Maßraum/Lebesgueraum/Approximationseigenschaften/Textabschnitt
Es sei ein topologischer Raum, der zugleich ein Maßraum auf der -Algebra der Borelmengen sei. Es gibt dann einerseits die stetigen Funktionen und andererseits -integrierbare Funktionen , die beides messbare Funktionen sind. Wir möchten verstehen, unter welchen Bedingungen an und an das Maß die stetigen Funktionen integrierbar sind und inwiefern man ihnen die integrierbaren Funktionen approximieren kann.
Lemma
Beweis
Es sei fixiert und es sei eine -integrierbare Funktion, die wir als reellwertig und als nichtnegativ annehmen können. Nach Fakt gibt es eine Folge von einfachen monoton wachsenden Funktionen , die punktweise gegen konvergieren. Wegen und der -Integrierbarkeit von sind auch die -integrierbar, woraus wiederum folgt, dass die Träger zu einen endlichen Träger haben. Wegen
können wir Fakt auf die Funktionenfolge , die ja gegen konvergiert, anwenden, und erhalten, dass
für gegen konvergiert. Dies bedeutet, die Konvergenz von gegen in .
Um zu zeigen, dass auch die stetigen Funktionen, sagen wir für eine Teilmenge des , dicht sind, gibt es im Wesentlichen zwei Strategien. Man approximiert die einfachen Funktionen bzw. die Indikatorfunktionen zu beliebigen messbaren Teilmengen beliebig gut durch stetige Funktionen, oder aber, man verschärft das vorstehende Resultat und zeigt, dass auch die Indikatorfunktionen zu Quadern schon einen dichten Untervektorraum erzeugen, und approximiert diese durch stetige Funktionen.
Lemma
Es sei eine messbare Teilmenge.
Dann ist das -dimensionale Volumen von gleich dem Infimum über die Volumensumme aller Quader-Überpflasterungen , , von , also
Beweis
Dies folgt aus Fakt und der Definition eines äußeren Maßes.
Hierbei kann man offene, halboffene oder abgeschlossene Quader nehmen.
Lemma
Das Borel-Lebesgue-Maß auf dem besitzt die folgenden Eigenschaften.
- Für alle beschränkten und insbesondere für alle kompakten Teilmengen ist .
- Für jede messbare Menge
ist
- Für jede messbare Menge
ist
Beweis
Die erste Eigenschaft ist klar. Die zweite Eigenschaft folgt aus Fakt mit offenen Quaderüberpflasterungen.
Zum Nachweis von (3) können wir annehmen, dass endlich ist.
Wir betrachten die Durchschnitte
Da die Bälle den Raum ausschöpfen, konvergieren die Volumina nach Fakt (5) gegen das von . Wir können also durch ersetzen (beispielsweise mit einer Maßabweichung von ) und dann annehmen, dass ist. Wir betrachten
Nach Teil (2) können wir das Volumen von beliebig gut durch offene Mengen von oben approximieren, von den wir ferner annehmen können, dass sie in liegen, sagen wir
mit
Dann ist
eine abgeschlossene Teilmenge von und die Volumenabweichung ist wie zuvor.
Genaue Eigenschaften, Definition. Topologische Quetscheigenschaft. Topologisch approximierbar. Kompaktheit.
Lemma
Es sei ein normaler topologischer Raum und ein -endliches Maß auf den Borelmengen von . Es sei eine messbare Teilmenge von mit .
Dann gibt es zu jedem eine stetige Funktion mit einem kompakten Träger derart, dass
Beweis
Es sei mit einer abgeschlossenen Teilmenge und einer offenen Teilmenge derart, dass
ist. Dann sind und disjunkte abgeschlossene Teilmengen und daher gibt es in dem normalen Raum nach dem Lemma von Urysohn eine stetige Funktion , deren Bild in ist und die auf den Wert und auf den Wert besitzt. Daher stimmt auf und auf mit der Indikatorfunktion zu überein und die Abweichungsmenge liegt in , dessen Maß höchstens ist.
Satz
Es sei ein normaler topologischer Raum und sei ein -endliches topologisch (kompakt) approximierbares Maß auf den Borel-Mengen von .
Dann ist der Raum der -wertigen stetigen Funktionen mit einem kompakten Träger ein dichter Untervektorraum im Lebesgueraum .
Beweis
Es sei der topologische Abschluss des Raumes der stetigen Funktionen mit kompakten Träger in . Es ist zu zeigen. Nach Fakt gehören die Indikatorfunktionen zu messbaren Mengen mit endlichem Maß dazu. Wegen der Vektorraumeigenschaft gehören auch die einfachen Funktionen mit einer Trägermenge mit endlichem Maß dazu. Deshalb folgt die Aussage aus Fakt.
Korollar
Es sei ein kompakter topologischer Raum und sei ein -endliches topologisch approximierbares Maß auf den Borel-Mengen von .
Dann ist der Raum der -wertigen stetigen Funktionen ein dichter Untervektorraum im Lebesgueraum .
Beweis
Dies folgt direkt aus Fakt.
Korollar
Es sei ein Maß auf dem , das durch eine Dichte bezüglich des Borel-Lebesgue-Maßes gegeben sei.
Dann ist der Raum der -wertigen stetigen Funktionen mit einem kompakten Träger ein dichter Untervektorraum im Lebesgueraum .
Beweis
Korollar
Im Lebesgueraum bildet
der Raum einen dichten Untervektorraum.
Beweis
Dies folgt direkt aus Fakt.