Positive Charakteristik/Vermischtes/Textabschnitt

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Beispiel  

Es sei ein Körper der Charakteristik und die projektive Fläche

Die ist eine glatte projektive Fanofläche, das kanonische Geradenbündel ist . Es ist

Diese Kohomologieklasse wird durch den Frobenius annulliert, es ist ja






Lemma  

Es sei der algebraische Abschluss eines endlichen Körpers und seien glatte projektive Kurven über . Es sei das Produkt der beiden Kurven mit den Projektionen . Es sei ein Geradenbündel auf und ein Geradenbündel auf mit dem zugehörigen Geradenbündel .

Dann gilt für die Beziehung genau dann, wenn .

Beweis  

Es ist

Wenn ein nichtnegativen Grad besitzt, so kann man die zugehörige erste Kohomologie auf endlich annullieren. Dies überträgt sich auf zunächst auf alle Klassen der Form und dann auch für die gesamte Kohomologie. Bleibt der Fall, wo beide Geradenbündel negativen Grad haben, also antiampel sind. Für eine Produktklasse mit Komponenten besitzt keinen gemeinsamen Annullator.


Wenn eine Kurve die projektive Gerade ist oder beide Kurven elliptisch sind, so ist jedes Geradenbündel vom Produkttyp, sonst aber nicht.

Der Modul der Kähler-Differentiale ist

Die erste Kohomologie ist die direkte Summe der beiden ersten Kohomologien, beide eindimensional, und je nach Kurve kann was annullierbar sein oder nicht.


Zu einer lokal freien Garbe und einer topdimensionalen Kohomologieklasse gibt es einen Homomorphismus

der die Klasse auf nicht abbildet. Das Bild ist ein Untermodul, der sonst keine besonderen Eigenschaften besitzt.




Lemma  

Es sei eine glatte projektive Varietät der Dimension über einem algebraisch abgeschlossenen Körper der Charakteristik . Es sei eine sehr geräumige invertierbare Garbe auf , eine Kohomologieklasse und ein (projektiv) -dimensionales basispunktfreies lineares System mit dem zugehörigen endlichen Morphismus

Dann annulliert ein Schemamorphismus

der annulliert, auch eine -te Kohomologieklasse von mit negativ.

Beweis  

Wir betrachten die Einbettung

zum vollen linearen System gefolgt von der Projektion (weg von einem linear-projektiven Unterraum der Dimension , der disjunkt zu ist)

Die Hintereinanderschaltung ist endlich, das Urbild von ist wieder , da dies auf einer Geraden getestet werden kann, und der Grad von

ist der Selbstschnitt auf . Es ist ja mit dem Divisor zu

Wir beschreiben in Cech-Kohomologie zur Standardüberdeckung des , es liegt eine Klasse der Form

mit

vor. Durch Frobenius den Grad negativer machen, in der neuen Situation sei der Nenner und habe den Grad

. Ganzheitsgleichung für . Wenn durch das homogene Ideal beschrieben wird, so ist ein homogenes Element im punktierten Spektrum und erfüllt daher eine Ganzheitsgleichung. Sei

Dann gibt es eine Ganzheitsgleichung

mit homogenen Polynomen in den Variablen vom Grad und (sonst kürzen). Also ist

Dabei ist

da einen Grad besitzt. Wenn die Kohomologieklasse annulliert,



Beispiel  

In Beispiel ist direkt eingebettet und ebenso ist die Kohomologieklasse schon in der richtigen Form gegeben. Der Grad ist , das ist der Schnitt mit einer Geraden . Es ist aber

Wenn man hingegen in Charakteristik zu

übergeht, so ist dies bei gleich . Bei ist und somit ist dies

und dies ist multipliziert mit gleich

Dies enthält beispielsweise den Summanden mit dem Vorfaktor , der modulo eine Einheit ist.


Zu einer endlichen graduierten Ringerweiterung

mit gibt es ein derart, dass alle Kohomologieklassen aus eine Realisierung

besitzen, wobei der Grad des Nenners durch beschränkt ist, und zwar unabhängig von . Für ein fixiertes ist dies klar wegen der Endlichkeit der Kohomologie. Ansonsten können wir als normal annehmen, wobei wir dann die Graduierung verfeinern müssen. Die Algebraerzeuger von erfüllen Ganzheitsgleichungen. ist dann das Produkt der Grade der Ganzheitsgleichungen über ein Algebraerzeugendensystem, da man dann ein Monom in diesen Erzeugern durch einen einfacheren Ausdruck ersetzen kann.


Beispiel  

Es sei ein Körper von positiver Charakteristik, , . Dann ist , das Element gehört aber zum integralen Abschluss von . Für jeden echten Restklassenring des Polynomringes gehört daher zum integralen Abschluss von und damit auch zum straffen Abschluss von , da diese Ringe ja höchstens eindimensional sind. Der Torsor zur Kohomologieklasse ist ein affines Schema über der projektiven Gerade und enthält keine projektive Kurve, über jedem einzelnen Punkt enthält es aber natürlich Punkte.



Beispiel  

Es sei ein Körper von positiver Charakteristik, , . Es ist . Wir betrachten die graduierte Auflösung des Ideals auf der projektiven Ebene, also

mit dem mittleren Kern . Der neunte Twist ergibt hinten die kurze exakte Sequenz

die zeigt, dass ein geräumiges Bündel ist. Wir betrachten die zu gehörige erste Kohomologieklasse

und den zugehörigen Torsor

Dieser enthält keine projektive Fläche, seine kohomologische Dimension ist (er annulliert mit auch die zweite Kohomologieklasse , er ist aber auch nicht affin). Die Einschränkung von auf jede Kurve ist wieder ampel und deshalb wird die eingeschränkte Kohomologieklasse sogar vom Frobenius annulliert. Insbesondere gibt es über jeder Kurve eine projektive Kurve in .




Definition  

Es sei eine projektive Varietät über einem algebraisch abgeschlossenen Körper der Charakteristik und sei eine lokal freie Garbe auf . Man nennt kohomologisch -ampel, wenn es für jede kohärente Garbe und jedes ein derart gibt, dass für alle

gilt.

Arapura nennt das -ampel bzw. Frobenius-Amplitude ist .


Definition  

Es sei eine projektive Varietät über einem algebraisch abgeschlossenen Körper der Charakteristik und sei eine lokal freie Garbe auf . Man nennt -ampel, wenn es für jede kohärente Garbe ein derart gibt, dass für alle die Garbe von globalen Schnitten erzeugt wird.

Es gilt kohomologisch -ampel -ampel ampel. Auf einer Kurve und für invertierbare Garben fallen die Begriffe zusammen. Das Syzygienbündel in Beispiel ist ampel, aber nicht kohomologisch -ampel. Es ist als Quotient eines -amplen Bündels auch -ampel.


Wenn -ampel auf einer glatten projektiven Varietät ist, so ist , wobei eine sehr ample invertierbare Garbe sei, für hinreichend groß von globalen Schnitten erzeugt. Damit gibt es eine Einbettung

und deshalb hat keine globalen Schnitte . Deshalb ist nach Serre-Dualität

siehe Lemma 5.3 in Arapura. Das geht auch unter der Bedingung ampel. Dazu wählt man ein sehr amples Geradenbündel und Schnitte, die eine glatte Kurve herausschneiden. Wenn einen globalen Schnitt hätte, so hätte auch die generische Einschränkung auf eine vollständige Durchschnittskurve einen Schnitt. Die Einschränkung von ist aber ebenfalls amplel und so erreicht man einen beliebig hohen Grad.



Sei

eine kurze exakte Sequenz von graduierten -Moduln. Dann ist der Frobenius nicht exakt, aber rechtsexakt und exakt auf dem regulären Ort und auf dem Ort, wo lokal frei vorliegt.



Beispiel  

Wir betrachten auf dem projektiven Raum eine Koszul-Auflösung der Form

und die eingeschränkte Auflösung (die nicht minimal ist) auf eine Hyperfläche vom Grad . Es ist ampel und -ampel für

Es sind und bis auf einen Twist dual zueinander. Der Grad von ist , der Grad von ist . Das wird effektiv bei

Die Einschränkung des ersten Syzygienbündels auf eine projektive Gerade der Form ist




Beispiel  

Es sei ein diskreter Berwertungsring mit Ortsuniformisierender . Wir betrachten die Abbildung

mit mit Eniheiten und Exponenten . Das Bild ist das Ideal . Der Kern wird erzeugt durch die Tupel

Die Tupel

sind etwas natürlicher, aber nur außerhalb des Nullpunktes eine Basis. Wenn die Situation von einer höherdimensionalen Situation herrührt, so ergibt der Isomorphismus mit der Strukturgarbe gerade keinen Isomorphismus (der Rückzug des Syzygienmoduls ist nicht der Syzygienmodul).

Sei das Syzygienbündel auf zu einem -primären Ideal und sei

ein Ringhomomorphismus. Es liegt also eine kurze exakte Sequenz

vor. Durch Rückzug erhält man die exakte Sequenz

Einerseits hat man hier nur eine Surjektion .

Dann ist

weder surjektiv noch injektiv. Wenn eine Situation wie eingangs beschrieben entsteht, so sind beide Moduln frei. Entscheidend für Fortsetzungseigenschaften ist der linke.

Bei () auf liegt ein Isomorphismus

vor. Unter wird der Isomorphismus zu

und mit dem Isomorphismus

ist die obige Abbildung gleich


Bemerkung  

Es sei

wobei Parameter in seien, und . Ein Monom wird auf repräsentiert durch

und die erste Kohomologieklasse besteht aus den Differenzen auf . Bei wird die erste Kohomologieklasse repräsentiert durch



Beispiel  

Es sei und und . Unter dem Modulisomorphismus

ist die zugehörige Kohomologieklasse gleich . In Syzygienschreibweise ist dies gleich . In der Realisierung als Gruppenschema (als Untergruppe) ist dies , die Schnitte sind die Syzygien. Der auf definierte Schnitt besitzt eingeschränkt auf die Geraden (nicht die Achsen) bei eine Fortsetzung in den Nullpunkt hinein.



Beispiel  

Wir betrachten und auf . Die zugehörige Kohomologieklasse ist


Bemerkung  

Isolierte Singularität, Singularitätenauflösung . Modul mit Rückzug nach . Kohomologieklasse aus . Äquivalent (?). fortsetzbar nach . Für jeden Bewertungsring (lokal) ist der zurückgezogene Vertreter (es gibt einen) in polfrei. Grundkörper . Es gibt einen Vertreter der Klasse, der für gegen den Nullpunkt konvergiert.

Polynomring, Strukturgarbe (eventuell Tiefenbedingung), Klasse nicht . mit . Nicht auf Auflösung fortsetzbar, nicht polfrei, nicht konvergent.

Wenn positiv graduiert ist, so geht es um die Kohomologieklassen Wenn der Grad der Klasse ist, so sind alle drei Bedingungen erfüllt.


Bemerkung  

Zu einer Moduldarstellung

ist die symmetrische Algebra der Restklassenring , wobei durch lineare Polynome erzeugt wird, die aus der Matrix ablesbar sind. Die Schnitte von in entsprechen den -Algebrahomomorphismen und diese den -Modulhomomorphismen und damit insgesamt dem Dualmodul. Die Fasern sind immer affine Räume, aber mit variierender Dimension.


ist ein Achsenkreuz. Über einem diskreten Bewertungsring kann man Variablen, die mit einer Einheit als Vorfaktor in eine Gleichung eingehen, grundsätzlich elimininieren. Variablen, die gar nicht vorkommen, tragen zu einem Zylinder bei. Ansonsten sind Gleichungen der Form

zu betrachten. Dabei gibt es für jede Variable einen minimalen Exponenten.


Die Gleichung hat einen Effekt, wie sich die Komponenten schneiden, hier und , wo der Schnitt ist, also die -Achse.


Bei

geht es um , die Schnitte sind der Nullmodul, der Modul selbst ist ein Torsionsmodul.




Ein wie oben dargestellter Modul lässt sich direkt zurückziehen.


ist dual

exakt.


Bemerkung  

Zu Elementen in einem lokalen zweidimensionalen Ring und einer primären Syzygie gehört die Abbildung

und die Abbildung

Wenn Parameter sind und mit der zugehörigen Kohomologieklasse , so wird dies auf abgebildet.




Beispiel  

Wir betrachten den Syzygienmodul auf . Es gibt die Auflösung

die durch die Koszulsyzygien und die Gleichung gegeben ist. Die Auflösung geht weiter mit für die Relationen zwischen den Koszulsyzygien und weiteren.


Die Syzygie aus der Gleichung definiert direkt die Abbildung , der Quotient ist dabei das maximale Ideal, die Koszulsyzygie wird nach Bemerkung auf abgebildet. Es liegt also die kurze exakte Sequenz

vor. Ferner ist

für die Kohomologiegruppen gilt dabei . Unklar, wie das auf der Aufblasung aussieht. Für Abbildungen von Kurven nach macht der Rückzug von und Strukturgarbe auch einen Unterschied. Schon wird als Element des maximalen Ideals auf eine Gerade anders eingeschränkt.


Der nichtexakte Komplex

führt in der Aufblasung jedenfalls zu einen Komplex von kohärenten Moduln

dessen Einschränkung auf exakt ist. Die Kohomologieklasse in der Mitte geht auf die Klasse in , die als solche in der lokalen Kohomologie auf geht (das gilt nicht für ). Die Frage ist dann, ob

exakt ist. Die Faktorisierung







Beispiel  

Wir betrachten den Beginn der Koszul-Auflösung

und den Ringwechsel

mit . In der Tensorierung der Sequenz gilt mit den Erzeugern die Beziehung

Somit ist

Wenn man modulo der Torsion geht, so ist

und man braucht nur den Erzeuger . Modulo Torsion ist die Abbildung nach surjektiv.




Beispiel  

Wir betrachten

Dabei steht rechts der globale Schnittring des projektiven Raumes über und in der Mitte der Schnittring der Aufblasung über . Alles spielt sich innerhalb der Nenneraufnahme an ab. Die homogene Auflösung

lässt sich auf der projektiven Ebene mit unterschiedlichen Twists verwirklichen, das ändert den Pullback auf der Aufblasung. Ist eine davon die richtige? Die beschreibende Präsentation auf der projektiven Ebene wird auf die Aufblasung zurückgezogen und ergibt auf den exzeptionellen Divisor eingeschränkt sich selbst. Insbesondere werden die auf sich selbst zurückgezogen.

Der modultheoretische Rückzug wird durch

beschrieben, wobei die Relation besteht, die die Form annimmt. Bei kann man modulo der -Torsion gehen und nach auflösen, dieser Modul ist dann frei. Der annullierende Untermodul (vom Rang )

von wird größer.
Dabei ist die Diagonale die Ausgangsabbildung, die den Erzeuger auf abbildet.

Die Abbildung