Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2008)/Vorlesung 4

Die Restklassenringe $ℤ / (n)$

Satz

Genau dann ist $a \in ℤ$ eine Einheit modulo $n$ (d.h. $a$ repräsentiert eine Einheit in $ℤ / (n)$ ), wenn $a$ und $n$ teilerfremd sind.

Beweis

Sind $a$ und $n$ teilerfremd, so gibt es nach Satz 26.8 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) eine Darstellung der $1$ , es gibt also ganze Zahlen $r, s$ mit

r a + s n = 1 .

Betrachtet man diese Gleichung modulo $n$ , so ergibt sich $r a = 1$ in $ℤ / (n)$ . Damit ist $a$ eine Einheit mit dem inversen Element $a^{- 1} = r$ .

Ist umgekehrt $a$ eine Einheit in $ℤ / (n)$ , so gibt es ein $r \in ℤ / (n)$ mit $a r = 1$ in $ℤ / (n)$ . Das bedeutet aber, dass $a r - 1$ ein Vielfaches von $n$ ist, sodass also

a r - 1 = s n

gilt. Dann ist aber wieder $a r - s n = 1$ und $a$ und $n$ sind teilerfremd.

◻

Korollar

Es sei $n \in ℕ$ . Der Restklassenring $ℤ / (n)$ ist genau dann ein Körper,

wenn $n$ eine Primzahl ist.

Die Zahl $n \geq 2$ ist genau dann prim, wenn sie teilerfremd zu jeder Zahl $a$ , $0 < a < n$ , ist. Dies ist nach Satz 4.1 genau dann der Fall, wenn in $ℤ / (n)$ jedes von $0$ verschiedene Element eine Einheit ist.

◻

Definition

Zu einer natürlichen Zahl $n$ bezeichnet $φ (n)$ die Anzahl der Elemente von $(ℤ / (n))^{\times}$ . Man nennt $φ (n)$ die Eulersche Funktion.

Bemerkung

Die Eulersche Funktion $φ (n)$ gibt also für $n \geq 1$ nach Satz 4.1 an, wie viele Zahlen $r$ , $0 \leq r < n$ , zu $n$ teilerfremd sind.

Satz

Es sei $n$ eine natürliche Zahl.

Dann gilt für jede zu $n$ teilerfremde Zahl $a$ die Beziehung

$a^{φ (n)} = 1 mod n .$

Beweis

Das Element $a$ gehört zur Einheitengruppe ${(ℤ / (n))}^{\times}$ , die $φ (n)$ Elemente besitzt. Nach dem Satz von Lagrange ist aber die Gruppenordnung ein Vielfaches der Ordnung des Elementes.

◻

Als Spezialfall erhalten wir den sogenannten kleinen Fermatschen Satz:

Lemma

Für eine Primzahl $p$ und eine beliebige ganze Zahl $a$ gilt

$a^{p} \equiv a mod p .$

Anders ausgedrückt: $a^{p} - a$ ist durch $p$ teilbar.

Beweis

Ist $a$ nicht durch $p$ teilbar, so definiert $a$ ein Element $\bar{a}$ in der Einheitengruppe ${(ℤ / (p))}^{\times}$ ; diese Gruppe hat die Ordnung $p - 1$ , und nach dem Satz von Lagrange gilt ${\bar{a}}^{p - 1} = 1$ . Durch Multiplikation mit $a$ ergibt sich die Behauptung. Für Vielfache von $p$ gilt die Aussage ebenso, da dann beidseitig $0$ steht.

◻

Beispiel

Es sei beispielsweise $p = 5$ . Dann ist für

a = 1 : 1^{5} = 1 mod 5

a = 2 : 2^{5} = 32 = 2 mod 5

a = 3 : 3^{5} = 243 = 3 mod 5

a = 4 : 4^{5} = 1024 = 4 mod 5.

Definition

Ein Körper heißt endlich, wenn er nur endlich viele Elemente besitzt.

Satz

Es sei $K$ ein endlicher Körper.

Dann ist das Produkt aller von $0$ verschiedenen Elemente aus $K$ gleich $- 1$ .

Beweis

Die Gleichung $x^{2} = 1$ hat in einem Körper nur die Lösungen $1$ und $- 1$ , die allerdings gleich sein können. Das bedeutet, dass für $x \neq 1, - 1$ immer $x \neq x^{- 1}$ ist. Damit kann man das Produkt aller Einheiten als

1 (- 1) x_{1} x_{1}^{- 1} \dots x_{k} x_{k}^{- 1}

schreiben. Ist $- 1 \neq 1$ , so ist das Produkt $- 1$ . Ist hingegen $- 1 = 1$ , so fehlt in dem Produkt der zweite Faktor und das Produkt ist $1 = - 1$ .

◻

Korollar

Es sei $p$ eine Primzahl.

Dann ist $(p - 1)! = - 1 mod p$ .

Beweis

Dies folgt unmittelbar aus Satz 4.9, da ja die Fakultät durch alle Zahlen zwischen $1$ und $p - 1$ läuft, also durch alle Einheiten im Restklassenkörper $ℤ / (p)$ .

◻

Wir wollen im folgenden die Struktur der Restklassenringe $ℤ / (n)$ verstehen, insbesondere, wenn die Primfaktorzerlegung von $n$ bekannt ist.

Lemma

Es seien $n$ und $k$ positive natürliche Zahlen, und $k$ teile $n$ .

Dann gibt es einen kanonischen Ringhomomorphismus

$ℤ / (n) ⟶ ℤ / (k), (a mod n) ⟼ (a mod k) .$

Beweis

Wir betrachten die Ringhomomorphismen

\begin{matrix} ℤ & \overset{φ}{⟶} & ℤ / (k) \\ ϕ ↓ \\ ℤ / (n) \end{matrix}

Aufgrund der Teilerbeziehung haben wir die Beziehung

kern ϕ = (n) \subseteq (k) = kern φ .

Aufgrund des Homomorphiesatzes hat man daher einen kanonischen Ringhomomorphismus von links unten nach rechts oben.

◻

Zur Formulierung des Chinesischen Restsatzes erinnern wir an den Begriff des Produktringes.

Definition

Es seien $R_{1}, \dots, R_{n}$ kommutative Ringe. Dann heißt das Produkt

R_{1} \times \dots \times R_{n},

versehen mit komponentenweiser Addition und Multiplikation, der Produktring der $R_{i}$ , $i = 1, \dots, n$ .

Satz

Es sei $n$ eine positive natürliche Zahl mit kanonischer Primfaktorzerlegung

n = p_{1}^{r_{1}} \cdot p_{2}^{r_{2}} \dots p_{k}^{r_{k}}

(die $p_{i}$ seien also verschieden und $r_{i} \geq 1$ ).

Dann induzieren die kanonischen Ringhomomorphismen $ℤ / (n) \to ℤ / (p_{i}^{r_{i}})$ einen Ringisomorphismus

$ℤ / (n) ≅ ℤ / (p_{1}^{r_{1}}) \times ℤ / (p_{2}^{r_{2}}) \times \dots \times ℤ / (p_{k}^{r_{k}}) .$

Zu gegebenen ganzen Zahlen $(a_{1}, a_{2}, \dots, a_{k})$ gibt es also genau eine natürliche Zahl $a < n$ , die die simultanen Kongruenzen

a = a_{1} mod p_{1}^{r_{1}}, a = a_{2} mod p_{2}^{r_{2}}, \dots, a = a_{k} mod p_{k}^{r_{k}}

löst.

Beweis

Da die Ringe links und rechts beide endlich sind und die gleiche Anzahl von Elementen haben, nämlich $n$ , genügt es, die Injektivität zu zeigen. Es sei $x$ eine natürliche Zahl, die im Produktring (rechts) zu $0$ wird, also modulo $p_{i}^{r_{i}}$ den Rest $0$ hat für alle $i = 1, 2, \dots, k$ . Dann ist $x$ ein Vielfaches von $p_{i}^{r_{i}}$ für alle $i = 1, 2, \dots, k$ , d.h. in der Primfaktorzerlegung von $x$ muss $p_{i}$ zumindest mit dem Exponenten $r_{i}$ vorkommen. Also muss $x$ nach Korollar 3.10 ein Vielfaches des Produktes sein, also ein Vielfaches von $n$ . Damit ist $x = 0$ in $ℤ / (n)$ und die Abbildung ist injektiv.

◻

Aufgabe

a) Bestimme für die Zahlen $3$ , $5$ und $7$ modulare Basislösungen, finde also die kleinsten positiven Zahlen, die in

ℤ / (3) \times ℤ / (5) \times ℤ / (7)

die Restetupel $(1, 0, 0), (0, 1, 0)$ und $(0, 0, 1)$ repräsentieren.

b) Finde mit den Basislösungen die kleinste positive Lösung $x$ der simultanen Kongruenzen

x = 2 mod 3, x = 4 mod 5 und x = 3 mod 7.

Lösung

a) $(1, 0, 0)$ : Alle Vielfachen von $5 \cdot 7 = 35$ haben modulo $5$ und modulo $7$ den Rest $0$ . Unter diesen Vielfachen muss also die Lösung liegen. $35$ hat modulo $3$ den Rest $2$ , somit hat $70$ modulo $3$ den Rest $1$ . Also repräsentiert $70$ das Restetupel $(1, 0, 0)$ .

$(0, 1, 0)$ : Hier betrachtet man die Vielfachen von $21$ , und $21$ hat modulo $5$ den Rest $1$ . Also repräsentiert $21$ das Restetupel $(0, 1, 0)$ .

$(0, 0, 1)$ : Hier betrachtet man die Vielfachen von $15$ , und $15$ hat modulo $7$ den Rest $1$ . Also repräsentiert $15$ das Restetupel $(0, 0, 1)$ .

b) Man schreibt (in $ℤ / (3) \times ℤ / (5) \times ℤ / (7)$ )

(2, 4, 3) = 2 (1, 0, 0) + 4 (0, 1, 0) + 3 (0, 0, 1) .

Die Lösung ist dann

2 \cdot 70 + 4 \cdot 21 + 3 \cdot 15 = 140 + 84 + 45 = 269 .

Die minimale Lösung ist dann $269 - 2 \cdot 105 = 59$ .

Die Einheiten im Restklassenring

Wir wollen zeigen, dass die Einheitengruppe $(ℤ / (p))^{\times}$ , wenn $p$ eine Primzahl ist, eine zyklische Gruppe ist, also von einem Element erzeugt wird. Der Restklassenring $ℤ / (p)$ ist ein Körper, und wir werden hier nach einigen Vorbereitungen allgemeiner zeigen, dass jede endliche Untergruppe der multiplikativen Gruppe eines Körpers zyklisch ist. Dazu benötigen wir einige Resultate über kommutative Gruppen und zu Polynomringen über Körpern. Wir beginnen mit zwei gruppentheoretischen Lemmata. Wir verwenden multiplikative Schreibweise.

Lemma

Es sei $G$ eine kommutative Gruppe und $x, y \in G$ Elemente der endlichen Ordnungen $n = ord (x)$ und $m = ord (y)$ , wobei $n$ und $m$ teilerfremd seien.

Dann hat $x y$ die Ordnung $n m$ .

Beweis

Es sei $(x y)^{k} = 1$ . Wir müssen zeigen, dass $k$ ein Vielfaches von $n m$ ist. Es ist

1 = {(x^{k} y^{k})}^{n} = x^{k n} y^{k n} = y^{k n},

da ja $n$ die Ordnung von $x$ ist. Aus dieser Gleichung erhält man, dass $k n$ ein Vielfaches der Ordnung von $y$ , also von $m$ sein muss. Da $n$ und $m$ teilerfremd sind, folgt aus Lemma 3.4, dass $k$ ein Vielfaches von $m$ ist. Ebenso ergibt sich, dass $k$ ein Vielfaches von $n$ ist, sodass $k$ , wieder aufgrund der Teilerfremdheit, ein Vielfaches von $n m$ sein muss.

◻

Definition

Der Exponent $\exp (G)$ einer endlichen Gruppe $G$ ist die kleinste positive Zahl $n$ mit der Eigenschaft, dass $x^{n} = 1$ für alle $x \in G$ ist.

Lemma

Es sei $G$ eine endliche kommutative Gruppe und sei $\exp (G) = ord (G)$ , wobei $\exp (G)$ den Exponenten der Gruppe bezeichnet.

Dann ist $G$ zyklisch.

Beweis

Es sei

n = ord (G) = p_{1}^{r_{1}} \dots p_{k}^{r_{k}}

die Primfaktorzerlegung der Gruppenordnung. Der Exponent der Gruppe ist

\exp (G) = kgV (ord (x) : x \in G) .

Es sei $p_{i}$ ein Primteiler von $n$ . Wegen

\exp (G) = ord (G)

gibt es ein Element $x \in G$ , dessen Ordnung ein Vielfaches von $p_{i}^{r_{i}}$ ist. Dann gibt es auch (in der von $x$ erzeugten zyklischen Untergruppe) ein Element $x_{i}$ der Ordnung $p_{i}^{r_{i}}$ . Dann hat das Produkt $x_{1} \dots x_{k} \in G$ nach Lemma 4.14 die Ordnung $n$ .

◻

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