Gruppe/Lineare Operation auf Vektorraum/Polynomring/Einführung/Textabschnitt

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Es sei eine Gruppe, die auf einer Menge (beispielsweise einem Vektorraum) operiere. Es sei ein Körper und

eine beliebige Funktion mit als Definitionsbereich und als Zielbereich. Die Menge dieser Funktionen bilden einen kommutativen Ring, wobei je zwei Funktionen addiert oder multipliziert werden, indem an jedem Punkt die Werte dieser Funktion addiert bzw. multipliziert werden. Zu , aufgefasst als Bijektion

ergibt sich die neue Funktion

also . Die Gruppe operiert also auch auf dem Funktionenring, und zwar wegen

von rechts. Zu diesem Übergang vergleiche auch Beispiel.

Auf einem -Vektorraum sind die einfachsten Funktionen von nach die Linearformen. Wenn eine Gruppe linear auf operiert, so ist die Zuordnung (vergleiche Fakt)

selbst -linear.

Bei bilden die Projektionen , wobei die Projektion ein Tupel auf seine -te Komponente abbildet, eine Basis von (die sogenannte Dualbasis). Ein Polynom aus dem Polynomring in Variablen über kann man direkt als eine Funktion (die zugehörige Polynomfunktion) von nach interpretieren, indem man in das Polynom das Tupel einsetzt, bzw. die Variable als die -te Projektion interpretiert.

Man möchte nun jedem endlichdimensionalen -Vektorraum einen Polynomring zuordnen, dessen Elemente man als -wertige Funktionen auf auffassen kann. Da es stets eine lineare Isomorphie gibt, wird es auch einen -Algebraisomorphismus geben.


Definition  

Es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum. Man nennt die von allen formalen Monomen , wobei die Linearformen auf sind, symbolisch erzeugte kommutative -Algebra, die die linearen Beziehungen zwischen den Linearformen respektiert, den Polynomring zu . Er wird mit

bezeichnet.

Bemerkung  

Jedes Element in besitzt eine Darstellung der Form

(mit endlicher Indexmenge), wobei und ein formales Produkt aus Linearformen ist. In einem solchen Produkt sind wegen der geforderten Kommutativität die Faktoren vertauschbar. Da lineare Relationen zwischen den Linearformen respektiert werden müssen, folgt aus einer Gleichung

für Linearformen die Gleichung

Wenn -dimensional ist und eine Basis von ist, so lässt sich daher jedes Element aus als Polynom in den schreiben. Diese Darstellung ist auch eindeutig, da es in nur Relationen gibt, die von einer linearen Relation herrühren, es solche aber in einer Basis nicht gibt. D.h. es gibt einen -Algebraisomorphismus


Bemerkung  

Es sei ein unendlicher Körper und ein endlichdimensionaler -Vektorraum. Dann lässt sich der Polynomring auch als die von sämtlichen Linearformen erzeugte -Unteralgebra von definieren. Dies beruht darauf, dass ein Polynom auf (also als Polynomfunktion aufgefasst) nicht die Nullfunktion ist. Bei einem endlichen Körper ist dies nicht richtig, wie das Polynom über zeigt.



Definition  

Es sei ein Körper, seien endlichdimensionale -Vektorräume und sei eine lineare Abbildung. Den durch

über gegebenen -Algebrahomomorphismus

nennt man induzierten Algebrahomomorphismus.

Bemerkung  

Es sei

eine lineare Abbildung, die durch eine -Matrix gegeben sei. Dann wird der zugehörige -Algebrahomomorphismus

durch gegeben. Nach Definition wird auf die Hintereinanderschaltung

abgebildet. Diese schickt den -ten Standardvektor auf

Durch diese Bedingungen ist aber gerade

charakterisiert. Zu einer Linearform berechnet man also das Bild , indem man ausrechnet. Für ein beliebiges Polynom ergibt sich das Bild, indem man in jedes durch den angegebenen Ausdruck ersetzt.



Definition  

Es sei ein Körper, ein endlichdimensionaler -Vektorraum und

eine lineare Operation einer Gruppe auf . Es sei der Polynomring zu . Die Operation der Gruppe (von rechts) auf , die für jedes per Definition durch die Zuordnung

festgelegt ist, nennt man die induzierte Operation auf dem Polynomring.


Beispiel  

Es sei ein Körper. Wir betrachten die symmetrische Gruppe , die auf linear operiert, indem den -ten Standardvektor auf schickt (wie in Beispiel). Diese Gruppenoperation induziert gemäß Definition eine Operation auf dem Polynomring . Dabei wird auf geschickt!


Wenn eine Gruppe auf dem durch Diagonalmatrizen operiert, wie in Beispiel und Ähnlichen, so erübrigt sich das Transponieren, wenn man zur zugehörigen Operation auf dem Polynomring übergeht.


Beispiel  

Auf einem -Vektorraum operiert die Einheitengruppe durch skalare Multiplikation. Die entsprechende Operation auf dem Polynomring ist für durch für eine Linearform gegeben. Ein Produkt von Linearformen wird auf abgebildet.



Beispiel  

Es sei ein Körper, der eine -te primitive Einheitswurzel besitzt. Wir betrachten die in Beispiel beschriebene Operation von

auf durch skalare Multiplikation. Die zugehörige Operation auf dem Polynomring ist dadurch gegeben, dass durch wirkt. Somit wird eine Potenz auf abgebildet. Insbesondere ist das Polynom fix unter dieser Gruppenoperation.


Zu einem Vektorraum ist der Polynomring in natürlicher Weise -graduiert, und zwar besteht die -te Stufe aus Linearkombinationen von Produkten der Form , wobei die Linearformen sind.


Lemma

Es sei ein Körper, ein endlichdimensionaler -Vektorraum und

eine lineare Operation einer Gruppe auf .

Dann ist die induzierte Operation auf dem Polynomring homogen, d.h. für jedes und ist auch .

Beweis

Siehe Aufgabe.

Die Stufen sind also -invariante Untervektorräume von .