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Kurs:Mathematik für Anwender/Teil II/4/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Punkte 3 3 4 3 3 2 6 7 2 7 4 7 4 5 4 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine ortsunabhängige gewöhnliche Differentialgleichung
  2. Ein euklidischer Vektorraum.
  3. Das Wegintegral zu einem stetigen Vektorfeld längs eines stetig differenzierbaren Weges .
  4. Eine polynomiale Funktion
  5. Ein lokales Maximum einer Funktion

    auf einem metrischen Raum in einem Punkt .

  6. Die Rotationsmenge (um die -Achse) zu einer Teilmenge .


Lösung

  1. Ortsunabhängig bedeutet, dass die Funktion nicht von abhängt.
  2. Unter einem euklidischen Vektorraum versteht man einen reellen endlichdimensionalen Vektorraum mit Skalarprodukt.
  3. Das Wegintegral ist
  4. Eine polynomiale Funktion ist eine Funktion

    die man als eine Summe der Form

    mit schreiben kann, wobei nur endlich viele sind.

  5. Man sagt, dass in ein lokales Maximum besitzt, wenn es ein derart gibt, dass für alle  mit die Abschätzung

    gilt.

  6. Die Rotationsmenge zu ist


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über differenzierbare Kurven und Komponentenfunktionen.
  2. Der Satz über den Zusammenhang von Anfangswertproblemen und Integralgleichungen.
  3. Die Transformationsformel für Volumina zu einem Diffeomorphismus .


Lösung

  1. Es sei ein reelles Intervall, ein euklidischer Vektorraum und

    eine Abbildung. Es sei eine Basis von und es seien

    die zugehörigen Komponentenfunktionen von . Es sei . Dann ist genau dann differenzierbar in , wenn sämtliche Funktionen in differenzierbar

    sind.
  2. Es sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, ein reelles Intervall, eine offene Menge und

    ein stetiges Vektorfeld auf . Es sei vorgegeben. Dann ist eine stetige Abbildung

    auf einem Intervall mit genau dann eine Lösung des Anfangswertproblems (insbesondere muss differenzierbar sein)

    wenn die Integralgleichung

    erfüllt.
  3. Für eine kompakte Teilmenge ist


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die Lösungen der Differentialgleichung ()

mit dem Lösungsansatz für getrennte Variablen. Was ist der Definitionsbereich der Lösungen?


Lösung

Wir schreiben und . Eine Stammfunktion zu ist ( ist also negativ) mit der Umkehrfunktion

Die Stammfunktionen zu

sind mit . Daher sind die Lösungen der Differentialgleichung von der Form

Bei gegebenem ist diese Wurzel genau dann definiert, wenn

ist. Dies bedeutet

Die Definitionsbereiche sind also


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme das orthogonale Komplement zu der von und erzeugten Ebene .


Lösung

Die beiden Vektoren sind offensichtlich linear unabhängig, sodass sie in der Tat eine Ebene erzeugen und das orthogonale Komplement eine Gerade ist. Die Bedingungen für einen Vektor , zu dem orthogonalen Komplement zu gehören, sind

und

Die lineare Kombination führt auf

Dafür ist und eine Lösung, und bei dieser Vorgabe ist

Also ist das orthogonale Komplement gleich


Aufgabe (3 Punkte)

Berechne das Wegintegral zum Vektorfeld

längs des Weges


Lösung

Es ist


Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ein euklidischer Vektorraum, ein fixierter Vektor und

ein stetiges Vektorfeld mit der Eigenschaft

für alle . Es sei

eine Lösung zur Differentialgleichung

Zeige, dass auch

eine Lösung dieser Differentialgleichung ist.


Lösung

Es ist

daher ist auch eine Lösung.


Aufgabe (6 Punkte)

Beweise den Satz über eine Differentialgleichung höherer Ordnung und das zugehörige System erster Ordnung.


Lösung

Wenn

eine Lösung der Differentialgleichung höherer Ordnung

ist, so sind alle Funktionen für differenzierbar, und es gilt für nach Definition und schließlich


Wenn umgekehrt

eine Lösung des Differentialgleichungssystems zum Vektorfeld

ist, so ergibt sich sukzessive aus den ersten Gleichungen, dass -mal differenzierbar ist, und die letzte Gleichung des Differentialgleichungssystems besagt gerade



Aufgabe (7 (5+2) Punkte)

a) Bestimme den Lösungsraum des linearen Differentialgleichungssystems

b) Löse das Anfangswertproblem

mit der Anfangsbedingung


Lösung

a) Wir berechnen die Eigenwerte der Matrix. Das charakteristische Polynom davon ist

Daher sind und die Eigenwerte, und daher ist die Matrix diagonalisierbar.

Zur Bestimmung eines Eigenvektors zum Eigenwert berechnen wir den Kern von

Dies ergibt den Eigenvektor zum Eigenwert und damit die erste Fundamentallösung

Zur Bestimmung eines Eigenvektors zum Eigenwert berechnen wir den Kern von

Dies ergibt den Eigenvektor zum Eigenwert und damit die zweite Fundamentallösung

Die allgemeine Lösung hat demnach die Form


b) Um das Anfangsproblem zu lösen müssen wir und so bestimmen, dass

ist. Dies ist ein lineares Gleichungssystem, Addition führt auf , also und daher . Die Lösung des Anfangswertproblems ist also


Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ein Minkowski-Raum mit der Minkowski-Form und es seien gleichgerichtete Beobachtervektoren. Zeige


Lösung

Wir können annehmen, dass und

mit

ist. Wegen der Gleichgerichtetheit ist . Somit ist


Aufgabe (7 (2+1+1+3) Punkte)

Wir betrachten die Funktion

mit

a) Zeige, dass stetig ist.

b) Zeige, dass die Einschränkung von auf jede Gerade durch den Nullpunkt eine lineare Abbildung ist.

c) Zeige, dass zu im Nullpunkt in jede Richtung die Richtungsableitung existiert.

d) Zeige, dass im Nullpunkt nicht total differenzierbar ist.


Lösung

  1. Für ist

    Für eine gegen konvergente Folge konvergiert auch gegen und damit konvergiert wegen dieser Abschätzung auch die Bildfolge unter der Funktion gegen . Daher liegt Stetigkeit im Nullpunkt vor. An den anderen Punkten liegt eine rationale, also stetige Funktion vor.

  2. Die Gerade sei durch

    mit parametrisiert. Die Einschränkung ist somit

    also linear.

  3. Die Richtungsableitung in Richtung im Nullpunkt hängt nur vom Verhalten der Funktion auf der durch gegebenen Geraden ab. Nach Teil (2) ist dies eine lineare Funktion, sodass die Richtungsableitung existiert.
  4. Nach Teil (2) ist die Richtungsableitung im Nullpunkt in Richtung durch gegeben. Die Richtungsableitung in Richtung des ersten Standardvektors ist somit und die Richtungsableitung in Richtung des zweiten Standardvektors ist . Die Richtungsableitung in Richtung ist . Wenn die Funktion total differenzierbar wäre, so würde aber
    gelten.


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme das Taylor-Polynom zweiter Ordnung der Funktion

im Punkt .


Lösung

Die relevanten Ableitungen sind

Somit sind die Werte der relevanten Ableitungen im Punkt gleich

Daher ist das Taylor-Polynom der Ordnung zwei gleich


Aufgabe (7 (1+2+4) Punkte)

Wir betrachten die Funktion auf dem .

  1. Bestimme die kritischen Punkte von .
  2. Zeige, dass keine lokalen Extrema besitzt.
  3. Es sei

    der Einheitskreis und die Einschränkung von auf . Bestimme die lokalen Extrema von .


Lösung

  1. Es ist

    und

    Diese beiden Funktionen sind nur im Punkt gleich , also ist der einzige kritische Punkt.

  2. Wegen (1) kann allenfalls im Nullpunkt ein lokales Extremum vorliegen. Wenn dort ein lokales Extremum vorliegen würde, so hätte auch die Einschränkung auf eine jede Gerade durch den Nullpunkt dort ein lokales Extremum. Auf der durch gegebenen Geraden ist die eingeschränkte Funktion gleich , und diese ist streng wachsend und besitzt kein lokales Extremum.
  3. Der Einheitskreis wird durch

    parametrisiert, und besitzt ein lokales Extremum in einem Punkt genau dann, wenn ein lokales Extremum in besitzt. Die zusammengesetzte Funktion ist

    Es ist

    Die Nullstellen hiervon sind (wir beschränken uns auf das Intervall , und betrachten die drei Faktoren) . Es ist

    Daher ist

    Somit liegt in ein lokales Maximum und dann abwechselnd lokale Minima und Maxima vor.


Aufgabe (4 (2+2) Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

  1. Bestimme die Jacobi-Matrix zu in einem Punkt .
  2. Bestimme die kritischen Punkte von .


Lösung

  1. Die Jacobi-Matrix in ist
  2. Die Determinante der Jacobi-Matrix ist
    Ein kritischer Punkt liegt genau dann vor, wenn die Determinante der Jacobi-Matrix gleich ist. Dies ist genau dann der Fall, wenn der Zähler

    gleich ist. Wegen ist dies genau bei

    der Fall, die kritischen Punkte sind also und .


Aufgabe (5 Punkte)

Es seien und drei Punkte im . Stelle den Flächeninhalt des zugehörigen Dreiecks mit dar.


Lösung

Aufgrund der Translationsinvarianz des Flächeninhalts können wir der Punkt in den Nullpunkt verschieben, die Koordinaten der beiden anderen Punkte sind bzw. . Dieses Dreieck ist das Bild des durch den Nullpunkt und die beiden Standardvektoren und gegebenen Dreiecks unter der durch die Matrix

gegebenen linearen Abbildung. Das Standardreieck hat den Flächeninhalt . Daher ist der Flächeninhalt des gegebenen Dreiecks nach [[R^n/Kompakte Teilmenge/Volumen/Lineare Abbildung/Fakt|Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)/R^n/Kompakte Teilmenge/Volumen/Lineare Abbildung/Fakt/Faktreferenznummer (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024))]] gleich


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme den Schwerpunkt derjenigen Fläche, die auf durch die Standardparabel und die durch gegebene Gerade begrenzt wird.


Lösung

Es sei

die in Frage stehende Fläche. Der Flächeninhalt von ist

Die -Koordinate des Schwerpunktes von ist wegen der Symmetrie gleich . Zur Bestimmung der -Koordinate des Schwerpunktes berechnen wir

Die -Koordinate des Schwerpunktes ist somit gleich

der Schwerpunkt liegt also in .