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Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil II/Arbeitsblatt 33/kontrolle

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Übungsaufgaben

Bestimme die konstanten Lösungen der gewöhnlichen Differentialgleichung



Welche Substitution wird im Beweis zu Satz 33.2 durchgeführt?



Skizziere die zugrunde liegenden Vektorfelder der Differentialgleichungen

sowie die in Beispiel 33.4, Beispiel 33.7 und Beispiel 33.8 angegebenen Lösungskurven.



Bestätige die in Beispiel 33.4, Beispiel 33.7 und Beispiel 33.8 gefundenen Lösungskurven der Differentialgleichungen

durch Ableiten.





Bestimme alle Lösungen der Differentialgleichung

mit dem Lösungsansatz für getrennte Variablen. Erhält man dabei alle Lösungen?



Bestimme alle Lösungen der Differentialgleichung

mit mit dem Lösungsansatz für getrennte Variablen.



Bestimme alle Lösungen der Differentialgleichung

mit mit dem Lösungsansatz für getrennte Variablen.



Bestimme alle Lösungen der Differentialgleichung

mit dem Lösungsansatz für getrennte Variablen.



Bestimme alle Lösungen der Differentialgleichung

mit dem Lösungsansatz für getrennte Variablen.



Aufgabe Aufgabe 33.11 ändern

Löse die Differentialgleichung

mit dem Lösungsansatz für getrennte Variablen.



Finde eine Lösung für die gewöhnliche Differentialgleichung

mit und .



Bestimme die Lösungen der Differentialgleichung ()

mit dem Lösungsansatz für getrennte Variablen. Was ist der Definitionsbereich der Lösungen?



a) Bestimme eine Lösung der Differentialgleichung

mit dem Lösungsansatz für getrennte Variablen.

b) Bestimme die Lösung des Anfangswertproblems



Betrachte die in Beispiel 33.9 gefundenen Lösungen

der logistischen Differentialgleichung.

a) Skizziere diese Funktion (für geeignete und ).

b) Bestimme die Grenzwerte für und .

c) Studiere das Monotonieverhalten dieser Funktionen.

d) Für welche besitzt die Ableitung von ein Maximum (für die Funktion selbst bedeutet dies einen Wendepunkt, man spricht auch von einem Vitalitätsknick).

e) Über welche Symmetrien verfügen diese Funktionen?



Bestimme das Taylor-Polynom vierten Grades im Nullpunkt zur logistischen Funktion




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)Aufgabe 33.17 ändern

Zeige, dass eine Differentialgleichung der Form

mit einer stetigen Funktion

auf einem Intervall die Lösungen

besitzt, wobei eine Stammfunktion zu mit sei.



Bestimme alle Lösungen der Differentialgleichung

mit dem Lösungsansatz für getrennte Variablen.



Bestimme alle Lösungen der Differentialgleichung

mit dem Lösungsansatz für getrennte Variablen.



Bestimme alle Lösungen der Differentialgleichung

mit dem Lösungsansatz für getrennte Variablen. Welche Lösung hat das Anfangswertproblem ?



Bestimme alle Lösungen der Differentialgleichung

mit

a) dem Lösungsansatz für inhomogene lineare Differentialgleichungen,

b) dem Lösungsansatz für getrennte Variablen.