Kurs:Analysis/Teil I/2/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Punkte 3 3 2 5 4 4 7 2 4 5 7 2 3 4 5 4 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die Produktmenge aus zwei Mengen und .
  2. Die Hintereinanderschaltung der Abbildungen

    und

  3. Ein Häufungspunkt einer reellen Folge .
  4. Die komplexe Exponentialfunktion.
  5. Die Riemann-Integrierbarkeit einer Funktion
  6. Die gewöhnliche Differentialgleichung zu einer Funktion

    auf einer offenen Menge .


Lösung

  1. Man nennt die Menge

    die Produktmenge der Mengen und .

  2. Die Abbildung

    heißt die Hintereinanderschaltung der Abbildungen und .

  3. Eine reelle Zahl heißt Häufungspunkt der Folge, wenn es für jedes unendlich viele Folgenglieder mit gibt.
  4. Die Abbildung

    heißt (komplexe) Exponentialfunktion.

  5. Die Funktion heißt Riemann-integrierbar, wenn die Einschränkung von auf jedes kompakte Intervall Riemann-integrierbar ist.
  6. Man nennt die Gleichung

    gewöhnliche Differentialgleichung zu .


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Die allgemeine binomische Formel für .
  2. Der Identitätssatz für Potenzreihen.
  3. Die Substitutionsregel zur Integration von stetigen Funktionen.


Lösung

  1. Für in einem Körper gilt
  2. Es seien und Potenzreihen mit positiven Konvergenzradien und derart, dass es ein gibt, dass die dadurch definierten Funktionen
    übereinstimmen. Dann ist für alle .
  3. Es sei ein reelles Intervall und sei

    eine stetige Funktion. Es sei

    stetig differenzierbar. Dann gilt


Aufgabe (2 Punkte)

Berechne die Gaußklammer von .


Lösung

Es ist

und

daher ist

also ist


Aufgabe (5 Punkte)

Zeige mittels vollständiger Induktion für die Formel


Lösung

Bei besteht die Summe links aus dem einzigen Summanden , die Summe ist also . Da ungerade ist, steht rechts , der Induktionsanfang ist also gesichert.

Es sei die Aussage nun für bewiesen, und es ist die Gültigkeit der Aussage für zu zeigen. Die Summe links ist

Bei gerade (also ungerade) ist dies nach Induktionsvoraussetzung gleich

was mit der rechten Seite übereinstimmt. Bei ungerade (also gerade) ist die Summe nach Induktionsvoraussetzung gleich

was ebenfalls mit der rechten Seite übereinstimmt.


Aufgabe (4 Punkte)

Betrachte die Folge und . Welche der Pseudokonvergenzbegriffe (siehe Angeordneter Körper/Folge/Pseudokonvergenz/Pseudo/Definition) treffen zu?


Lösung

Richtig sind (4), (5), (6), (7).


Aufgabe (4 Punkte)

Berechne

bis auf einen Fehler von .


Lösung

Wir behaupten die Abschätzungen

Um dies zu zeigen, weisen wir die Gültigkeit der Abschätzungen

nach. Diese gelten wegen

und


Aufgabe (7 Punkte)

Beweise den Satz über die Stetigkeit der Umkehrfunktion zu einer streng wachsenden, stetigen Funktion , zu einem Intervall .


Lösung

Dass das Bild wieder ein Intervall ist folgt aus Korollar 13.5 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)).
Die Funktion ist injektiv, da sie streng wachsend ist und damit ist die Abbildung

auf das Bild bijektiv.
Die Umkehrfunktion

ist ebenfalls streng wachsend.
Sei und vorgegeben. Es sei zunächst kein Randpunkt von . Dann ist auch kein Randpunkt von . Sei vorgegeben und ohne Einschränkung angenommen. Dann ist

und für gilt wegen der Monotonie

Also ist stetig in . Wenn ein Randpunkt von ist, so ist auch ein Randpunkt von , sagen wir der rechte Randpunkt. Dann ist zu vorgegebenem wieder und erfüllt die geforderte Eigenschaft.


Aufgabe (2 Punkte)

Es sei

eine bijektive differenzierbare Funktion mit für alle und der Umkehrfunktion . Was ist an folgendem „Beweis“ für die Ableitung der Umkehrfunktion nicht korrekt?

Es ist

Mit der Kettenregel erhalten wir durch beidseitiges Ableiten die Gleichung

Also ist


Lösung

Die Kettenregel setzt voraus, dass beide Abbildungen differenzierbar sind, das weiß man hier aber von nicht.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

eine differenzierbare Funktion mit und mit für alle und ein . Zeige, dass die Funktionalgleichung

für alle erfüllt.


Lösung

Wir betrachten die zusammengesetzte Funktion , die wohldefiniert ist, da nur positive Werte annimmt. Die Funktion ist differenzierbar mit

Die Ableitung ist also konstant gleich , daher ist . Somit ist

und wegen ist . Daher ist


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei

Zu jedem Startwert betrachten wir die reelle Folge
es gilt also die rekursive Beziehung . Zeige, dass die Folge für einen Häufungspunkt besitzt.


Lösung

Es ist

und

Die Ableitung der Funktion ist

daher wird das Minimum bei

mit dem Wert

angenommen. Daher ist
Bei sind demnach alle Folgenglieder . Nach dem

Satz von Bolzano-Weierstraß besitzt die Folge eine konvergente Teilfolge und damit einen Häufungspunkt.


Aufgabe (7 Punkte)

Beweise die Charakterisierung mit Ableitungen von konvexen Funktionen .


Lösung

Es sei zunächst konvex und seien zwei Punkte aus gegeben. Es sei die lineare Funktion, die und verbindet. Aufgrund der Konvexität ist für alle . Für die Differenzenquotienten gilt daher

Durch Übergang zu den Limiten für bzw. folgt


Es sei nun als nicht konvex vorausgesetzt und seien zwei Punkte aus mit der Eigenschaft gegeben, dass die verbindende Gerade von und nicht vollständig oberhalb des Graphen von verläuft. Es gibt also ein mit , wobei wieder die verbindende lineare Funktion ist. Durch Übergang zu können wir und annehmen. Nach dem Mittelwertsatz gibt es Punkte und mit und , so dass nicht wachsend ist.


Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die Ableitung der Funktion


Lösung

Die Ableitung von ist


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme das Taylor-Polynom der Ordnung zur Funktion

im Entwicklungspunkt .


Lösung

Wir müssen das Polynom

berechnen. Es ist

und

Daher ist das vierte Taylor-Polynom gleich


Aufgabe (4 Punkte)

Beweise die Substitutionsregel zur Integration von stetigen Funktionen.


Lösung

Wegen der Stetigkeit von und der vorausgesetzten stetigen Differenzierbarkeit von existieren beide Integrale. Es sei eine Stammfunktion von , die aufgrund von Korollar 24.5 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) existiert. Nach der Kettenregel hat die zusammengesetzte Funktion

die Ableitung . Daher gilt insgesamt


Aufgabe (5 Punkte)

Eine Person will ein einstündiges Sonnenbad nehmen. Die Intensität der Sonneneinstrahlung werde im Zeitintervall (in Stunden) durch die Funktion

beschrieben. Bestimme den Startzeitpunkt des Sonnenbades, so dass die Gesamtsonnenausbeute maximal wird.


Lösung

Es sei der Anfangszeitpunkt des Sonnenbades. Die Gesamteinstrahlung der Sonne in der Stunde ist das bestimmte Integral

Für diese Funktion muss das Maximum im Intervall bestimmt werden. Dafür berechnen wir die Ableitung, diese ist

Die Nullstellenberechnung dieser Ableitung führt auf bzw. auf

Also ist

(die negative Wurzel muss nicht berücksichtigt werden, da diese zu einem außerhalb des Definitionsbereiches führt). Die zweite Ableitung

ist an der Stelle negativ, so dass dort das Maximum vorliegt. Da die Ableitung keine weiteren Nullstellen im Intervall besitzt, müssen die Randpunkte nicht gesondert betrachtet werden.


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die Lösungen der Differentialgleichung ()

mit dem Lösungsansatz für getrennte Variablen. Was ist der Definitionsbereich der Lösungen?


Lösung

Wir schreiben und . Eine Stammfunktion zu ist ( ist also negativ) mit der Umkehrfunktion

Die Stammfunktionen zu

sind mit . Daher sind die Lösungen der Differentialgleichung von der Form

Bei gegebenem ist diese Wurzel genau dann definiert, wenn

ist. Dies bedeutet

Die Definitionsbereiche sind also




Anhang


Es sei eine Folge in einem angeordneten Körper und es sei .

  1. Man sagt, dass die Folge gegen hypervergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Zu jedem , , und alle gilt die Beziehung
  2. Man sagt, dass die Folge gegen supervergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Zu jedem , , gibt es ein derart, dass für alle die Beziehung

    gilt.

  3. Man sagt, dass die Folge gegen megavergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Es gibt ein derart, dass für alle und jedes , , die Beziehung

    gilt.

  4. Man sagt, dass die Folge gegen pseudovergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Zu jedem , , gibt es ein derart, dass die Beziehung

    gilt.

  5. Man sagt, dass die Folge gegen semivergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Zu jedem , , und jedem gibt es ein , , derart, dass die Beziehung

    gilt.

  6. Man sagt, dass die Folge gegen protovergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Es gibt ein , , derart, dass für alle die Beziehung

    gilt.

  7. Man sagt, dass die Folge gegen quasivergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Es gibt ein , , und ein derart, dass für alle die Beziehung

    gilt.

  8. Man sagt, dass die Folge gegen deuterovergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Zu jedem , , gibt es ein derart, dass für alle die Beziehung

    gilt.