Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Arbeitsblatt 10

Aufgaben

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich und sei angenommen, dass jede ganze Zahl ${}n\in \mathbb {Z}$, ${}n\neq 0$, eine Primfaktorzerlegung in ${}R$ besitzt. Zeige, dass dann ${}R$ bereits faktoriell ist.

Aufgabe

Es sei ${}D\neq 0,1$ quadratfrei und ${}A_{D}$ der zugehörige quadratische Zahlbereich. Es Es sei ${}p$ eine Primzahl, die in ${}A_{D}$ nicht träge sei. Beweise die Äquivalenz folgender Aussagen.

1. ${}p$ besitzt eine Primfaktorzerlegung in ${}A_{D}$.
2. ${}p$ ist nicht irreduzibel (also zerlegbar) in ${}A_{D}$.
3. ${}p$ oder ${}-p$ ist die Norm eines Elementes aus ${}A_{D}$.
4. ${}p$ oder ${}-p$ ist die Norm eines Primelementes aus ${}A_{D}$.

Aufgabe

Es sei ${}D<0$ quadratfrei und ${}A_{D}$ der zugehörige imaginär-quadratische Zahlbereich. Bestimme für ${}D\geq -12$ die Nichteinheiten ${}z\in A_{D}$ mit minimaler Norm.

Aufgabe

Betrachte in ${}\mathbb {Z} [{\sqrt {-2}}]$ die beiden Elemente

$x=4+7{\sqrt {-2}}\,\,{\text{ und }}\,\,y=5+8{\sqrt {-2}}.$

Bestimme den größten gemeinsamen Teiler der Normen ${}N(x)$ und ${}N(y)$ (in ${}\mathbb {Z}$) und das von ${}x$ und ${}y$ erzeugte Ideal in ${}\mathbb {Z} [{\sqrt {-2}}]$.

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für einen quadratischen Zahlbereich, wo die ${}-1$ als Norm eines Elementes auftritt, und ein Beispiel, wo dies nicht der Fall ist.

Aufgabe *

Bestimme die Norm des Ideals ${}(X^{2}+1)$ im Zahlbereich ${}\mathbb {Z} [X]/{\left(X^{4}+1\right)}$.

Aufgabe

Bestimme die Norm des Ideals ${}(X^{2}+7)$ im Zahlbereich ${}\mathbb {Z} [X]/{\left(X^{3}-2\right)}$.

Aufgabe *

1. Zeige, dass in ${}\mathbb {Z} [X]$ die Ideale ${}{\left(X^{4}-7,X^{3}-5\right)}$ und ${}(X+55,282)$ übereinstimmen.
2. Bestimme die Norm des Ideals ${}(X^{3}-5)$ im Zahlbereich ${}\mathbb {Z} [X]/{\left(X^{4}-7\right)}$.
3. Bestimme die Norm des Ideals ${}(X^{4}-7)$ im Zahlbereich ${}\mathbb {Z} [X]/{\left(X^{3}-5\right)}$.

Aufgabe *

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich und es sei ${}{\mathfrak {p}}\neq 0$ ein Primideal. Zeige, dass die Norm von ${}{\mathfrak {p}}$ eine echte Primzahlpotenz ist.

Aufgabe *

Bestimme im quadratischen Zahlbereich ${}\mathbb {Z} [{\sqrt {3}}]$ endlich viele Elemente ${}f_{1},\ldots ,f_{m}$, deren Norm ${}13$ ist, und die die Eigenschaft erfüllen, dass jedes Element mit der Norm ${}13$ zu einem der ${}f_{j}$ assoziiert ist.

Aufgabe

Beschreibe das Spektrum eines diskreten Bewertungsringes.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein diskreter Bewertungsring und sei ${}{\mathfrak {m}}=(\pi )$. Es sei ${}K=R/(\pi )$ der Restklassenkörper von ${}R$. Zeige, dass es für jedes ${}n\in \mathbb {N}$ einen ${}R$- Modulisomorphismus

$(\pi ^{n})/(\pi ^{n+1})\longrightarrow K$

gibt.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein diskreter Bewertungsring, dessen Restekörper ${}K=R/{\mathfrak {m}}={\mathbb {F} }_{q}$ endlich mit ${}q$ Elementen sei. Zeige, dass ${}R/{\mathfrak {m}}^{n}$ ein endlicher Ring mit ${}q^{n}$ Elementen ist. Man folgere, dass zu ${}f\in R$ die Gleichheit

${}{\#\left(R/(f)\right)}=q^{\operatorname {ord} \,(f)}\,$

gilt, und dass man die Ordnung von ${}f$ aus der Größe des Restklassenringes berechnen kann.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein diskreter Bewertungsring mit Quotientenkörper ${}Q$. Zeige, dass es keinen echten Zwischenring zwischen ${}R$ und ${}Q$ gibt.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein diskreter Bewertungsring mit Quotientenkörper ${}Q$. Charakterisiere die endlich erzeugten ${}R$- Untermoduln von ${}Q$. Auf welche Form kann man ein Erzeugendensystem bringen?

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper der Charakteristik ${}0$ und sei ${}f\in K[X]$, ${}f\neq 0$, und ${}a\in K$. Zeige, dass die folgenden „Ordnungen“ von ${}f$ an der Stelle ${}a$ übereinstimmen.

1. Die Verschwindungsordnung von ${}f$ an der Stelle ${}a$, also die maximale Ordnung einer formalen Ableitung mit ${}f^{(k)}(a)=0$.
2. Der Exponent des Linearfaktors ${}X-a$ in der Zerlegung von ${}f$.
3. Die Ordnung von ${}f$ an der Lokalisierung ${}K[X]_{(X-a)}$ von ${}K[X]$ am maximalen Ideal ${}(X-a)$.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}K(T)$ der Körper der rationalen Funktionen über ${}K$. Finde einen diskreten Bewertungsring ${}R\subseteq K(T)$ mit ${}Q(R)=K(T)$ und mit ${}R\cap K[T]=K$.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein diskreter Bewertungsring mit maximalem Ideal ${}{\mathfrak {m}}=(p)$. Zeige, dass die Ordnung

$R\setminus \{0\}\longrightarrow \mathbb {N} ,\,f\longmapsto \operatorname {ord} \,(f),$

folgende Eigenschaften besitzt.

1. ${}\operatorname {ord} \,(fg)=\operatorname {ord} \,(f)+\operatorname {ord} \,(g)$.
2. ${}\operatorname {ord} \,(f+g)\geq \operatorname {min} \left(\operatorname {ord} \,(f),\,\operatorname {ord} \,(g)\right)$.
3. Es ist ${}f\in {\mathfrak {m}}$ genau dann, wenn ${}\operatorname {ord} \,(f)\geq 1$ ist.
4. Es ist ${}f\in R^{\times }$ genau dann, wenn ${}\operatorname {ord} \,(f)=0$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}p$ eine fixierte Primzahl. Zu jeder ganzen Zahl ${}n\neq 0$ bezeichne ${}\nu _{p}(n)$ den Exponenten, mit dem die Primzahl ${}p$ in der Primfaktorzerlegung von ${}n$ vorkommt.

a) Zeige: die Abbildung ${}\nu _{p}\colon \mathbb {Z} \setminus \{0\}\rightarrow \mathbb {N}$ ist surjektiv.

b) Zeige: es gilt ${}\nu _{p}(nm)=\nu _{p}(n)+\nu _{p}(m)$.

c) Finde eine Fortsetzung ${}\nu _{p}\colon \mathbb {Q} \setminus \{0\}\rightarrow \mathbb {Z}$ der gegebenen Abbildung, die ein Gruppenhomomorphismus ist (wobei ${}\mathbb {Q} ^{\times }=\mathbb {Q} \setminus \{0\}$ mit der Multiplikation und ${}\mathbb {Z}$ mit der Addition versehen ist).

d) Beschreibe den Kern des unter c) beschriebenen Gruppenhomomorphismus.

Aufgabe *

Wir betrachten im quadratischen Zahlbereich ${}R=A_{-5}=\mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]$ das Primideal ${}{\mathfrak {p}}=(2,1+{\sqrt {-5}})$. Zeige direkt, dass das Ideal ${}{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}$ in der Lokalisierung ${}R_{\mathfrak {p}}$ ein Hauptideal ist.

Aufgabe

Es sei ${}D\neq 1$ quadratfrei und ${}D=1\mod 4$. Finde in ${}\mathbb {Z} [{\sqrt {D}}]$ ein Primideal ${}{\mathfrak {p}}$ derart, dass die Lokalisierung an ${}{\mathfrak {p}}$ kein diskreter Bewertungsring ist.

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein Körper und sei

$\nu \colon (K^{\times },\cdot ,1)\longrightarrow (\mathbb {Z} ,+,0)$

ein surjektiver Gruppenhomomorphismus mit ${}\nu (f+g)\geq \min\{\nu (f),\nu (g)\}$ für alle ${}f,g\in K^{\times }$. Zeige, dass

${}R={\left\{f\in K^{\times }\mid \nu (f)\geq 0\right\}}\cup \{0\}\,$

ein diskreter Bewertungsring ist.

Aufgabe

Es sei ${}V=V(x^{2}+y^{2}-1)\subseteq {\mathbb {A} }_{K}^{2}$ der Einheitskreis über einem Körper ${}K$ und es sei ${}P=(a,b)\in V$ ein Punkt.

1. Zeige, dass der lokale Ring ${}R$ von ${}V$ im Punkt ${}P$ ein diskreter Bewertungsring ist.
2. Folgere, dass der Koordinatenring ${}K[X,Y]/(X^{2}+Y^{2}-1)$ normal ist (man kann ${}K$ algebraisch abgeschlossen annehmen).
3. Zeige, dass ${}K[X,Y]/(X^{2}+Y^{2}-1)$ nicht faktoriell ist.
4. Bestimme die Ordnung von ${}X$ und von ${}Y-1$ im lokalen Ring zum Punkt ${}(0,1)$.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper. Eine Potenzreihe in einer Variablen über ${}K$ ist ein formaler Ausdruck der Form

$a_{0}+a_{1}T+a_{2}T^{2}+a_{3}T^{3}+\ldots {\text{ mit }}a_{i}\in K.$

Es kann hier also unendlich viele von ${}0$ verschiedene Koeffizienten ${}a_{i}$ geben. Definiere eine Ringstruktur auf der Menge aller Potenzreihen, die die Ringstruktur auf dem Polynomring in einer Variablen fortsetzt. Zeige, dass dieser Ring ein diskreter Bewertungsring ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein Integritätsbereich mit Quotientenkörper ${}K=Q(R)$. Es sei ${}R=\bigcap _{i\in I}R_{i}$, wobei die ${}R_{i}\subseteq K$, ${}i\in I$, alle diskrete Bewertungsringe seien. Zeige: ${}R$ ist normal.

Ein Modul, der außer ${}0$ keine Torsionselemente enthält, heißt torsionsfrei.

Aufgabe

Zeige, dass ein torsionsfreier endlich erzeugter Modul ${}M$ über einem diskreten Bewertungsring frei ist.