Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/9/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Punkte 3 3 4 3 7 5 2 3 3 2 5 10 5 2 3 4 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die Produktmenge aus zwei Mengen und .
  2. Ein archimedisch angeordneter Körper .
  3. Der Grad eines Polynoms , , über einem Körper .
  4. Eine gerade Funktion .
  5. Der -te Standardvektor im .
  6. Der Rang einer linearen Abbildung

    zwischen endlichdimensionalen -Vektorräumen und .


Lösung

  1. Man nennt die Menge

    die Produktmenge der Mengen und .

  2. Ein angeordneter Körper heißt archimedisch angeordnet, wenn es zu jedem eine natürliche Zahl mit
    gibt.
  3. Der Grad eines von verschiedenen Polynoms

    mit ist .

  4. Eine Funktion heißt gerade, wenn für alle die Gleichheit

    gilt.

  5. Der Vektor

    wobei die an der -ten Stelle steht, heißt -ter Standardvektor.

  6. Unter dem Rang einer linearen Abbildung versteht man


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Fundamentalsatz der Algebra.
  2. Die Taylor-Abschätzung.
  3. Der Satz über die Beschreibung einer linearen Abbildung bei einem Basiswechsel.


Lösung

  1. Jedes nichtkonstante Polynom über den komplexen Zahlen besitzt eine Nullstelle.
  2. Es sei ein beschränktes abgeschlossenes Intervall,

    eine -mal stetig differenzierbare Funktion, ein innerer Punkt und . Dann gilt zwischen und dem -ten Taylor-Polynom die Fehlerabschätzung

  3. Es sei ein Körper und es seien und endlichdimensionale -Vektorräume. Es seien und Basen von und und Basen von . Es sei

    eine lineare Abbildung, die bezüglich der Basen und durch die Matrix beschrieben werde. Dann wird bezüglich der Basen und durch die Matrix

    beschrieben, wobei und die Übergangsmatrizen sind, die die Basiswechsel von nach und von nach

    beschreiben.


Aufgabe (4 Punkte)

Es seien und Mengen und seien und Teilmengen. Zeige die Gleichheit


Lösung

Wir zeigen die beiden Inklusionen. Sei zunächst

Dies bedeutet

und

Dies bedeutet einerseits und andererseits . Also ist .

Wenn umgekehrt gilt, so ist und . Wegen der Teilmengenbeziehungen und ist

und

und damit auch


Aufgabe (3 Punkte)

Erläutere Vor- und Nachteile des axiomatischen Aufbaus der Mathematik.


Lösung Axiomatischer Aufbau/Vor- und Nachteile/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (7 (1+1+2+3) Punkte)

Der Planet Trigeno wird von einer einzigen Tierart bevölkert, den Trigos. Diese Tierart besitzt drei Geschlechter: Antilopen (A), Büffel (B) und Cnus (C). Bei der Paarung treffen zwei Individuen zusammen und erzeugen ein neues Individuum. Wenn das Paar gleichgeschlechtlich ist, so ist das Ergebnis wieder dieses Geschlecht, wenn das Paar gemischtgeschlechtlich ist, so ist das Ergebnis das dritte unbeteiligte Geschlecht. Alle Tiere gehören einer eindeutigen Generation an.

  1. Die -te Generation bestehe nur aus einem einzigen Geschlecht. Zeige, dass jede weitere Generation auch aus diesem Geschlecht besteht.
  2. Die -te Generation bestehe nur aus zwei Individuen unterschiedlichen Geschlechts. Zeige, dass diese Geschlechter mit ihrer Generation aussterben.
  3. Es gelte nun die zusätzliche Bedingung, dass jedes Paar nur einen Nachkommen erzeugen darf. Zeige, dass die Tierart genau dann aussterben muss, wenn es in einer Generation nur zwei oder weniger Individuen gibt.
  4. Es gelte nun die zusätzliche Bedingung, dass jedes Paar nur einen Nachkommen erzeugen darf, und in jeder Generation gebe es genau drei Individuen. Beschreibe die möglichen Generationsabfolgen. Welche Periodenlängen treten auf?


Lösung

  1. Wenn die Generation nur aus dem Geschlecht besteht, so sind nur Paarungen innerhalb dieses Geschlechts möglich und das Ergebnis gehört stets diesem Geschlecht an. Mit Induktion folgt, dass dies über alle folgenden Generationen so bleibt.
  2. Die Generation bestehe aus einem Individuum des Geschlechts und aus einem Individuum des Geschlechts . Die Folgegeneration besteht dann ausschließlich aus dem dritten Geschlecht und nach Teil (1) überträgt sich das auf alle folgenden Generationen.
  3. Wenn es nur ein oder kein Individuum gibt, so ist keine Paarung möglich und die nächste Generation ist leer. Wenn es zwei Individuen gibt, so ist nur eine Paarung möglich und es gibt nur einen Nachkommen, der sich allein nicht fortpflanzen kann. Wenn es dagegen mindestens drei Individuen, egal welchen Geschlechts, gibt, so sind auch mindestens drei Paarungen möglich und die nächste Generation besitzt mindestens wieder drei Individuen.
  4. Wenn drei gleichgeschlechtliche Individuen in einer Generation leben, so erzeugen die drei möglichen Paare stets wieder ebendieses Geschlecht. Die Möglichkeiten sind oder oder und die Periodenlänge ist . Wenn drei unterschiedliche Geschlechter vertreten sind, so ist jedes Geschlecht durch genau ein Individuum vertreten, es liegt also vor. Die drei Paarungen führen dann wieder zu und die Periodenlänge ist ebenfalls . Wenn ein Geschlecht durch zwei Individuen vertreten ist und ein zweites Geschlecht durch ein Individuum, sagen wir , so wird daraus und daraus und daraus . Die Periodenlänge ist also . Von diesem Typ gibt es zwei Generationsabfolgen, nämlich die mit (mit und ) und die mit (mit und ).


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei

ein normiertes Polynom über einem Körper . Es seien drei (verschiedene) Zahlen aus . Zeige, dass diese drei Zahlen genau dann Nullstellen von sind, wenn sie das Gleichungssystem

erfüllen.


Lösung

Nach Lemma 6.5 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)) ist eine Zahl genau dann eine Nullstelle von , wenn ein Linearfaktor von ist. Da verschieden sind, sind diese drei Zahlen Nullstellen von genau dann, wenn

ist. Wenn man dieses Produkt ausrechnet, so erhält man

Dies stimmt mit genau dann überein, wenn es koeffizientenweise damit übereinstimmt, wenn also gleichzeitig

gilt. Dies ist das angegebene Gleichungssystem.


Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ein angeordneter Körper und . Zeige, dass auch das inverse Element positiv ist.


Lösung

Nehmen wir an, dass nicht größer als ist. Dann ist

und somit wäre nach Fakt *****  (6) sofort

im Widerspruch zu Fakt *****  (1).


Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass die harmonische Reihe divergiert.


Lösung

Für die Zahlen ist

Daher ist

Damit ist die Folge der Partialsummen unbeschränkt und kann nach Lemma 7.9 (Mathematik_für_Anwender_(Osnabrück_2019-2020)) nicht konvergent sein.


Aufgabe (3 (1+1+1) Punkte)

Es sei eine stetige Funktion. Zeige die folgenden Aussagen.

  1. Die Funktion ist durch ihre Werte auf eindeutig festgelegt.
  2. Der Funktionswert ist durch die Funktionswerte , , festgelegt.
  3. Wenn für alle die Abschätzung

    gilt, so gilt auch


Lösung

  1. Nach Fakt ***** gibt es für jede reelle Zahl eine Folge von rationalen Zahlen (sogar von Dezimalbrüchen), die gegen konvergiert. Wegen der Stetigkeit und Lemma 10.5 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)) ist dann
  2. Für jedes ist

    Da die Folge der Stammbrüche eine Nullfolge ist, konvergiert diese Folge gegen . Wegen der Stetigkeit und Lemma 10.5 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)) ist wieder

  3. Dies folgt aus Teil (2) und Fakt *****.


Aufgabe (2 Punkte)

Es sei

eine bijektive differenzierbare Funktion mit für alle und der Umkehrfunktion . Was ist an folgendem „Beweis“ für die Ableitung der Umkehrfunktion nicht korrekt?

Es ist

Mit der Kettenregel erhalten wir durch beidseitiges Ableiten die Gleichung

Also ist


Lösung

Die Kettenregel setzt voraus, dass beide Abbildungen differenzierbar sind, das weiß man hier aber von nicht.


Aufgabe (5 Punkte)

Beweise den zweiten Mittelwertsatz der Differentialrechnung.


Lösung

Die Aussage

folgt aus Satz 15.4 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)). Wir betrachten die Hilfsfunktion

Es ist

Also ist und Satz 15.4 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)) liefert die Existenz eines mit

Umstellen ergibt die Behauptung.


Aufgabe (10 (1+2+3+4) Punkte)

Wir betrachten die Funktion

mit

  1. Bestimme die erste und die zweite Ableitung von .
  2. Bestimme die Taylor-Entwicklung von im Punkt vom Grad .
  3. Bestimme die Nullstellen von .
  4. Bestimme die lokalen Extrema von .


Lösung

  1. Es ist

    und

  2. Es ist

    und

    Die Taylorentwicklung im Punkt vom Grad ist daher

  3. Es ist eine Nullstelle von , wir behaupten, dass dies die einzige Nullstelle ist. Wegen können wir annehmen. Die Gleichung

    bzw. führt über den natürlichen Logarithmus auf und auf

    Die Ableitung von ist

    Für ist dies negativ und für ist dies positiv. Somit ist unterhalb von streng fallend und oberhalb von streng wachsend und das Minimum liegt in mit dem Wert vor. Der Wert wird also von und damit auch von nur einmal angenommen.

  4. Wegen

    liegen bei und bei Nullstellen der Ableitung vor. Wegen

    liegt in ein lokales isoliertes Minimum mit dem Wert vor, das auch ein globales Minimum ist, da der Wert nirgendwo sonst angenommen wird. Wegen

    liegt au der Stelle ein lokales isoliertes Maximum vor. Wir behaupten, dass die Ableitung keine weitere Nullstelle besitzt. Die Bedingung

    führt auf bzw. auf

    mit den beiden bekannten Lösungen und . Die Ableitung von ist . Dies ist negativ für und positiv für . Deshalb ist unterhalb von streng fallend und oberhalb davon streng wachsend und besitzt nur die beiden angegebenen Nullstellen. Für gibt es noch ein isoliertes lokales Minimum mit dem Wert . Dies folgt daraus, dass es zwischen und keine weitere Nullstelle der Ableitung gibt.


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ein reelles Intervall und sei

eine stetige Funktion. Es sei und es sei

die zugehörige Integralfunktion. Zeige, dass dann differenzierbar ist und dass für alle gilt.


Lösung

Es sei fixiert. Der Differenzenquotient ist

Wir müssen zeigen, dass für der Limes existiert und gleich ist. Nach dem Mittelwertsatz der Integralrechnung gibt es zu jedem ein mit

und damit ist

Für konvergiert gegen und wegen der Stetigkeit von konvergiert gegen .


Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass die Matrizenmultiplikation von quadratischen Matrizen im Allgemeinen nicht kommutativ ist.


Lösung

Es ist

aber


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die Dimension des von den Vektoren

erzeugten Untervektorraumes des .


Lösung

Wir betrachten den ersten, zweiten, dritten und fünften Vektor der Familie, also

als Matrix. Die Determinante dieser Matrix ist nach der Entwicklung nach der ersten Spalte gleich

der Rang der Matrix ist also und die sechs Vektoren erzeugen den Gesamtraum. Die Dimension ist also .


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

eine obere Dreiecksmatrix. Zeige direkt (ohne charakteristisches Polynom), dass ein Eigenwert zu ein Diagonaleintrag von sein muss.


Lösung

Es sei ein Eigenvektor von zum Eigenwert . Da eine obere Dreiecksmatrix vorliegt, bedeutet dies

Es sei der größte Index mit , was es gibt, da ein Eigenvektor nicht der Nullvektor ist. Dann vereinfacht sich die -te Gleichung

zu

und wegen

folgt

d.h. dass der Eigenwert ein Diagonalelement ist.