Lösung
- Ortsunabhängig bedeutet, dass die Funktion nicht von abhängt.
- Unter einem euklidischen Vektorraum versteht man einen reellen endlichdimensionalen Vektorraum mit Skalarprodukt.
- Das Wegintegral ist
-
- Eine polynomiale Funktion ist eine
Funktion
-
die man als eine Summe der Form
-
mit schreiben kann, wobei nur endlich viele sind.
- Man sagt, dass in
ein lokales Maximum besitzt, wenn es ein
derart gibt, dass für alle
mit
die Abschätzung
-
gilt.
- Die Rotationsmenge zu ist
-
Formuliere die folgenden Sätze.
- Der Satz über differenzierbare Kurven und Komponentenfunktionen.
- Der
Satz über den Zusammenhang von Anfangswertproblemen und Integralgleichungen.
- Die Transformationsformel für Volumina zu einem Diffeomorphismus
.
Lösung
- Es sei ein
reelles
Intervall,
ein
euklidischer Vektorraum
und
-
eine
Abbildung.
Es sei eine
Basis
von und es seien
-
die zugehörigen
Komponentenfunktionen
von . Es sei
.
Dann ist genau dann
differenzierbar
in , wenn sämtliche Funktionen in
differenzierbar
sind.
- Es sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, ein reelles Intervall, eine offene Menge und
-
ein stetiges Vektorfeld auf . Es sei vorgegeben. Dann ist eine stetige Abbildung
-
auf einem Intervall mit genau dann eine Lösung des Anfangswertproblems
(insbesondere muss differenzierbar sein)
-
wenn die Integralgleichung
-
erfüllt.
- Für eine kompakte Teilmenge
ist
-
Lösung
Lösung
Berechne das Wegintegral zum Vektorfeld
-
längs des Weges
-
Lösung
Es ist
Es sei ein
euklidischer Vektorraum,
ein fixierter Vektor und
-
ein stetiges Vektorfeld mit der Eigenschaft
-
für alle
.
Es sei
-
eine Lösung zur Differentialgleichung
-
Zeige, dass auch
-
eine Lösung dieser Differentialgleichung ist.
Lösung
Es ist
daher ist auch eine Lösung.
Beweise den Satz über eine Differentialgleichung höherer Ordnung und das zugehörige System erster Ordnung.
Lösung
Wenn
-
eine
Lösung
der
Differentialgleichung höherer Ordnung
-
ist, so sind alle Funktionen
für
differenzierbar,
und es gilt
für
nach Definition und schließlich
Wenn umgekehrt
-
eine
Lösung
des Differentialgleichungssystems zum Vektorfeld
-
ist, so ergibt sich sukzessive aus den ersten Gleichungen, dass
-mal
differenzierbar
ist, und die letzte Gleichung des Differentialgleichungssystems besagt gerade
-
a) Bestimme den Lösungsraum des linearen Differentialgleichungssystems
-
b) Löse das Anfangswertproblem
-
mit der Anfangsbedingung
-
Lösung
a) Wir berechnen die Eigenwerte der Matrix. Das charakteristische Polynom davon ist
-
Daher sind
und
die Eigenwerte, und daher ist die Matrix diagonalisierbar.
Zur Bestimmung eines Eigenvektors zum Eigenwert berechnen wir den Kern von
-
Dies ergibt den Eigenvektor zum Eigenwert und damit die erste Fundamentallösung
-
Zur Bestimmung eines Eigenvektors zum Eigenwert berechnen wir den Kern von
-
Dies ergibt den Eigenvektor zum Eigenwert und damit die zweite Fundamentallösung
-
Die allgemeine Lösung hat demnach die Form
-
b)
Um das Anfangsproblem zu lösen müssen wir
und
so bestimmen, dass
-
ist. Dies ist ein lineares Gleichungssystem, Addition führt auf
,
also
und daher
.
Die Lösung des Anfangswertproblems ist also
-
Lösung
Wir betrachten die Funktion
-
mit
-
a) Zeige, dass
stetig
ist.
b) Zeige, dass die Einschränkung von auf jede Gerade durch den Nullpunkt eine lineare Abbildung ist.
c) Zeige, dass zu im Nullpunkt in jede Richtung die
Richtungsableitung
existiert.
d) Zeige, dass im Nullpunkt nicht
total differenzierbar
ist.
Lösung
- Für ist
-
Für eine gegen konvergente Folge konvergiert auch gegen und damit konvergiert wegen dieser Abschätzung auch die Bildfolge unter der Funktion gegen . Daher liegt Stetigkeit im Nullpunkt vor. An den anderen Punkten liegt eine rationale, also stetige Funktion vor.
- Die Gerade sei durch
-
mit parametrisiert. Die Einschränkung ist somit
-
also linear.
- Die Richtungsableitung in Richtung im Nullpunkt hängt nur vom Verhalten der Funktion auf der durch gegebenen Geraden ab. Nach Teil (2) ist dies eine lineare Funktion,
sodass die Richtungsableitung existiert.
- Nach Teil (2) ist die Richtungsableitung im Nullpunkt in Richtung durch gegeben. Die Richtungsableitung in Richtung des ersten Standardvektors ist somit und die Richtungsableitung in Richtung des zweiten Standardvektors ist . Die Richtungsableitung in Richtung ist . Wenn die Funktion total differenzierbar wäre, so würde aber
gelten.
Bestimme das Taylor-Polynom zweiter Ordnung der Funktion
-
im Punkt .
Lösung
Die relevanten Ableitungen sind
-
-
-
-
-
Somit sind die Werte der relevanten Ableitungen im Punkt gleich
-
-
-
-
-
-
Daher ist das Taylor-Polynom der Ordnung zwei gleich
-
Lösung
- Es ist
-
und
-
Diese beiden Funktionen sind nur im Punkt gleich , also ist der einzige kritische Punkt.
- Wegen (1) kann allenfalls im Nullpunkt ein lokales Extremum vorliegen. Wenn dort ein lokales Extremum vorliegen würde, so hätte auch die Einschränkung auf eine jede Gerade durch den Nullpunkt dort ein lokales Extremum. Auf der durch
gegebenen Geraden ist die eingeschränkte Funktion gleich , und diese ist streng wachsend und besitzt kein lokales Extremum.
- Der Einheitskreis wird durch
-
parametrisiert, und besitzt ein lokales Extremum in einem Punkt
genau dann, wenn
ein lokales Extremum in besitzt. Die zusammengesetzte Funktion ist
-
Es ist
Die Nullstellen hiervon sind
(wir beschränken uns auf das Intervall , und betrachten die drei Faktoren)
.
Es ist
Daher ist
-
-
-
-
-
-
Somit liegt in
ein lokales Maximum und dann abwechselnd lokale Minima und Maxima vor.
Wir betrachten die Abbildung
-
- Bestimme die
Jacobi-Matrix
zu in einem Punkt .
- Bestimme die
kritischen Punkte
von .
Lösung
- Die Jacobi-Matrix in ist
-
- Die Determinante der Jacobi-Matrix ist
Ein kritischer Punkt liegt genau dann vor, wenn die Determinante der Jacobi-Matrix gleich ist. Dies ist genau dann der Fall, wenn der Zähler
-
gleich ist. Wegen
ist dies genau bei
-
der Fall, die kritischen Punkte sind also und .
Es seien und drei Punkte im . Stelle den Flächeninhalt des zugehörigen Dreiecks mit dar.
Lösung
Aufgrund der Translationsinvarianz des Flächeninhalts können wir der Punkt in den Nullpunkt verschieben, die Koordinaten der beiden anderen Punkte sind bzw. . Dieses Dreieck ist das Bild des durch den Nullpunkt und die beiden Standardvektoren
und
gegebenen Dreiecks unter der durch die Matrix
-
gegebenen linearen Abbildung. Das Standardreieck hat den Flächeninhalt . Daher ist der Flächeninhalt des gegebenen Dreiecks nach
[[R^n/Kompakte Teilmenge/Volumen/Lineare Abbildung/Fakt|Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)/R^n/Kompakte Teilmenge/Volumen/Lineare Abbildung/Fakt/Faktreferenznummer (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024))]]
gleich
Bestimme den
Schwerpunkt
derjenigen Fläche, die auf durch die Standardparabel und die durch
gegebene Gerade begrenzt wird.
Lösung
Es sei
-
die in Frage stehende Fläche. Der Flächeninhalt von ist
Die -Koordinate des Schwerpunktes von ist wegen der Symmetrie gleich . Zur Bestimmung der -Koordinate des Schwerpunktes berechnen wir
Die -Koordinate des Schwerpunktes ist somit gleich
-
der Schwerpunkt liegt also in .