Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)/Teil II/Arbeitsblatt 42

Übungsaufgaben

Aufgabe

Bestimme alle Lösungen des linearen Differentialgleichungssystems

${}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}\sin t&0\\0&{\frac {1}{t}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}-\sin t\\t^{5}\end{pmatrix}}\,$

für ${}t>0$.

Aufgabe

Berechne zum Vektorfeld

$F\colon {\left(\mathbb {R} \setminus \{0\}\right)}\times \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\longmapsto F(t,x,y)={\begin{pmatrix}x\sin t-\sin t\\{\frac {y}{t}}+t^{5}\end{pmatrix}}$

aus Aufgabe 42.1 das transformierte Vektorfeld zur durch die Matrix ${}{\begin{pmatrix}2&5\\1&6\end{pmatrix}}$ gegebenen linearen Abbildung ${}\varphi$. Bestimme die Lösungen zu diesem transformierten Vektorfeld.

Aufgabe

Bestimme alle Lösungen des linearen Differentialgleichungssystems

${}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}t&1-t\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\,.$

Kommentar:

Wir haben es hier mit einem homogenen linearen Differentialgleichungssystem zu tun. Wichtig ist hierbei zu erkennen, dass das lineare System bereits Dreiecksgestalt besitzt, sodass wir nach Lemma 42.5 schrittweise die Lösungen konstruieren können.

Tatsächlich besteht die zweite Zeile des Systems nur aus der Gleichung ${}y'=y$, für die wir bereits den Lösungsraum ${}y=c_{2}e^{t}$, ${}c_{2}\in \mathbb {R}$, kennen.

Die Lösung für ${}y$ können wir nun in die erste Zeile einsetzen und erhalten die inhomogene lineare Differentialgleichung

$x'=tx+(1-t)y=tx+(1-t)c_{2}e^{t}.$

Wie sieht die zugehörige homogene Gleichung aus und welches ist der inhomogene Anteil? Obwohl das ursprüngliche Differentialgleichungssystem homogen war, stoßen wir hier nun auf eine inhomogene Differentialgleichung, die wir lösen müssen. Dazu haben wir bereits ein allgemeines Lösungsverfahren in Satz 32.10 kennen gelernt.

Insgesamt ergeben sich daher welche Lösungen für das Differentialgleichungssystem?

 

Aufgabe

Bestimme alle Lösungen des linearen Differentialgleichungssystems

${}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}2&t\\0&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\,.$

Aufgabe

Bestimme alle Lösungen des linearen Differentialgleichungssystems

${}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}3&t\\0&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\,.$

Aufgabe

Bestimme alle Lösungen (für ${}t>0$) des linearen Differentialgleichungssystems

${}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}1&t^{3}-t\\0&{\frac {1}{t}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\,.$

Aufgabe

Bestimme alle Lösungen des linearen Differentialgleichungssystems

${}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}3&t^{2}-t+5\\0&3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\,.$

Aufgabe

Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein reelles Intervall und seien

$f_{11},f_{12},f_{21},f_{22}\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

differenzierbare Funktionen mit

${}f_{11}(t)f_{22}(t)-f_{21}(t)f_{12}(t)\neq 0\,$

für alle ${}t\in I$. Wir betrachten das lineare Differentialgleichungssystem

${}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}{\frac {f'_{11}f_{22}-f'_{12}f_{21}}{f_{11}f_{22}-f_{21}f_{12}}}&{\frac {-f'_{11}f_{12}+f'_{12}f_{11}}{f_{11}f_{22}-f_{21}f_{12}}}\\{\frac {f'_{21}f_{22}-f'_{22}f_{21}}{f_{11}f_{22}-f_{21}f_{12}}}&{\frac {-f_{12}f'_{21}+f'_{22}f_{11}}{f_{11}f_{22}-f_{21}f_{12}}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\,.$

Zeige, dass sowohl ${}{\begin{pmatrix}f_{11}\\f_{21}\end{pmatrix}}$ als auch ${}{\begin{pmatrix}f_{12}\\f_{22}\end{pmatrix}}$ Lösungen des Differentialgleichungssystems sind.

Aufgabe

Es sei

${}M(t)=(a_{ij}(t))_{1\leq i,j\leq n}\,$

eine (variable) ${}n\times n$-Matrix, deren Einträge stetige Funktionen

$a_{ij}\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

seien. Es sei ${}\det {\left(M(t)\right)}\neq 0$ für alle ${}t\in I$. Zeige, dass die einzige konstante Lösung der linearen Differentialgleichung ${}v'=Mv$ die Nulllösung ist.

Aufgabe *

Es sei

${}v'=Mv\,$

ein lineares Differentialgleichungssystem auf ${}I\times \mathbb {R} ^{n}$ (${}I$ ein reelles Intervall) mit einer Funktionenmatrix

${}M(t)=(a_{ij}(t))_{1\leq i,j\leq n}\,,$

wobei das zugrunde liegende Vektorfeld zugleich ein Zentralfeld sei. Zeige, dass die Matrix die Gestalt

${}M(t)=\varphi (t){\begin{pmatrix}1&0&\cdots &\cdots &0\\0&1&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&1&0\\0&\cdots &\cdots &0&1\end{pmatrix}}\,$

mit einer geeigneten Funktion

$\varphi \colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

besitzt.

Aufgabe

Es sei ${}M(t)=(a_{ij}(t))_{1\leq i,j\leq n}$ eine (variable) ${}n\times n$-Matrix, deren Einträge Funktionen

$a_{ij}\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

seien. Es sei ${}u\in \mathbb {R} ^{n}$ ein Eigenvektor zum Eigenwert ${}\lambda$ für alle ${}t\in I$. Zeige, dass ${}e^{\lambda t}\cdot u$ eine Lösung der linearen Differentialgleichung ${}v'=Mv$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}M(t)=(a_{ij}(t))_{1\leq i,j\leq n}$ eine (variable) ${}n\times n$-Matrix, deren Einträge stetige Funktionen

$a_{ij}\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

seien. Es sei ${}u\in \mathbb {R} ^{n}$ ein (konstanter) Eigenvektor von ${}M(t)$ zum (variablen, von ${}t$ differenzierbar abhängigen) Eigenwert ${}\lambda (t)$. Zeige durch ein Beispiel, dass ${}e^{\lambda (t)t}\cdot u$ keine Lösung der linearen Differentialgleichung ${}v'=Mv$ sein muss.

Kommentar:

Hier handelt es sich um ein lineares Differentialgleichungssystem, dessen Koeffizienten ${}a_{ij}$ nicht konstant, sondern Funktionen ${}a_{ij}(t)$ sind, die vom Parameter ${}t$ abhängen. Genauer gesagt ist es ein homogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem.

Um ein Gegenbeispiel zu finden, bietet es sich an, zunächst zu untersuchen, an welcher Stelle die Forderung, dass ${}e^{\lambda (t)t}u$ eine Lösung ist, fehlschlagen könnte. Dazu verwenden wir die Voraussetzung, dass der konstante Vektor ${}u$ ein Eigenvektor der variablen Matrix ${}M(t)$ zum variablen Eigenwert ${}\lambda (t)$ sein soll. Das bedeutet, dass

$M(t)\cdot u=\lambda (t)\cdot u$

für alle ${}t\in I$ gilt. Anders ausgedrückt erhalten wir zu jedem beliebigen Zeitpunkt ${}t$ einen konkreten Eigenwert ${}\lambda (t)\in \mathbb {R}$ zu der Matrix ${}M(t)$, die zu diesem Zeitpunkt vorliegt. Es handelt sich um eine Familie von Eigenwertgleichungen.

Wir wollen nun die zu untersuchende Funktion ${}v(t):=e^{\lambda (t)\cdot t}\cdot u$ in die Differentialgleichung einsetzen. Für die Ableitung ergibt sich mittels Ketten- und Produktregel

$v'(t)=(\lambda (t)t)'e^{\lambda (t)t}u=(\lambda (t)+\lambda '(t)t)e^{\lambda (t)t}u=(\lambda (t)+\lambda '(t)t)v(t).$

Hierbei ist ${}v(t)$ eine Funktion in mehreren Komponenten, für die wir die Ableitung komponentenweise bestimmen können. Die Einträge des Vektors ${}u$ sind konstant, hängen also nicht von ${}t$ ab.

Andererseits folgt aus der Eigenwertgleichung

$M(t)v(t)=M(t)\cdot u\cdot e^{\lambda (t)t}=\lambda (t)ue^{\lambda (t)t}=\lambda (t)v(t).$

Dabei konnten wir die Ausdrücke ${}u$ und ${}e^{\lambda (t)t}$ vertauschen, weil letzterer für jedes ${}t$ nur ein Skalar ist.

Durch Vergleich der beiden Ergebnisse zeigt sich, dass ${}v(t)$ nur eine Lösung der Differentialgleichung sein kann, wenn ${}\lambda '(t)t=0$ gilt. Welche Funktionen sind das genau?

Für das Gegenbeispiel muss man nun eine ${}n\times n$-Matrix ${}M(t)$, einen Vektor ${}u$ und eine nichtkonstante Funktion ${}\lambda (t)$ finden, sodass ${}\lambda (t)$ ein Eigenwert ist. Man kann ein möglichst einfaches Beispiel konstruieren, indem man etwa eine Diagonalmatrix wählt, weil dann das Differentialgleichungssystem in einzelne Differentialgleichungen zerfällt, die wir sogar alle gleich wählen können.

 

Aufgabe

Es sei

${}M(t)=(a_{ij}(t))_{1\leq i,j\leq n}\,$

eine (variable) ${}n\times n$-Matrix, deren Einträge stetige Funktionen

$a_{ij}\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

seien. Es sei ${}u(t)\in \mathbb {R} ^{n}$ ein (variabler, von ${}t$ differenzierbar abhängiger) Eigenvektor von ${}M(t)$ zum konstanten Eigenwert ${}\lambda$. Zeige durch ein Beispiel, dass ${}e^{\lambda t}\cdot u(t)$ keine Lösung der linearen Differentialgleichung ${}v'=Mv$ sein muss.

Aufgabe

Es sei ${}v'=Mv$ ein lineares Differentialgleichungssystem auf dem endlichdimensionalen reellen Vektorraum ${}V$ und ${}\varphi \colon V\rightarrow W$ eine bijektive lineare Abbildung. Zeige, dass die transformierte Differentialgleichung auf ${}W$ ebenfalls linear ist.

Aufgabe

Löse mit einem Potenzreihenansatz das Anfangswertproblem

${}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}t^{2}-1&t^{3}+t+2\\t+3&t^{2}+t\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\,$

mit der Anfangsbedingung

${}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}(0)={\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}\,$

bis zur fünften Ordnung.

Aufgabe

Es sei ${}M$ die Menge aller beliebig oft differenzierbaren Funktionen von ${}\mathbb {R}$ nach ${}\mathbb {R}$ und ${}D$ die Ableitung, aufgefasst als Operator

$D\colon M\longrightarrow M,\,f\longmapsto D(f)=f'.$

Zu einem Polynom ${}P\in \mathbb {R} [X]$, ${}P=a_{n}X^{n}+\cdots +a_{2}X^{2}+a_{1}X+a_{0}$, betrachten wir den Operator

$P(D)\colon M\longrightarrow M,\,f\longmapsto (P(D))(f)=a_{n}D^{n}(f)+\cdots +a_{2}D^{2}(f)+a_{1}D(f)+a_{0}f.$

Berechne ${}(P(D))(f)$ für ${}P=2X^{3}-4X^{2}+7X-3$ und ${}f=x^{4},e^{x},e^{2x},\sin x$. Zeige, dass ${}P(D)$ eine lineare Abbildung auf ${}M$ ist.

Kommentar:

Bei dieser Aufgabe machen wir die Beobachtung, dass wir den Ableitungsoperator formal in ein Polynom einsetzen können und daraus einen neuen Operator erhalten, d.h. eine lineare Abbildung von ${}M$ in sich selbst.

Wir wissen bereits, dass der Ableitungsoperator ${}D$ eine lineare Abbildung auf ${}M$ ist, denn für differenzierbare Funktionen ${}f,g\in M$ und ${}c\in \mathbb {R}$ gilt ${}D(f+g)=(f+g)'=f'+g'=D(f)+D(g)$ sowie ${}D(cf)=cf'=cD(f)$ nach den bekannten Ableitungsregeln. Die Hintereinanderschaltung linearer Abbildungen ist ebenfalls wieder linear, wie zum Beispiel ${}D\circ D=D^{2}$, also zweifaches Ableiten, oder mehrfaches Ableiten ${}D^{n}$. Gleiches gilt für die Summe linearer Abbildungen. Somit können wir den formalen Ausdruck ${}P(D)$ sinnvoll als lineare Abbildung interpretieren.

Wir haben soeben begründet, dass ${}P(D)$ für jedes Polynom ${}P$ eine lineare Abbildung ist. Für das konkret vorliegende Polynom ${}P=2X^{3}-4X^{2}+7X-3$ könnten wir dies auch nachweisen, indem wir ${}P(D)(f+g)$ und ${}P(D)(cf)$ für beliebiges ${}f,g\in M,c\in \mathbb {R}$ mit Hilfe der Ableitungsregeln umformen.

Was ergibt sich nun, wenn wir die lineare Abbildung ${}P(D)$ auswerten an den Funktionen ${}x^{4},e^{x},e^{2x},\sin x$?

 

Aufgabe

Es sei ${}\lambda \in \mathbb {R}$ und ${}n\in \mathbb {N} _{+}$. Zeige, dass der Differentialoperator ${}(D-\lambda )^{n}$ die Funktionen ${}x^{j}e^{\lambda x}$ mit ${}0\leq j<n$ auf die Nullfunktion abbildet.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme alle Lösungen des linearen Differentialgleichungssystems

${}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}-2&-t^{2}-3t+4\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\,.$

Aufgabe (8 (2+2+4) Punkte)

Wir betrachten das lineare Differentialgleichungssystem

${}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}\cos t&-\sin t\\\sin t&\cos t\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\,.$

1. Erstelle eine Differentialgleichung in einer Variablen, die die Funktion ${}z(t)=x^{2}(t)+y^{2}(t)$ zu einer Lösung ${}(x,y)$ erfüllen muss.
2. Finde eine Lösung für ${}z(t)$ aus Teil (1).
3. Finde eine nichttriviale Lösung des Differentialgleichungssystems.

Bemerkung: Im ersten und zweiten Teil wird untersucht, wie sich bei einer Lösung des Systems der Abstand zum Nullpunkt (bzw. dessen Quadrat) verhält. Es liegt nahe, sich für den dritten Teil zu überlegen, wie sich bei einer Lösung der Winkel zur ${}x$-Achse verhält (Polarkoordinaten).

Aufgabe (4 Punkte)

Finde eine nichttriviale Lösung (für $t>1$) zum linearen Differentialgleichungssystem

${}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}{\frac {4t^{4}-1}{t^{5}-t}}&{\frac {-3t}{t^{4}-1}}\\{\frac {-t}{t^{4}-1}}&{\frac {3t^{4}-2}{t^{5}-t}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\,$

mit Hilfe von Aufgabe 42.8.

Die für ${}t\in \mathbb {R}$, ${}-1<t<1$, und ein ${}n\in \mathbb {N}$ definierte lineare Differentialgleichung

$y^{\prime \prime }-{\frac {2t}{1-t^{2}}}y'+{\frac {n(n+1)}{1-t^{2}}}y=0$

heißt Legendresche Differentialgleichung zum Parameter ${}n$.

Aufgabe (5 Punkte)

Zeige, dass das ${}n$-te Legendre-Polynom

${\frac {1}{2^{n}(n!)}}((t^{2}-1)^{n})^{(n)}$

eine Lösung der Legendreschen Differentialgleichung zum Parameter ${}n$ ist.

Aufgabe (6 Punkte)

Löse mit einem Potenzreihenansatz das Anfangswertproblem

${}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}t&t^{2}\\t^{3}&t^{4}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}t^{5}\\t^{6}\end{pmatrix}}\,$

mit der Anfangsbedingung

${}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}(0)={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}\,$

bis zur sechsten Ordnung.

Fußnoten