die ersten beiden Ableitungen von sind

und

Somit ist

Somit ist die Taylorentwicklung in bis zum Grad gleich


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ein reelles Intervall und sei

eine stetige Funktion. Es sei und es sei

die zugehörige Integralfunktion. Zeige, dass dann differenzierbar ist und dass für alle gilt.


Lösung

Es sei fixiert. Der Differenzenquotient ist

Wir müssen zeigen, dass für der Limes existiert und gleich ist. Nach dem Mittelwertsatz der Integralrechnung gibt es zu jedem ein mit

und damit ist

Für konvergiert gegen und wegen der Stetigkeit von konvergiert gegen .


Aufgabe (3 Punkte)

Drücke in den Vektor

als Linearkombination der Vektoren

aus.


Lösung

Es geht darum, das lineare Gleichungssystem

zu lösen. Wir eliminieren mit Hilfe der zweiten Gleichung die Variable aus der ersten und dritten Gleichung. Das resultierende System ist

Wir eliminieren nun die Variable , aus der dritten Gleichung

Wir können jetzt dieses System lösen. Es ist

und

Also ist


Aufgabe (3 Punkte)

Beweise den Satz über die Anzahl von Basiselementen.


Lösung

Es seien und zwei Basen von . Aufgrund des Basisaustauschsatzes, angewandt auf die Basis und die linear unabhängige Familie ergibt sich . Wendet man den Austauschsatz umgekehrt an, so folgt , also insgesamt .


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die inverse Matrix zu


Lösung


Aufgabe (6 (2+3+1) Punkte)

Wir betrachten die lineare Abbildung

die bezüglich der Standardbasis durch die Matrix

beschrieben wird.

a) Bestimme das charakteristische Polynom und die Eigenwerte von .

b) Berechne zu jedem Eigenwert einen Eigenvektor.

c) Stelle die Matrix für bezüglich einer Basis aus Eigenvektoren auf.


Lösung

a) Das charakteristische Polynom ist

und die Eigenwerte von sind .

b) Wir bestimmen für jeden Eigenwert einen Eigenvektor.

:

Wir müssen ein nichttriviales Element im Kern von

bestimmen. Da gehört dazu.

:

Dies führt auf

Wir wählen und und erhalten , also ist

ein Eigenvektor zum Eigenwert .

:

Dies führt auf

Mit und ist die mittlere Zeile erfüllt. Die erste Zeile wird dann zu

und daher ist

Somit ist

ein Eigenvektor zum Eigenwert .

c) Bezüglich einer Basis aus Eigenvektoren besitzt die beschreibende Matrix die Gestalt