Kurs:Analysis/Teil I/23/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	${}\sum$
Punkte	3	3	3	2	3	3	4	3	2	4	6	5	4	4	12	3	64

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Das Urbild zu einer Teilmenge ${}T\subseteq M$ unter einer Abbildung ${}F\colon L\rightarrow M$.
2. Die Konvergenz einer Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in einem angeordneten Körper ${}K$ gegen ${}x\in K$.
3. Die Summierbarkeit einer Familie ${}a_{i}$, ${}i\in I$, komplexer Zahlen.
4. Die ${}n$-fache stetige Differenzierbarkeit einer Funktion

   $f\colon D\longrightarrow {\mathbb {K} }$

   auf einer offenen Teilmenge ${}D\subseteq {\mathbb {K} }$.

5. Der Epigraph einer Funktion ${}f\colon I\rightarrow \mathbb {R}$ auf einem Intervall ${}I$.
6. Die Lösung zu einer gewöhnlichen Differentialgleichung

   $y'=f(t,y),$

   wobei

   $f\colon U\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(t,y)\longmapsto f(t,y),$

   eine Funktion auf einer offenen Teilmenge ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ ist.

Lösung

1. Zu einer Teilmenge ${}T\subseteq M$ heißt

   $F^{-1}(T)={\left\{x\in L\mid F(x)\in T\right\}}$

   das Urbild von ${}T$ unter ${}F$.

2. Man sagt, dass die Folge gegen ${}x$ konvergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Zu jedem ${}\epsilon \in K$, ${}\epsilon >0$, gibt es ein ${}n_{0}\in \mathbb {N}$ derart, dass für alle ${}n\geq n_{0}$ die Beziehung

   ${}\vert {x_{n}-x}\vert \leq \epsilon \,$

   gilt.

3. Die Familie ${}a_{i}$, ${}i\in I$, heißt summierbar, wenn es ein ${}s\in {\mathbb {C} }$ gibt mit folgender Eigenschaft: Zu jedem ${}\epsilon >0$ gibt es eine endliche Teilmenge ${}E_{0}\subseteq I$ derart, dass für alle endlichen Teilmengen ${}E\subseteq I$ mit ${}E_{0}\subseteq E$ die Beziehung

   ${}\vert {a_{E}-s}\vert \leq \epsilon \,$

   gilt. Dabei ist ${}a_{E}=\sum _{i\in E}a_{i}$.

4. Man sagt, dass ${}f$ ${}n$-mal stetig differenzierbar ist, wenn ${}f$ n-mal differenzierbar ist und die n-te Ableitung ${}f^{(n)}$ stetig ist.
5. Man nennt die Menge ${}E(f)={\left\{(x,y)\in T\times \mathbb {R} \mid y\geq f(x)\right\}}$ den Epigraphen der Funktion.
6. Unter einer Lösung der Differentialgleichung versteht man eine Funktion

   $y\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto y(t),$

   auf einem mehrpunktigen Intervall ${}I\subseteq \mathbb {R}$, die folgende Eigenschaften erfüllt.

   1. Es ist ${}(t,y(t))\in U$ für alle ${}t\in I$.
   2. Die Funktion ${}y$ ist differenzierbar.
   3. Es ist ${}y'(t)=f(t,y(t))$ für alle ${}t\in I$.

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die Intervallschachtelung.
2. Der Identitätssatz für Potenzreihen.
3. Die Produktregel für differenzierbare Funktionen

   $f,g\colon {\mathbb {K} }\longrightarrow {\mathbb {K} }$

   in einem Punkt

   ${}a\in {\mathbb {K} }$.

Lösung

1. Es sei ${}I_{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, eine Intervallschachtelung in ${}\mathbb {R}$. Dann besteht der Durchschnitt

   $\bigcap _{n\in \mathbb {N} }I_{n}$

   aus genau einem Punkt ${}x\in \mathbb {R}$.
2. Es seien ${}f=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}$ und ${}g=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}z^{n}$ Potenzreihen mit positiven Konvergenzradien und derart, dass es ein ${}\epsilon >0$ gibt, dass die dadurch definierten Funktionen

   $f,g\colon U{\left(0,\epsilon \right)}\longrightarrow {\mathbb {K} }$

   übereinstimmen. Dann ist ${}a_{n}=b_{n}$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$.
3. Es seien ${}f$ und ${}g$ in ${}a$ differenzierbar. Dann ist das Produkt ${}f\cdot g$ differenzierbar in ${}a$ mit

   ${}(f\cdot g)'(a)=f'(a)g(a)+f(a)g'(a)\,.$

Aufgabe (3 Punkte)

Wie viele Teilquadrate mit positiver Seitenlänge gibt es in einem Quadrat der Seitenlänge ${}5$? Die Seiten der Teilquadrate sollen wie im Bild auf dem „Gitter“ liegen, ein einzelner Punkt gelte nicht als Quadrat.

Lösung

Die möglichen Seitenlängen sind ${}1,2,3,4,5$. Ein Unterquadrat ist durch die Lage des Eckes links oben eindeutig bestimmt, man muss bei fixierter Seitenlänge nur berücksichtigen, dass das Teilquadrat ganz im Grundquadrat liegt. Somit gibt es für die Seitenlänge ${}5$ eine Möglichkeit, für die Seitenlänge ${}4$ vier Möglichkeiten, für die Seitenlänge ${}3$ neun Möglichkeiten, für die Seitenlänge ${}2$ ${}16$ Möglichkeiten und für die Seitenlänge ${}1$ ${}25$ Möglickeiten, Insgesamt gibt es also

${}1+4+9+16+25=55\,$

Unterquadrate.

Aufgabe (2 (1+1) Punkte)

Wir betrachten auf der Menge

${}M=\{a,b,c,d\}\,$

die durch die Tabelle

${}\star$	${}a$	${}b$	${}c$	${}d$
${}a$	${}c$	${}a$	${}a$	${}a$
${}b$	${}d$	${}d$	${}b$	${}b$
${}c$	${}a$	${}b$	${}c$	${}c$
${}d$	${}b$	${}a$	${}d$	${}d$

gegebene Verknüpfung ${}\star$.

1. Berechne

   $b\star (c\star (d\star a)).$

2. Besitzt die Verknüpfung ${}\star$ ein neutrales Element?

Lösung

1. Es ist

   ${}b\star (c\star (d\star a))=b\star (c\star b)=b\star b=d\,$

2. Die Verknüpfung besitzt kein neutrales Element, da die Leitzeile in der Verknüpfungstabelle nicht als Ergebniszeile wiederkehrt.

Aufgabe (3 Punkte)

Beweise die Nichtnullteilereigenschaft für einen Körper ${}K$.

Lösung

 Nehmen wir an, dass ${}a$ und ${}b$ beide von ${}0$ verschieden sind. Dann gibt es dazu inverse Elemente ${}a^{-1}$ und ${}b^{-1}$ und daher ist ${}(ab){\left(b^{-1}a^{-1}\right)}=1$. Andererseits ist aber nach Voraussetzung ${}ab=0$ und daher ist nach [[Ring/Elementare Eigenschaften/Fakt|Satz . (Analysis (Osnabrück 2021-2023))  (1)]]

${}(ab){\left(b^{-1}a^{-1}\right)}=0{\left(b^{-1}a^{-1}\right)}=0\,,$

 sodass sich der Widerspruch

${}0=1$ ergibt.

Aufgabe (3 Punkte)

Eine reelle Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ sei durch einen Anfangswert ${}x_{0}\in \mathbb {R}$ und durch die Rekursionsvorschrift

${}x_{n+1}=-x_{n}\,$

gegeben. Bestimme die Anfangswerte, für die diese Folge konvergiert.

Lösung

Bei ${}x_{0}=0$ ist die Folge konstant gleich ${}0$. Diese Folge konvergiert gegen ${}0$. Für jeden anderen Startwert ${}x_{0}\neq 0$ konvergiert die Folge nicht. Wegen

${}-{\left(-x\right)}=x\,$

wechseln sich in der Folge ${}x_{0}$ und ${}-x_{0}$ ab, sodass abwechselnd eine feste positive und eine feste negative Zahl auftreten. Eine solche Folge kann aber nicht konvergieren.

Aufgabe (4 Punkte)

Berechne

${\left({\frac {2}{5}}-{\frac {1}{6}}{\sqrt[{3}]{2}}+{\frac {1}{5}}{\left({\sqrt[{3}]{2}}\right)}^{2}\right)}\cdot {\left(-{\frac {2}{5}}+7{\sqrt[{3}]{2}}+{\frac {1}{4}}{\left({\sqrt[{3}]{2}}\right)}^{2}\right)}.$

Lösung

Es ist

${}{\begin{aligned}{\left({\frac {2}{5}}-{\frac {1}{6}}{\sqrt[{3}]{2}}+{\frac {1}{5}}{\left({\sqrt[{3}]{2}}\right)}^{2}\right)}\cdot {\left(-{\frac {2}{5}}+7{\sqrt[{3}]{2}}+{\frac {1}{4}}{\left({\sqrt[{3}]{2}}\right)}^{2}\right)}&={\left({\frac {2}{5}}-{\frac {1}{6}}\cdot 2^{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}\cdot 2^{\frac {2}{3}}\right)}\cdot {\left(-{\frac {2}{5}}+7\cdot 2^{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}\cdot 2^{\frac {2}{3}}\right)}\\&=-{\frac {4}{25}}+{\left({\frac {14}{5}}+{\frac {1}{15}}\right)}\cdot 2^{\frac {1}{3}}+{\left({\frac {1}{10}}-{\frac {7}{6}}-{\frac {2}{25}}\right)}\cdot 2^{\frac {2}{3}}+{\left(-{\frac {1}{24}}+{\frac {7}{5}}\right)}\cdot 2+{\frac {1}{20}}\cdot 2^{\frac {4}{3}}\\&=-{\frac {4}{25}}-{\frac {1}{12}}+{\frac {14}{5}}+{\left({\frac {14}{5}}+{\frac {1}{15}}+{\frac {1}{10}}\right)}\cdot 2^{\frac {1}{3}}+{\left({\frac {1}{10}}-{\frac {7}{6}}-{\frac {2}{25}}\right)}\cdot 2^{\frac {2}{3}}\\&={\frac {-48-25+840}{300}}+{\frac {84+2+3}{30}}\cdot 2^{\frac {1}{3}}+{\frac {15-175-12}{150}}\cdot 2^{\frac {2}{3}}\\&={\frac {767}{300}}+{\frac {89}{30}}\cdot 2^{\frac {1}{3}}-{\frac {86}{75}}\cdot 2^{\frac {2}{3}}.\,\end{aligned}}$

Aufgabe (3 (1+1+1) Punkte)

Es seien ${}a,b$ positive reelle Zahlen und ${}m,n\in \mathbb {N}$. Zeige mit geeigneten Potenzgesetzen die folgenden Aussagen.

1. Es ist

   ${}{\sqrt[{m}]{\sqrt[{n}]{b}}}={\sqrt[{mn}]{b}}\,.$

2. Es ist

   ${}{\sqrt[{m}]{ab}}={\sqrt[{m}]{a}}{\sqrt[{m}]{b}}\,.$

3. Es ist

   ${}{\sqrt[{m}]{b^{-1}}}={\left({\sqrt[{m}]{b}}\right)}^{-1}\,.$

Lösung

Wegen der Eindeutigkeit der Wurzeln stimmen zwei positive reellen Zahlen überein, sobald eine gewisse Potenz davon übereinstimmt. Damit kann man die Aussagen auf die Potenzgesetze mit ganzzahligen Exponenten zurückführen.

1. Es ist unter Verwendung von Aufgabe 3.15 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))  (4)

   ${}{\left({\sqrt[{m}]{\sqrt[{n}]{b}}}\right)}^{mn}={\left({\left({\sqrt[{m}]{\sqrt[{n}]{b}}}\right)}^{m}\right)}^{n}={\left({\sqrt[{n}]{b}}\right)}^{n}=b\,,$

   was auch herauskommt, wenn man von der rechten Seite die ${}mn$-te Potenz nimmt.

2. Nach Aufgabe 3.15 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))  (5) ist

   ${}{\left({\sqrt[{m}]{a}}{\sqrt[{m}]{b}}\right)}^{m}={\left({\sqrt[{m}]{a}}\right)}^{m}{\left({\sqrt[{m}]{b}}\right)}^{m}=ab\,,$

   was auch links herauskommt.

3. Dies folgt aus Teil (2) mit ${}a=b^{-1}$.

Aufgabe (2 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für eine Folge von abgeschlossenen Intervallen (${}n\in \mathbb {N} _{+}$)

${}I_{n}=[a_{n},b_{n}]\subseteq \mathbb {R} \,$

mit ${}I_{n+1}\subseteq I_{n}$ für alle ${}n$, wobei ${}a_{n}$ streng wachsend und ${}b_{n}$ streng fallend ist, wo aber keine Intervallschachtelung vorliegt.

Lösung

Sei ${}a_{n}=1-{\frac {1}{n}}$ und ${}b_{n}=2+{\frac {1}{n}}$, dann sind alle geforderten Eigenschaften erfüllt, die Intervalllängen sind aber stets ${}\geq 1$ und somit bilden diese keine Nullfolge, es liegt also keine Intervallschachtelung vor.

Aufgabe (4 Punkte)

Beweise das Cauchy-Kriterium für Reihen komplexer Zahlen.

Lösung

Wir setzen ${}x_{n}:=\sum _{k=0}^{n}a_{k}$. Die Konvergenz der Reihe bedeutet die Konvergenz dieser Folge der Partialsummen. Eine komplexe Folge konvergiert genau dann, wenn es sich um eine Cauchyfolge handelt. Eine solche liegt vor, wenn es zu jedem ${}\epsilon >0$ ein ${}n_{0}$ derart gibt, dass zu jedem

${}n\geq m\geq n_{0}\,$

die Abschätzung

${}\vert {x_{n}-x_{m}}\vert \leq \epsilon \,$

gilt. Im Reihenfall bedeutet dies einfach

${}\vert {x_{n}-x_{m}}\vert =\vert {\sum _{k=0}^{n}a_{k}-\sum _{k=0}^{m}a_{k}}\vert =\vert {\sum _{k=m+1}^{n}a_{k}}\vert \leq \epsilon \,$

(die Verschiebung um ${}1$ in der Indexmenge macht keinen Unterschied).

Aufgabe (6 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}n$ verschiedene Elemente ${}a_{1},\ldots ,a_{n}\in K$ und ${}n$ Elemente ${}b_{1},\ldots ,b_{n}\in K$ gegeben. Zeige, dass es ein eindeutiges Polynom ${}P\in K[X]$ vom Grad ${}\leq n-1$ derart gibt, dass ${}P(a_{i})=b_{i}$ für alle ${}i$ ist.

Lösung

Wir beweisen die Existenz und betrachten zuerst die Situation, wo ${}b_{j}=0$ ist für alle ${}j\neq i$ für ein festes ${}i$. Dann ist

$(X-a_{1})\cdots (X-a_{i-1})(X-a_{i+1})\cdots (X-a_{n})$

ein Polynom vom Grad ${}n-1$, das an den Stellen ${}a_{1},\ldots ,a_{i-1},a_{i+1},\ldots ,a_{n}$ den Wert ${}0$ hat. Das Polynom

${\frac {b_{i}}{(a_{i}-a_{1})\cdots (a_{i}-a_{i-1})(a_{i}-a_{i+1})\cdots (a_{i}-a_{n})}}(X-a_{1})\cdots (X-a_{i-1})(X-a_{i+1})\cdots (X-a_{n})$

hat an diesen Stellen ebenfalls eine Nullstelle, zusätzlich aber noch bei ${}a_{i}$ den Wert ${}b_{i}$. Nennen wir dieses Polynom ${}P_{i}$. Dann ist

${}P=P_{1}+P_{2}+\cdots +P_{n}\,$

das gesuchte Polynom. An der Stelle ${}a_{i}$ gilt ja

${}P_{j}(a_{i})=0\,$

für ${}j\neq i$ und ${}P_{i}(a_{i})=b_{i}$.

Die Eindeutigkeit folgt aus Korollar 11.7 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)).

Aufgabe (5 Punkte)

Beweise den Satz über die Ableitung in einem Extremum.

Lösung

Wir können annehmen, dass ${}f$ ein lokales Maximum in ${}c$ besitzt. Es gibt also ein ${}\epsilon >0$ mit ${}f(x)\leq f(c)$ für alle ${}x\in [c-\epsilon ,c+\epsilon ]$. Es sei ${}{\left(s_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge mit ${}c-\epsilon \leq s_{n}<c$, die gegen ${}c$ („von unten“) konvergiere. Dann ist ${}s_{n}-c<0$ und ${}f(s_{n})-f(c)\leq 0$ und somit ist der Differenzenquotient

${}{\frac {f(s_{n})-f(c)}{s_{n}-c}}\geq 0\,,$

was sich dann nach Lemma 6.3 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) auf den Limes, also den Differentialquotienten, überträgt. Also ist ${}f'(c)\geq 0$. Für eine Folge ${}{\left(t_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ mit ${}c+\epsilon \geq t_{n}>c$ gilt andererseits

${}{\frac {f(t_{n})-f(c)}{t_{n}-c}}\leq 0\,.$

Daher ist auch ${}f'(c)\leq 0$ und somit ist insgesamt ${}f'(c)=0$.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,z\longmapsto f(z),$

eine Funktion, die die Funktionalgleichung

${}f(z+w)=f(z)\cdot f(w)\,$

für alle ${}z,w\in \mathbb {R}$ erfülle und die in ${}0$ differenzierbar sei. Zeige, dass dann ${}f$ in jedem Punkt differenzierbar ist und die Beziehung ${}f'(z)=\lambda f(z)$ mit einem festen ${}\lambda \in \mathbb {R}$ gilt.

Lösung

Bei ${}f(0)=0$ ist ${}f(z)=f(z+0)=f(z)f(0)=0$, sodass die Nullfunktion vorliegt, die die angegebene Ableitungseigenschaft (mit einem beliebigen ${}\lambda$) erfüllt. Es sei also ${}f(0)\neq 0$. Dann ist ${}f(0)=1$ wegen ${}f(0)=f(0+0)=f(0)f(0)$. Der Differenzenquotient ist

${}{\frac {f(z+h)-f(z)}{h}}={\frac {f(z)f(h)-f(z)}{h}}=f(z){\frac {f(h)-1}{h}}=f(z){\frac {f(h)-f(0)}{h}}\,.$

Der rechte Faktor ist der Differenzenquotient im Nullpunkt. Dieser konvergiert nach Voraussetzung für ${}h\rightarrow 0$ gegen ${}f'(0)$. Also konvergiert der Differenzenquotient gegen ${}f(z)f'(0)$ und die Ableitungseigenschaft ist mit ${}\lambda =f'(0)$ erfüllt.

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass die reelle Sinusfunktion eine bijektive, streng wachsende Funktion

$[-\pi /2,\pi /2]\longrightarrow [-1,1]$

induziert, und dass die reelle Kosinusfunktion eine bijektive, streng fallende Funktion

$[0,\pi ]\longrightarrow [-1,1]$

induziert.

Lösung

Die Ableitung des Sinus ist nach [[Reelle Sinus und Kosinusfunktion/Ableitung/Fakt|Kurs:Analysis/Komplexe Sinus und Kosinusfunktion/Ableitung/Fakt/Faktreferenznummer (Analysis (Osnabrück 2021-2023))]] der Kosinus. Dieser hat im Innern von ${}[-\pi /2,\pi /2]$ keine Nullstelle, da ja ${}\pi /2$ als kleinste positive Nullstelle des Kosinus definiert ist und da der Kosinus gerade ist. Ferner besitzt der Kosinus an der Stelle ${}0$ den Wert ${}1$. Nach dem Zwischenwertsatz muss als der Kosinus im Innern des Intervalls positiv sein. Nach Satz 19.5 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) ist daher der Sinus im angegebenen Intervall streng wachsend und damit injektiv. Wegen ${}\sin \left(-\pi /2\right)=-1$ und ${}\sin \left(\pi /2\right)=1$ ist aufgrund des Zwischenwertsatzes das Bild gleich dem Intervall ${}[-1,1]$ und der Sinus ist bijektiv.

Die Aussage für den Kosinus folgt daraus mittels [[Sinus und Kosinus/R/Periodizitätseigenschaften/Fakt|Satz . (Analysis (Osnabrück 2021-2023))  (3)]].

Aufgabe weiter

Wir betrachten die Funktion

${}f(x)=x^{3}+x^{2}-x+1\,.$

1. Bestimme die erste und die zweite Ableitung von ${}f$.
2. Bestimme die lokalen Extrema von ${}f$.
3. Wie viele reelle Nullstellen hat ${}f$?
4. Wie viele komplexe Nullstellen hat ${}f$?
5. Bestimme eine Gleichung für die Tangente durch das lokale Maximum der Funktion.
6. Bestimme die Schnittpunkte der Tangente mit dem Funktionsgraphen.
7. Die Tangente und der Funktionsgraph beschränken ein endliches Gebiet. Berechne dessen Flächeninhalt.

Lösung

1. Es ist

   ${}f'(x)=3x^{2}+2x-1\,$

   und

   ${}f^{\prime \prime }(x)=6x+2\,.$

2. Wir bestimmen die Nullstellen der ersten Ableitung. Die Gleichung ${}3x^{2}+2x-1=0$ bzw. ${}x^{2}+{\frac {2}{3}}x-{\frac {1}{3}}=0$ führt auf

   ${}{\begin{aligned}x_{1},x_{2}&={\frac {-{\frac {2}{3}}\pm {\sqrt {{\frac {4}{9}}+{\frac {4}{3}}}}}{2}}\\&={\frac {-{\frac {2}{3}}\pm {\frac {4}{3}}}{2}}\\&=-{\frac {1}{3}}\pm {\frac {2}{3}}\\&=-1,{\frac {1}{3}}.\end{aligned}}$

   Wegen

   ${}f^{\prime \prime }(-1)=-4<0\,$

   liegt an der Stelle ${}-1$ ein isoliertes lokales Maximum mit dem Wert ${}2$ vor und wegen

   ${}f^{\prime \prime }{\left({\frac {1}{3}}\right)}=4>0\,$

   liegt an der Stelle ${}{\frac {1}{3}}$ ein isoliertes lokales Minimum mit dem Wert ${}{\frac {22}{27}}$ vor.

3. Aufgrund der Berechnung aus Teil (2) wissen wir, dass für

   ${}x\geq -1\,$

   die Funktion positiv ist. Für

   ${}x\leq -1\,$

   ist die Funktion streng wachsend und somit gibt es dort genau eine Nullstelle (da ein Polynom vom Grad ${}3$ vorliegt oder wegen

   ${}f(-2)=-1\,$

   wissen wir, dass es negative Werte gibt).

4. Aufgrund des Fundamentalsatzes der Algebra gibt es über ${}{\mathbb {C} }$ eine Zerlegung des Polynoms in drei Linearfaktoren. Die reelle Nullstelle ist wegen dem dortigen strengen Wachstum keine mehrfache Nullstelle, somit muss es zumindest eine nichtreelle komplexe Nullstelle geben. Zu dieser ist auch die konjugiert-komplexe Zahl eine Nullstelle, also gibt es genau drei komplexe Nullstellen.
5. Die Tangente am lokalen Maximum ${}(-1,2)$ hat die konstante Funktionsbeschreibung

   ${}t(x)=2\,,$

   da ja die Ableitung von ${}f$ an dieser Stelle ${}0$ ist.

6. Es geht um die ${}x\in \mathbb {R}$ mit

   ${}f(x)=2\,$

   bzw. mit

   ${}f(x)-2=x^{3}+x^{2}-x-1=0\,.$

   Da wir die Lösung ${}x=-1$ schon kennen, können wir die Division mit Rest durchführen und erhalten

   ${}x^{3}+x^{2}-x-1=(x+1)(x^{2}-1)=(x+1)(x+1)(x-1)\,.$

   Die Schnittpunkte sind also ${}(-1,2)$ und ${}(1,2)$.

7. Im eingeschlossenen Gebiet verläuft der Funktionsgraph unterhalt der Tangente. Ihr Flächeninhalte berechnen wir, indem wir vom Inhalt des Rechteckes ${}[-1,1]\times [0,2]$ den Flächeninhalt unterhalb des Graphen abziehen. Wegen der lokalen Minimumsberechnung wissen wir, dass auf ${}[-1,1]$ die Funktion positiv ist. Eine Stammfunktion zu ${}f$ ist

   ${}F(x)={\frac {1}{4}}x^{4}+{\frac {1}{3}}x^{3}-{\frac {1}{2}}x^{2}+x\,.$

   Somit ist

   ${}\int _{-1}^{1}{\frac {1}{4}}x^{4}+{\frac {1}{3}}x^{3}-{\frac {1}{2}}x^{2}+xdx=\left({\frac {1}{4}}x^{4}+{\frac {1}{3}}x^{3}-{\frac {1}{2}}x^{2}+x\right)|_{-1}^{1}={\frac {1}{3}}\cdot 2+2={\frac {8}{3}}\,$

   und damit ist der gesuchte Flächeninhalt gleich

   ${}2\cdot 2-{\frac {8}{3}}={\frac {4}{3}}\,.$

Aufgabe (3 Punkte)

Löse das Anfangswertproblem

$y'=(-4t^{3}+2t^{2}+3t+1)y{\text{ mit }}y(-2)=-5.$

Lösung

Eine Stammfunktion zu ${}g(t)=-4t^{3}+2t^{2}+3t+1$ ist

${}G(t)=-t^{4}+{\frac {2}{3}}t^{3}+{\frac {3}{2}}t^{2}+t\,.$

Nach Satz 29.2 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) sind die Lösungen der Differentialgleichung gleich

$ce^{-t^{4}+{\frac {2}{3}}t^{3}+{\frac {3}{2}}t^{2}+t}$

mit einer Konstanten ${}c\in \mathbb {R}$. Die Anfangsbedingung führt auf

${}ce^{-16-{\frac {16}{3}}+6-2}=ce^{-{\frac {52}{3}}}=-5\,,$

also ist

${}c=-5e^{\frac {52}{3}}\,.$

Die Lösung des Anfangswertproblems ist also

${}y(t)=-5e^{\frac {52}{3}}e^{-t^{4}+{\frac {2}{3}}t^{3}+{\frac {3}{2}}t^{2}+t}=-5e^{-t^{4}+{\frac {2}{3}}t^{3}+{\frac {3}{2}}t^{2}+t+{\frac {52}{3}}}\,.$