Monoidringe/Endlicher Kokern/Fundamentalgruppe/Textabschnitt

Satz

Es sei ${}D$ eine kommutative endliche Gruppe und ${}\delta \colon \mathbb {Z} ^{n}\rightarrow D$ ein surjektiver Gruppenhomomorphismus mit ${}n\geq 2$. Diesen Gruppenhomomorphismus fassen wir als ${}D$-Graduierung auf dem Polynomring ${}{\mathbb {C} }[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ und als Operation der Charaktergruppe ${}G=D^{\vee }$ auf dem ${}{\mathbb {C} }^{n}$ auf. Es sei ${}\Gamma$ der Kern von ${}\delta$, ${}M=\Gamma \cap \mathbb {N} ^{n}$ das zugehörige Monoid und

${}{\mathbb {C} }[M]\subseteq {\mathbb {C} }[X_{1},\ldots ,X_{n}]\,$

die zugehörige Inklusion des Monoidringes. Es sei

$q\colon {\mathbb {C} }^{n}\longrightarrow Y=\operatorname {Spek} {\left({\mathbb {C} }[M]\right)}_{\mathbb {C} }$

die zugehörige Quotientenabbildung. Es sei eine Zariski-abgeschlossene ${}G$-invariante Teilmenge ${}T\subset {\mathbb {C} }^{n}$ derart gegeben, dass ${}T$ ganz in der Vereinigung der Achsenhyperebenen liegt, dass ${}T$ mindestens die Kodimension ${}2$ besitzt und dass die induzierte Operation von ${}G$ auf ${}{\mathbb {C} }^{n}\setminus T$ fixpunktfrei sei. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Die Fundamentalgruppe von

   ${}Y\setminus q(T)={\left({\mathbb {C} }^{n}\setminus T\right)}/G\,$

   ist ${}G$.

2. Es sei ${}m\in \mathbb {N} _{+}$ derart, dass ${}m\mathbb {Z} ^{n}\subseteq \Gamma$ ist. Die Zuordnung

   $F\colon \operatorname {Hom} \left(\Gamma ,\mathbb {Z} \right)\longrightarrow \operatorname {Hom} \left(\mathbb {Z} ^{n},{\mathbb {C} }^{\times }\right),\,\gamma \longmapsto F(\gamma )={\left(e_{j}\mapsto e^{\frac {2\pi {\mathrm {i} }\gamma (me_{j})}{m}}\right)},$

   induziert einen Gruppenisomorphismus

   $\operatorname {Hom} \left(\Gamma ,\mathbb {Z} \right)/\operatorname {bild} \left(\operatorname {Hom} \left(\mathbb {Z} ^{n},\mathbb {Z} \right)\right)\longrightarrow G.$

3. Die zu ${}\gamma \in \operatorname {Hom} \left(\Gamma ,\mathbb {Z} \right)$ gehörende Abbildung

   $\gamma ^{*}\colon {\mathbb {C} }^{\times }\longrightarrow {\left({\mathbb {C} }^{\times }\right)}^{n}\subseteq Y\setminus q(T),\,t\longmapsto (t^{\gamma (u_{1})},\ldots ,t^{\gamma (u_{n})}),$

   (${}u_{j}$ sei eine Basis von $\Gamma \cong \mathbb {Z} ^{n}$) ergibt durch Einschränkung auf ${}S^{1}\subseteq {\mathbb {C} }^{\times }$ einen stetigen geschlossenen Weg

   $[0,2\pi ]\longrightarrow Y\setminus q(T).$

4. Die Liftung des Weges aus (3) nach ${}{\mathbb {C} }^{n}\setminus T$ mit dem Anfangspunkt ${}(1,\ldots ,1)$ ist durch

   $[0,2\pi ]\longrightarrow {\mathbb {C} }^{n}\setminus T,\,s\longmapsto \left(e^{\frac {{\mathrm {i} }s\gamma (me_{1})}{m}},\,\ldots ,\,e^{\frac {{\mathrm {i} }s\gamma (me_{n})}{m}}\right),$

   gegeben. Der Weg ${}\gamma ^{*}{|}_{S^{1}}$ repräsentiert das nach (2) zu ${}\gamma$ gehörende Element in der Fundamentalgruppe ${}G$.

Beweis

(1) folgt aus Fakt, da ${}{\mathbb {C} }^{n}\setminus T$ wegen der Bedingung an die Kodimension einfach zusammenhängend und die Operation darauf nach Voraussetzung fixpunktfrei ist.
(2). Die Abbildung ${}F$ ist wegen der Funktionalgleichung der Exponentialfunktion ein Gruppenhomomorphismus. Die Abbildung ${}F(\gamma )$ ist auf der Untergruppe ${}\Gamma \subseteq \mathbb {Z} ^{n}$ trivial. Für ${}u\in \Gamma$ ist ja ${}\gamma (mu)=m\gamma (u)$ und somit ist

${}e^{\frac {2\pi {\mathrm {i} }\gamma (mu)}{m}}=e^{\frac {2\pi {\mathrm {i} }m\gamma (u)}{m}}=e^{2\pi {\mathrm {i} }\gamma (u)}=1\,.$

Daher ist ${}F(\gamma )$ in natürlicher Weise ein Gruppenhomomorphismus

$\mathbb {Z} ^{n}/\Gamma \cong D\longrightarrow {\mathbb {C} }^{\times },$

also ein Charakter auf ${}D$. Zur Bestimmung des Kerns von ${}F$ sei zunächst ${}\gamma$ die Einschränkung eines Gruppenhomomorphismus

${\tilde {\gamma }}\colon \mathbb {Z} ^{n}\longrightarrow \mathbb {Z}$

auf ${}\Gamma \subseteq \mathbb {Z} ^{n}$. Doch dann ist natürlich ${}\gamma (me_{j})=m{\tilde {\gamma }}(e_{j})$ für die Basis ${}e_{j}$ von ${}\mathbb {Z} ^{r}$ und somit ist der zugehörige Charakter trivial. Wenn umgekehrt der zugehörige Charakter trivial ist, so muss ${}{\frac {\gamma (me_{j})}{m}}\in \mathbb {Z}$ für jedes ${}e_{j}$ gelten. Doch dann ist durch

${}{\tilde {\gamma }}(e_{j}):={\frac {\gamma (me_{j})}{m}}\,$

eine Fortsetzung von ${}\gamma$ nach ${}\mathbb {Z} ^{n}$ gegeben. Es liegt also ein injektiver Gruppenhomomorphismus

$\operatorname {Hom} \left(\Gamma ,\mathbb {Z} \right)/\operatorname {bild} \left(\operatorname {Hom} \left(\mathbb {Z} ^{n},\mathbb {Z} \right)\right)\longrightarrow G$

vor. Die Surjektivität folgt aus Aufgabe.
(3). Der Monoidhomomorphismus

$M\hookrightarrow \Gamma {\stackrel {\gamma }{\longrightarrow }}\mathbb {Z}$

führt zu einem ${}{\mathbb {C} }$-Algebrahomomorphismus

${\mathbb {C} }[M]\longrightarrow {\mathbb {C} }[\mathbb {Z} ]\cong {\mathbb {C} }[W,W^{-1}]$

und damit zu einem Morphismus der zugehörigen Spektren, der ${}{\mathbb {C} }$-Spektren, und der entsprechenden metrischen Räume, also zu einer (in der natürlichen Topologie) stetigen Abbildung

$\gamma ^{*}\colon {\mathbb {C} }^{\times }\longrightarrow Y=\operatorname {Spek} {\left({\mathbb {C} }[M]\right)}_{\mathbb {C} }.$

Da diese Abbildung über ${}\operatorname {Spek} {\left({\mathbb {C} }[\Gamma ]\right)}_{\mathbb {C} }\cong {\left({\mathbb {C} }^{\times }\right)}^{n}$ faktorisiert, liegt das Bild dieser Abbildung ganz in ${}Y\setminus q(T)$. Die Einschränkung auf den Einheitskreis ${}S^{1}\subseteq {\mathbb {C} }^{\times }$ ist natürlich ebenfalls stetig.
(4). Wir haben ein kommutatives Diagramm

${\begin{matrix}M&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&\Gamma &{\stackrel {\gamma }{\longrightarrow }}&\mathbb {Z} &\\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \cdot m\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!&&\\\mathbb {N} ^{n}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&\mathbb {Z} ^{n}&{\stackrel {\tilde {\gamma }}{\longrightarrow }}&\mathbb {Z} &\!\!\!\!\!,\\\end{matrix}}$

wobei ${}{\tilde {\gamma }}$ durch ${}{\tilde {\gamma }}(e_{j}):=\gamma (me_{j})$ definiert ist. Diesem Diagramm entspricht das Diagramm

${\begin{matrix}{\mathbb {C} }^{\times }&{\stackrel {{\tilde {\gamma }}^{*}}{\longrightarrow }}&{\mathbb {C} }^{n}&\\\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!{t}^{m}\downarrow &&\downarrow &\\{\mathbb {C} }^{\times }&{\stackrel {\gamma ^{*}}{\longrightarrow }}&Y&\!\!\!\!\!.\\\end{matrix}}$

Die Liftung spielt sich nun im Wesentlichen links ab, d.h. es muss der einfach geschlossene Weg

$\iota \colon [0,2\pi ]\longrightarrow {\mathbb {C} }^{\times },\,s\longmapsto e^{s{\mathrm {i} }},$

bezüglich der ${}m$-ten Potenz ${}t\mapsto t^{m}$ geliftet werden. Dies geschieht aber durch die Zuordnung

${\tilde {\iota }}\colon [0,2\pi ]\longrightarrow {\mathbb {C} }^{\times },\,s\longmapsto e^{\frac {s{\mathrm {i} }}{m}}.$

Die ${}j$-te Komponente des Endpunkts dieser Liftung in ${}{\mathbb {C} }^{r}$ ist

${}{\tilde {\gamma }}_{j}^{*}{\tilde {\iota }}(2\pi )={\tilde {\gamma }}_{j}^{*}{\left(e^{\frac {2\pi {\mathrm {i} }}{m}}\right)}={\left(e^{\frac {2\pi {\mathrm {i} }}{m}}\right)}^{{\tilde {\gamma }}(e_{j})}={\left(e^{\frac {2\pi {\mathrm {i} }}{m}}\right)}^{\gamma (me_{j})}=e^{\frac {2\pi {\mathrm {i} }\gamma (me_{j})}{m}}\,.$

Durch diese Zahlen ist auch der zu ${}\gamma$ gehörende Charakter ${}F(\gamma )$ aus Teil (2) gegeben.

$\Box$

Bemerkung  

Wir betrachten eine Graduierung des Polynomringes ${}{\mathbb {C} }[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ durch einen surjektiven Gruppenhomomorphismus

$\delta \colon \mathbb {Z} ^{n}\longrightarrow \mathbb {Z} /(\ell ):=D$

in eine endliche zyklische Gruppe. Es sei vorausgesetzt, dass ${}\delta (e_{j})$ ein Erzeuger von ${}\mathbb {Z} /(\ell )$ für jeden Standardvektor ${}e_{j}\in \mathbb {Z} ^{n}$ ist. Dann ist die zugehörige Operation der Charaktergruppe ${}G=D^{\vee }=\mu _{\ell }{\left({\mathbb {C} }\right)}$ auf ${}{\mathbb {C} }^{n}\setminus \{0\}$ fixpunktfrei. Zu ${}x\neq 0$ sei ${}x_{j}\neq 0$. Für jeden Charakter ${}\chi \neq 1$ gilt

${}\chi (x)=(\ldots ,\chi (\delta (e_{j}))x_{j},\ldots )\neq (\ldots ,x_{j},\ldots )\,,$

da ${}\delta (e_{j})$ nach Voraussetzung ein Erzeuger ist und somit ${}\chi (\delta (e_{j}))\neq 1$ ist. Bei ${}n\geq 2$ ist in einem solchen Fall die Fundamentalgruppe von

$\operatorname {Spek} {\left({\mathbb {C} }[X_{1},\ldots ,X_{n}]^{G}\right)}_{\mathbb {C} }\setminus \{P\}$

(wobei ${}P$ das Bild des Nullpunktes sei) aufgrund von Fakt gleich ${}\mathbb {Z} /(\ell )$.

Beispiel

Wir betrachten die durch

$\delta \colon \mathbb {Z} ^{2}\longrightarrow \mathbb {Z} /(\ell )=:D$

mit

$\delta (e_{1})=1,\,\delta (e_{2})=\ell -1$

gegebene Graduierung auf ${}{\mathbb {C} }[U,V]$, die der linearen Operation der Matrizen

${\begin{pmatrix}\zeta ^{i}&0\\0&\zeta ^{-i}\end{pmatrix}},\,i=1,\ldots ,\ell -1$

zu einer ${}\ell$-ten primitiven Einheitswurzel ${}\zeta$ entspricht, vergleiche dazu auch Beispiel und Beispiel. Der Kern ist durch

${}\Gamma =\langle \ell e_{1},e_{1}+e_{2}\rangle \,$

und das Monoid durch

${}M=\langle \ell e_{1},\ell e_{2},e_{1}+e_{2}\rangle \,$

gegeben, der Invariantenring ist ${}{\mathbb {C} }[X,Y,Z]/{\left(XY-Z^{\ell }\right)}$. Die Bedingungen von Bemerkung sind dabei erfüllt, es ist also ${}0\in {\mathbb {C} }^{2}$ der einzige Fixpunkt und die Operation auf ${}{\mathbb {C} }^{2}\setminus \{0\}$ ist fixpunktfrei. Daher kann man Fakt anwenden und erhält, dass die Fundamentalgruppe des punktierten Spektrum des Invariantenringes, also

$\operatorname {Spek} {\left({\mathbb {C} }[X,Y,Z]/{\left(XY-Z^{\ell }\right)}\right)}_{\mathbb {C} }\setminus \{P\},$

gleich ${}\mathbb {Z} /(\ell )$ ist. Ein erzeugendes Element der Fundamentalgruppe wird auf der Monoidebene (bzw. auf dem Differenzengitter) durch

$\gamma \colon \Gamma =\operatorname {kern} \delta \longrightarrow \mathbb {Z}$

mit

$\gamma (\ell e_{1})=1,\,\gamma (e_{1}+e_{2})=0{\text{ und }}\gamma (\ell e_{2})=-1$

gegeben. Dieser Homomorphismus lässt sich nicht nach ${}\mathbb {Z} ^{2}$ fortsetzen, allerdings lässt sich das ${}\ell$-fache davon fortsetzen. Auf der Ringebene entspricht dies dem ${}{\mathbb {C} }$-Algebrahomomorphismus

$\varphi \colon {\mathbb {C} }[X,Y,Z]/{\left(XY-Z^{\ell }\right)}\longrightarrow {\mathbb {C} }[T,T^{-1}]$

mit ${}\varphi (X)=T$, ${}\varphi (Y)=T^{-1}$ und ${}\varphi (Z)=1$, was wiederum der stetigen Abbildung

${\mathbb {C} }^{\times }\longrightarrow \operatorname {Spek} {\left({\mathbb {C} }[X,Y,Z]/(XY-Z^{\ell })\right)}_{\mathbb {C} }=V{\left(XY-Z^{\ell }\right)},\,t\longmapsto (t,t^{-1},1),$

(bzw. ins punktierte Spektrum) entspricht. Somit ist

$[0,2\pi ]\longrightarrow \operatorname {Spek} {\left({\mathbb {C} }[X,Y,Z]/{\left(XY-Z^{\ell }\right)}\right)}_{\mathbb {C} }\setminus \{P\},\,s\longmapsto \left(e^{{\mathrm {i} }s},\,e^{-{\mathrm {i} }s},\,1\right),$

ein Erzeuger der lokalen Fundamentalgruppe dieses Monoidringes.

Beispiel

Wir betrachten die durch

$\delta \colon \mathbb {Z} ^{n}\longrightarrow \mathbb {Z} /(\ell )=:D$

mit

$\delta (e_{j})=1{\text{ für alle }}j$

gegebene Graduierung auf ${}{\mathbb {C} }[X_{1},\ldots ,X_{n}]$, die der linearen Operation der Matrizen

${\begin{pmatrix}\zeta ^{i}&0&\cdots &\cdots &0\\0&\zeta ^{i}&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&\zeta ^{i}&0\\0&\cdots &\cdots &0&\zeta ^{i}\end{pmatrix}},\,i=1,\ldots ,\ell -1,$

zu einer ${}\ell$-ten primitiven Einheitswurzel ${}\zeta$ entspricht. Nach Fakt ist der Invariantenring zu dieser Operation der ${}\ell$-te Veronese-Ring

${\mathbb {C} }[X_{1},\ldots ,X_{n}]^{(\ell )}.$

Die Bedingungen von

Bemerkung sind dabei erfüllt, es ist also ${}0\in {\mathbb {C} }^{n}$ der einzige Fixpunkt und die Operation auf ${}{\mathbb {C} }^{n}\setminus \{0\}$ ist fixpunktfrei. Daher kann man bei ${}n\geq 2$ Fakt anwenden und erhält, dass die Fundamentalgruppe des punktierten Spektrum des Invariantenringes, also

$\operatorname {Spek} {\left({\mathbb {C} }[X_{1},\ldots ,X_{n}]^{(\ell )}\right)}_{\mathbb {C} }\setminus \{P\},$

gleich ${}\mathbb {Z} /(\ell )$ ist. Ein erzeugendes Element der Fundamentalgruppe wird auf der Monoidebene (bzw. auf dem Differenzengitter) durch den Homomorphismus

$\gamma \colon \Gamma =\operatorname {kern} \delta \longrightarrow \mathbb {Z}$

gegeben, der die Erzeuger ${}e_{j}$ des umgebenden ${}\mathbb {Z} ^{n}$ auf ${}{\frac {1}{\ell }}$ abbildet. Somit wird jeder Erzeuger des Monoids auf ${}1$ abgebildet. Auf der Ringebene entspricht dies dem ${}{\mathbb {C} }$-Algebrahomomorphismus

$\varphi \colon {\mathbb {C} }[X_{1},\ldots ,X_{n}]^{(\ell )}\longrightarrow {\mathbb {C} }[T,T^{-1}]$

mit

${}\varphi {\left(X^{\nu }\right)}=T^{\frac {\vert {\nu }\vert }{\ell }}\,$

für alle Monome ${}X^{\nu }$ aus dem Veronese-Ring (die Erzeuger des Veronese-Ringes, also die Monome ${}X^{\nu }$, ${}\vert {\nu }\vert =\ell$, werden einfach auf ${}W$ abgebildet). Dies führt wiederum zur stetigen Abbildung

${\mathbb {C} }^{\times }\longrightarrow \operatorname {Spek} {\left({\mathbb {C} }[X_{1},\ldots ,X_{n}]^{(\ell )}\right)}_{\mathbb {C} },\,t\longmapsto (t:\,\vert {\nu }\vert =\ell )$

(bzw. ins punktierte Spektrum). Somit ist

$[0,2\pi ]\longrightarrow \operatorname {Spek} {\left({\mathbb {C} }[X_{1},\ldots ,X_{n}]^{(\ell )}\right)}_{\mathbb {C} }\setminus \{P\},\,s\longmapsto {\left(e^{{\mathrm {i} }s}:\,\vert {\nu }\vert =\ell \right)},$

ein Erzeuger der lokalen Fundamentalgruppe des Veronese-Ringes.

Außerhalb der drei schwarzen Achsen, die Kodimension ${}2$ besitzen, ist die Operation fixpunktfrei. Die relevanten Wege verlaufen ganz im Komplement der drei Ebenen. Das reelle Bild lässt nicht erkennen, dass dieses Komplement im komplexen (auch einfach) zusammenhängend ist.

Beispiel

Wir betrachten die durch

$\delta \colon \mathbb {Z} ^{3}\longrightarrow \mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(2)=:D$

mit

$\delta (e_{1})=(1,0),\,\delta (e_{2})=(0,1),\,\delta (e_{3})=(1,1)$

festgelegte Graduierung auf ${}{\mathbb {C} }[U,V,W]$. Die zugehörige lineare Operation auf dem ${}{\mathbb {C} }^{3}$ ist durch die Matrizen

${\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}-1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}-1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$

gegeben. Die drei letzten Matrizen besitzen jeweils eine Fixgerade, daher ist die Operation auf ${}{\mathbb {C} }^{3}\setminus \{0\}$ nicht fixpunktfrei, dagegen ist die Operation auf ${}X={\mathbb {C} }^{3}\setminus Z$, wobei ${}Z={\mathbb {C} }e_{1}\cup {\mathbb {C} }e_{2}\cup {\mathbb {C} }e_{3}$ die Vereinigung der Achsen bezeichnet, frei. Da ${}Z$ die (komplexe) Kodimension ${}2$ besitzt, ist ${}X$ einfach zusammenhängend. Der Invariantenring ist ${}{\mathbb {C} }[U^{2},V^{2},W^{2},UVW]$ mit der Relation ${}(UVW)^{2}=U^{2}V^{2}W^{2}$. Daher ist nach Fakt die Fundamentalgruppe von ${}\operatorname {Spek} {\left({\mathbb {C} }[U^{2},V^{2},W^{2},UVW]\right)}_{\mathbb {C} }\setminus q(Z)$ gleich ${}\mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(2)$.

Beispiel

Zum Restklassenhomomorphismus

$\delta \colon \mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} /(\ell )=:D$

ist der Kern durch ${}\Gamma =\mathbb {Z} \ell$ gegeben. Die zugehörige Operation ist die von ${}\mu _{\ell }{\left({\mathbb {C} }\right)}$ auf ${}{\mathbb {C} }$ durch Multiplikation mit dem einzigen Fixpunkt ${}0$ bzw. fixpunktfrei auf ${}{\mathbb {C} }^{\times }$. Die Quotientenabbildung ist durch das ${}\ell$-te Potenzieren

${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto z^{\ell },$

gegeben. Die Fundamentalgruppe von ${}{\mathbb {C} }^{\times }$ ist bekanntlich ${}\mathbb {Z}$. Hier kann man Fakt nicht anwenden, da der Raum, auf dem fixpunktfrei operiert wird, nämlich ${}{\mathbb {C} }^{\times }={\mathbb {C} }\setminus \{0\}$, nicht einfach zusammenhängend ist.

Beispiel

Wir betrachten die durch

$\delta \colon \mathbb {Z} ^{2}\longrightarrow \mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(2)=:D$

mit

$\delta (e_{1})=(1,0),\,\delta (e_{2})=(0,1)$

festgelegte Graduierung auf ${}{\mathbb {C} }[U,V]$. Die zugehörige lineare Operation auf dem ${}{\mathbb {C} }^{2}$ ist durch die Matrizen

${\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}}$

gegeben. Die beiden mittleren Matrizen besitzen jeweils eine Fixgerade, daher ist die Operation auf ${}{\mathbb {C} }^{2}\setminus \{0\}$ nicht frei. Die Operation auf ${}X={\mathbb {C} }^{2}\setminus Z$, wobei ${}Z={\mathbb {C} }e_{1}\cup {\mathbb {C} }e_{2}$ das Achsenkreuz bezeichnet, ist frei, doch besitzt ${}Z$ die Kodimension ${}1$ in der Ebene. Der Invariantenring ist ${}{\mathbb {C} }[U^{2},V^{2}]$, ein Polynomring in zwei Variablen, Fakt ist in diesem Fall nicht anwendbar.

Fußnoten