Kummererweiterung/Graduierte Körpererweiterung/Textabschnitt

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen


Definition  

Es sei und sei ein Körper, der eine -te primitive Einheitswurzel enthält. Eine Galoiserweiterung heißt eine Kummererweiterung zum Exponenten , wenn ihre Galoisgruppe abelsch und ihr Exponent ein Teiler von ist.



Satz  

Es sei und sei ein Körper, der eine -te primitive Einheitswurzel enthält. Es sei eine endliche Körpererweiterung. Dann gelten folgende Aussagen.

  1. Wenn eine - graduierte Körpererweiterung ist, so ist eine Kummererweiterung zum Exponenten .
  2. Sei eine Kummererweiterung zum Exponenten mit Galoisgruppe . Es sei die Charaktergruppe von . Zu sei

    Dann ist eine - graduierte Körpererweiterung.

Beweis  

(1). Dies ist eine Neuformulierung von Fakt.
(2). Nach Fakt sind sämtliche Automorphismen diagonalisierbar. Da die Galoisgruppe abelsch ist, folgt aus Fakt die simultane Diagonalisierbarkeit aller Automorphismen (). Das heißt, dass man mit eindimensionalen - Untervektorräumen schreiben kann, die unter jedem auf sich abgebildet werden. Zu jedem und jedem ist dabei für jedes , das Element beschreibt also den Eigenwert von auf . Die Zuordnung

ist dabei ein Charakter. Es ist , da ja die zu gehörende Eigenraumbedingung erfüllt. Wegen

ist und jeder Charakter tritt als ein auf. Also ist . Die Stufe zum konstanten Charakter ist . Für und und ist

also , so dass in der Tat eine graduierte Körpererweiterung vorliegt.


Ein Beispiel wie zeigt, dass eine graduierte Körpererweiterung galoissch sein kann mit einer nichtkommutativen Galoisgruppe.



Korollar  

Es sei und sei ein Körper, der eine -te primitive Einheitswurzel enthält. Es sei eine Kummererweiterung zum Exponenten mit Galoisgruppe , zugehöriger Charaktergruppe und zugehöriger Graduierung

Es seien die homogenen Elemente von .

Dann ist die natürliche Inklusion

ein Gruppenisomorphismus.

Beweis  

Die Charaktergruppe besitzt wegen der Voraussetzung über die Einheitswurzeln nach Fakt den gleichen Exponenten wie . Für ein homogenes Element gilt also insbesondere , so dass die linke Menge eine Teilmenge der rechten ist. Die Multiplikation ist links und rechts gleich, so dass eine Untergruppe vorliegt. Zum Nachweis der Surjektivität sei  mit vorgegeben. Wir zeigen, dass ein solches Element einen Charakter der Galoisgruppe definiert. Zu ist

Der Bruch ist also eine -te Einheitswurzel und gehört somit zu . Für zwei Automorphismen ist dabei

so dass

ein Charakter ist. Wegen ist , also homogen.



Korollar  

Es sei und sei ein Körper, der eine -te primitive Einheitswurzel enthält. Es sei eine Kummererweiterung zum Exponenten .

Dann ist eine Radikalerweiterung.

Beweis  

Dies folgt direkt aus Fakt und aus Fakt  (5).


Innerhalb der Radikalerweiterungen sind die Kummererweiterungen speziell, nämlich von der folgenden Gestalt.


Satz  

Es sei und sei ein Körper, der eine -te primitive Einheitswurzel enthält. Es sei eine Körpererweiterung.

Dann ist genau dann eine Kummererweiterung zum Exponenten , wenn es eine Beschreibung

mit gibt.

Beweis  

Aus Fakt und Fakt  (3) folgt, dass eine Kummererweiterung die angegebene Radikaldarstellung besitzt.
Zum Beweis der Umkehrung sei mit . Wir müssen zeigen, dass diese Erweiterung galoissch mit abelscher Galoisgruppe ist. Es sei eine primitive -te Einheitswurzel. Die Produkte erfüllen ebenfalls . Da man die als von verschieden annehmen kann, und primitiv ist, sind diese Produkte für jedes untereinander verschieden. Dies bedeutet, dass die Polynome über in verschiedene Linearfaktoren zerfallen. Damit ist der Zerfällungskörper dieser separablen Polynome, so dass nach Fakt eine Galoiserweiterung vorliegt. Sei die Galoisgruppe dieser Erweiterung. Für jedes und jedes ist ebenfalls eine Lösung der Gleichung und daher ist mit einem gewissen (von und abhängigen) . Für zwei Automorphismen ist daher

Somit wirken die Automorphismen auf dem Erzeugendensystem kommutativ und daher ist . Damit ist die Galoisgruppe abelsch.
Für jedes ist ferner

mit einem gewissen . Also ist , so dass ein Vielfaches des Exponenten ist.



Beispiel  

Der achte Kreisteilungskörper über , also die (siehe Fakt) (mehrfach) graduierte Körpererweiterung

ist eine Kummererweiterung zum Exponenten mit Galoisgruppe . Die gemäß Fakt zugehörige -Graduierung ist

Nach Fakt gilt , d.h. die Menge der rationalen Quadratwurzeln von sind einfach beschreibbar. Es gibt aber auch noch weitere Wurzeln aus rationalen Zahlen in , beispielsweise die achte Einheitswurzel , die eine vierte Wurzel von ist.