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Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Arbeitsblatt 30/kontrolle

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Aufgaben


Es sei ein Körper, und seien - Vektorräume über und

sei eine Bilinearform. Man sagt, dass eine vollständige Dualität definiert, wenn die Abbildung

bijektiv ist.



Es sei ein endlichdimensionaler - Vektorraum mit dem Dualraum . Zeige, dass die Abbildung

eine vollständige Dualität zwischen und stiftet.



Es sei ein Körper, sei ein endlichdimensionaler - Vektorraum und sei eine Bilinearform auf . Zeige, dass die Bilinearform genau dann nichtausgeartet ist, wenn

eine vollständige Dualität ist.



Es sei ein Körper und es seien und endlichdimensionale - Vektorräume. Zeige, dass durch die Spur

eine vollständige Dualität gestiftet wird, dass also und in natürlicher Weise dual zueinander sind.



Es sei ein Körper, und seien endlichdimensionale - Vektorräume über und

sei eine Bilinearform, die eine vollständige Dualität definiere. Zeige, dass dann auch die Abbildung

bijektiv ist.



Es sei ein Körper und sei

eine kurze exakte Sequenz von - Vektorräumen . Zeige, dass dies zu einer kurzen exakten Sequenz

der Dualräume führt.



Es sei eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche und eine invertierbare Garbe auf . Zeige, dass in natürlicher Weise dual zu ist.



Formuliere den Satz von Riemann-Roch ohne erste Kohomologie.



Aufgabe Aufgabe 30.8 ändern

Es sei eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche vom Geschlecht . Zeige, dass für jede invertierbare Garbe , deren Grad ist,

gilt.



Es sei eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche vom Geschlecht und sei eine invertierbare Garbe auf .

  1. Der Grad von sei positiv. Zeige, dass für hinreichend groß mit einem linearen Polynom in übereinstimmt.
  2. Der Grad von sei negativ. Zeige, dass für hinreichend groß mit dem Nullpolynom übereinstimmt.
  3. Was gilt, wenn der Grad von gleich ist?



Zeige, dass das Geschlecht eines komplexen Torus gleich ist.



Es sei eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche vom Geschlecht . Zeige, dass isomorph zur Strukturgarbe ist.



Aufgabe Aufgabe 30.12 ändern

Es sei eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche und eine invertierbare Garbe auf . Zeige, dass es eine invertierbare Garbe und eine Einbettung derart gibt, dass die zugehörige Abbildung

die Nullabbildung ist.



Aufgabe Aufgabe 30.13 ändern

Es sei eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche vom Geschlecht . Es seien Punkte mit . Zeige, dass es einen surjektiven verbindenen Homomorphismus

gibt.


Die beiden folgenden Aufgaben sind typisch für Einbettungsfragen für kompakte riemannsche Flächen. Es geht darum, wie man die Flächen mit Hilfe der globalen Schnitte von invertierbaren Garben in projektive Räume einbetten kann. Der Satz von Riemann-Roch ermöglicht in Verbindung mit Aufgabe 30.8 die Kontrolle der Dimension der globalen Schnitte.


Es sei eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche vom Geschlecht . Es sei ein Divisor auf vom Grad und sei die zugehörige invertierbare Garbe auf .

  1. Zeige, dass die Dimension besitzt.
  2. Es sei eine Basis von . Zeige, dass es in eine nichttriviale Beziehung zwischen den Monomen in vom Grad geben muss.



Es sei eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche. Es sei ein Divisor auf vom Grad und sei die zugehörige invertierbare Garbe auf .

  1. Zeige, dass die Dimension besitzt.
  2. Es sei eine Basis von . Zeige, dass es in zumindest zwei linear unabhängige Beziehungen zwischen den Monomen in vom Grad geben muss.