Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)/Teil II/Arbeitsblatt 43

Übungsaufgaben

Aufgabe

{(\begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \end{matrix})}^{'} = (\begin{matrix} 3 & 0 \\ 0 & - 5 \end{matrix}) (\begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \end{matrix}) mit (\begin{matrix} v_{1} (0) \\ v_{2} (0) \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 \\ - 11 \end{matrix}) .

Aufgabe

Es sei

v^{'} = M v

ein lineares Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten zu einer reellen $n \times n$ -Matrix $M$ und sei $u \in ℂ^{n}$ ein Eigenvektor von $M$ zum Eigenwert $λ = a + b i \in ℂ$ . Zeige, dass $e^{a t} \cos (b t) (\begin{matrix} Re (u_{1}) \\ ⋮ \\ Re (u_{n}) \end{matrix})$ und $e^{a t} \sin (b t) (\begin{matrix} Im (u_{1}) \\ ⋮ \\ Im (u_{n}) \end{matrix})$ Lösungen des Systems sind.

Aufgabe

Es sei

v^{'} = M v

ein lineares Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten, sei $L$ der Lösungsraum dieses Systems und sei $t_{0} \in ℝ$ . Zeige, dass die Abbildung

L ⟶ 𝕂^{n}, φ ⟼ φ (t_{0}),

ein Vektorraum-Isomorphismus ist.

Aufgabe

Wie transformieren sich in Lemma 43.5 die Anfangsbedingungen?

Aufgabe *

Löse das lineare Anfangswertproblem

{(\begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \end{matrix})}^{'} = (\begin{matrix} 3 & - 4 \\ 0 & 2 \end{matrix}) (\begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \end{matrix}) mit (\begin{matrix} v_{1} (0) \\ v_{2} (0) \end{matrix}) = (\begin{matrix} 5 \\ 1 \end{matrix}) .

Aufgabe

Löse das lineare Anfangswertproblem

{(\begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \end{matrix})}^{'} = (\begin{matrix} 2 & 3 \\ 0 & 7 \end{matrix}) (\begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \end{matrix}) mit (\begin{matrix} v_{1} (0) \\ v_{2} (0) \end{matrix}) = (\begin{matrix} 5 \\ - 4 \end{matrix}) .

Aufgabe

Bestimme den Lösungsraum zum linearen Differentialgleichungssystem

{(\begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \end{matrix})}^{'} = (\begin{matrix} 1 & - 3 \\ 4 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \end{matrix}) .

Kommentar:

Es handelt sich hierbei um ein lineares Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten $v^{'} = M v$ . Dank Lemma 43.1 wissen wir, dass Lösungen allein durch Untersuchung der Systemmatrix $M$ , also mit Hilfe der linearen Algebra gefunden werden können. Haben wir einen Eigenwert $λ$ von $M$ mit zugehörigem Eigenvektor $u$ , so löst $v (t) = c e^{λ t} u$ das Differentialgleichungssystem, wobei $c$ eine unbestimmte Konstante ist. Dies ist nur eine Lösung und da kein Anfangswert vorgegeben ist, gibt es unendlich viele weitere Funktionen, die das Differentialgleichungssystem erfüllen (allein durch verschiedene Wahl von $c$ ). Um den gesamten Lösungsraum beschreiben zu können, müssen alle Eigenwerte und zugehörige Eigenvektoren von $M$ berechnet werden. Dies ist eine gute Gelegenheit entsprechende Inhalte aus dem vorherigen Kurs zu wiederholen. Beispiel 28.4 zeigt noch einmal das Vorgehen zur Bestimmung von Eigenwerten und Eigenvektoren einer Matrix.

Es ergeben sich für unsere Matrix zwei komplexe Eigenwerte mit zwei verschiedenen Eigenvektoren (Eigenvektoren sind nur bis auf skalare Vielfache eindeutig). Der gesamte Lösungsraum ist schließlich wegen Korollar 43.11 durch die Linearkombinationen der Einzellösungen zu den jeweiligen Eigenvektoren gegeben.

Diskutieren und Fragen

Aufgabe *

a) Bestimme den Lösungsraum des linearen Differentialgleichungssystems

{(\begin{matrix} x \\ y \end{matrix})}^{'} = (\begin{matrix} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{matrix}) (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) .

b) Löse das Anfangswertproblem

{(\begin{matrix} x \\ y \end{matrix})}^{'} = (\begin{matrix} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{matrix}) (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix})

mit der Anfangsbedingung

(\begin{matrix} x (0) \\ y (0) \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 \\ 7 \end{matrix}) .

Aufgabe *

a) Bestimme den Lösungsraum des linearen Differentialgleichungssystems

{(\begin{matrix} x \\ y \end{matrix})}^{'} = (\begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{matrix}) (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) .

b) Löse das Anfangswertproblem

{(\begin{matrix} x \\ y \end{matrix})}^{'} = (\begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{matrix}) (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix})

mit der Anfangsbedingung $(\begin{matrix} x (0) \\ y (0) \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 4 \\ 3 \end{matrix})$ .

Aufgabe

Finde für das zeitunabhängige Differentialgleichungssystem

{(\begin{matrix} u \\ v \end{matrix})}^{'} = (\begin{matrix} - v \\ u \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} u \\ v \end{matrix})

Lösungen mit $u (0) = a$ und $v (0) = b$ , wobei $a, b \in ℝ$ sind.

Aufgabe *

Beschreibe für das zeitunabhängige Differentialgleichungssystem

{(\begin{matrix} u \\ v \end{matrix})}^{'} = (\begin{matrix} v \\ u \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} u \\ v \end{matrix})

die allgemeine Lösung mit

Exponentialfunktionen,
Hyperbelfunktionen.

Aufgabe

Es sei

v^{'} = M v

ein lineares Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten mit einer oberen Dreiecksmatrix $M$ . Zeige, dass es ein Fundamentalsystem von Lösungsfunktionen $v_{1}, \dots, v_{n}$ mit

v_{i} = (\begin{matrix} v_{i 1} \\ ⋮ \\ v_{i i} \\ 0 \\ ⋮ \\ 0 \end{matrix})

gibt.

Die folgenden Aufgaben löse man mit Lemma Anhang 2.1, man spricht vom Ansatz vom Typ der rechten Seite.

Aufgabe

Löse die Differentialgleichung

y^{''} - 2 y^{'} + 5 y = e^{t} .

Kommentar:

Es liegt eine Differentialgleichung höherer Ordnung vor, genauer, der Ordnung 2. Man kann diese durch Einführung von zusätzlichen Variablen in ein Differentialgleichungssystem mit Differentialgleichungen von erster Ordnung transformieren, siehe Lemma 41.5. Oftmals ist es danach trotzdem noch sehr schwierig dieses System zu lösen.

Wir sind aber in der guten Situation, dass unsere Differentialgleichung von besonderer Form ist. Sie ist von Ordnung 2, und die Funktion $y$ und ihre Ableitungen kommen nur linear vor. Die rechte Seite ist eine Exponentialfunktion in $t$ multipliziert mit einem Polynom $p (t)$ . Anders als in Aufgabe 43.26 ist es in diesem Fall ein Polynom vom Grad $0$ , nämlich $p (t) = 1$ .

Differentialgleichungen von dieser Form können mit Hilft des Ansatzes vom Typ der rechten Seite, Lemma Anhang 2.1, gelöst werden. Das charakteristische Polynom zur Differentialgleichung ist $x^{2} - 2 x + 5$ und wir sehen durch einsetzen, dass der Parameter $c$ , welcher hier 1 ist, keine Nullstelle ist. Der Ansatz vom Typ der rechten Seite liefert uns demnach, dass es eine Lösung der Form

x^{0} q (t) e^{1 \cdot t} = q (t) e^{t}

gibt. Es ist bisher nur eine Ansatzlösung. Das Polynom $q$ hat dabei denselben Grad wie das Polynom $p$ und muss noch genauer bestimmt werden. Das wird im Allgemeinen gemacht, indem für $q$ ein entsprechendes Polynom mit noch zu bestimmenden Koeffizienten angesetzt wird. Einsetzen der Ansatzlösung für $y$ und deren Ableitungen auf der linken Seite der Differentialgleichung macht es möglich die Koeffizienten von $q$ durch Koeffizientenvergleich mit der rechten Seite zu bestimmen. Siehe dazu auch die Lösung von Aufgabe 43.16.

In dieser Aufgabe ist es recht leicht, denn wie ist der Grad von $q$ ?

Diskutieren und Fragen

Aufgabe *

Löse die Differentialgleichung

y^{''} - y = e^{t} .

Aufgabe *

Löse die Differentialgleichung

y^{''} - 3 y^{'} + 9 y = (t^{2} - 8) e^{5 t} .

Aufgabe

Löse die Differentialgleichung

y^{''} + 4 y^{'} + 6 y = (t^{3} + 5 t + 3) e^{2 i t} .

Aufgabe *

Es sei $v^{'} = M v$ ein lineares Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten in $d$ Variablen und sei ein Punkt $P \in ℝ^{d}$ vorgegeben.

Erstelle eine rekursive Formel für die Punkte $P_{n}$ im Polygonzugverfahren zum Startpunkt $P_{0} = P$ und zur Schrittweite $s$ in dieser Situation.
Erstelle eine geschlossene Formel für $P_{n}$ zur Schrittweite $s$ .
Erstelle eine Formel für $P_{n}$ zur Schrittweite $\frac{1}{n}$ .

In eine Potenzreihe kann man nicht nur Zahlen einsetzen, sondern auch quadratische Matrizen, wobei die Potenzen als Matrixpotenzen zu interpretieren sind, und sich fragen, ob die entstehenden Folgen im Raum der Matrizen konvergieren.

Aufgabe

Es sei $M$ eine reelle (oder komplexe) $d \times d$ -Matrix. Zeige, dass

\begin{matrix} \exp M & = E_{d} + M + \frac{1}{2} M^{2} + \frac{1}{3!} M^{3} + \dots \\ = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{k!} M^{k} \end{matrix}

im Raum der Matrizen konvergiert.

Aufgabe

Es sei $v^{'} = M v$ ein lineares Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten. Zeige, dass die Lösung des Anfangswertproblems mit der Anfangsbedingung $v (0) = w \in ℝ^{d}$ durch

v (t) = (\exp (t M)) w

gegeben ist.

Verwende, dass die Ableitung der Abbildung

ℝ ⟶ {Mat}_{d} (ℝ) ≅ ℝ^{d^{2}}, t ⟼ \exp (t M),

gleich $M \cdot \exp (t M)$ ist.

Aufgabe

Begründe Lemma 43.1 mit Aufgabe 43.20.

Aufgabe

Es sei $v^{'} = M v$ ein lineares Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten in $d$ Variablen und sei $s \in ℝ$ . Zeige, dass die Abbildung

ℝ^{d} ⟶ ℝ^{d},

die einem Punkt $w \in ℝ^{d}$ den Ortspunkt zum Zeitpunkt $s$ der Lösung des Anfangswertproblems $v (0) = w$ zuordnet, eine lineare Abbildung ist und durch die Matrix $\exp (s M)$ beschrieben wird.