Kurs:Analysis/Teil I/31/Klausur mit Lösungen/kontrolle
Aufgabe | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Punkte | 3 | 3 | 2 | 4 | 2 | 4 | 5 | 4 | 2 | 6 | 7 | 10 | 3 | 3 | 6 | 64 |
Aufgabe (3 Punkte)
- Zu heißt inverses Element, wenn die Gleichheit
gilt.
- Eine Ordnungsrelation auf heißt lineare Ordnung, wenn zu je zwei Elementen die Beziehung oder gilt.
- Die
Abbildung
heißt komplexe Konjugation.
- Ein Punkt heißt Berührpunkt von , wenn es (mindestens) eine Folge gibt, die gegen konvergiert.
- Die Taylor-Reihe zu im Entwicklungspunkt ist
- Zur
oberen Treppenfunktion
von zur Unterteilung , , und den Werten , , heißt das Treppenintegral
eine oberes Treppenintegral von auf .
Aufgabe (3 Punkte)
- Es seien
und
reelle Folgen. Es gelte
und und
konvergieren beide gegen den gleichen Grenzwert . Dann konvergiert auch gegen diesen Grenzwert . - Die Funktion ist in genau dann differenzierbar, wenn es ein und eine Funktion
gibt mit stetig in und und mit
- Es sei
eine bijektive differenzierbare Funktion und es sei eine Stammfunktion von . Dann ist
Aufgabe (2 Punkte)
wurde ermordet. Es gelten folgende Sachverhalte.
- Der Mörder ist oder oder oder .
- Wenn der Mörder ist, dann ist nicht der Mörder oder ist der Mörder.
- sind alle verschieden.
- Es gibt genau einen Mörder.
- Wenn nicht der Mörder ist, dann ist nicht der Mörder.
- ist genau dann der Mörder, wenn der Mörder ist.
Wer ist der Mörder?
Aus (6), (3) und (4) folgt, dass und beide nicht der Mörder sind, denn sonst wären beide der Mörder. Nach (5) ist somit auch nicht der Mörder. Wegen (1) muss also der Mörder sein. ((2) wird nicht verwendet.)
Aufgabe (4 Punkte)
Zeige durch Induktion über , dass es zu natürlichen Zahlen mit natürliche Zahlen mit und mit
gibt.
Es sei fixiert. Der Induktionsanfang ergibt sich direkt mit und . Für den Induktionsschluss sei die Aussage für bewiesen, d.h. wir haben eine Darstellung mit und müssen eine ebensolche Darstellung für finden. Wenn ist, so ist
und wegen ist dies eine gesuchte Darstellung. Ist hingegen , so ist
und dies ist eine gesuchte Darstellung.
Aufgabe (2 Punkte)
Wenn man alles Gold der Welt zusammennimmt, so erhält man einen Würfel, dessen Seitenlänge Meter beträgt. Wenn man alles Gold von Deutschland zusammennimmt, so erhält man einen Würfel, dessen Seitenlänge Meter beträgt. Wie viel Prozent des weltweiten Goldes besitzt Deutschland?
Der Anteil am weltweiten Gold ist
also etwa .
Aufgabe (4 Punkte)
Bestimme die Lösungsmenge in für die Ungleichung
Wir analysieren die Ungleichung
abhängig davon, ob die Beträge positiv oder negativ zu nehmen sind. Es ist
genau dann, wenn ist, und es ist
genau dann, wenn ist. Wegen führt dies auf die folgenden Fälle.
Dann muss man die Bedingung
betrachten, also
bzw.
Daher gehört zur Lösungsmenge.
Dann muss man die Bedingung
betrachten, also
bzw.
also
Wegen
führt dies auf die Lösungen .
Dann muss man die Bedingung
betrachten, die auf
führt. Also in diesem Fall automatisch erfüllt ist. Daher gehört zur Lösungsmenge.
Die gesamte Lösungsmenge besteht daher aus allen mit oder .
Aufgabe (5 Punkte)
Wir betrachten die Folge, die durch die Folgenglieder
gegeben ist. Zeige, dass dies eine Nullfolge ist.
Wir betrachten zusätzlich die Folge
Beide Folgen sind streng fallend, da sich jedes Glied aus dem Vorgängerglied durch Multiplikation mit einem Faktor ergibt. Da sie positiv sind, müssen nach Korollar 7.1 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) die beiden Folgen konvergieren, sagen wir gegen bzw. . Die Produktfolge ist
Diese Folge konvergiert gegen , somit ist
nach Lemma 6.1 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) (2). Ferner ist
da man die beteiligten Faktoren untereinander vergleichen kann. Somit ist
und daher ist
Aufgabe (4 Punkte)
Es sei , , eine Intervallschachtelung in . Zeige, dass der Durchschnitt
aus genau einem Punkt besteht.
Es sei beliebig gewählt. Wir behaupten, dass dies eine Cauchy-Folge ist. Zu gegebenem sei derart, dass
Für ist dann
da ja ist. Es sei der Limes dieser Cauchy-Folge. Wäre für ein , so wäre
(oder ), doch wegen der Konvergenz der Folge gegen würden dann auch die Folgenglieder für hinreichend groß echt unterhalb von und damit von liegen, im Widerspruch zu . Also ist . Würden zwei Zahlen zum Durchschnitt aller Intervalle gehören, so wäre
für alle im Widerspruch dazu, dass die Intervalllängen gegen konvergieren.
Aufgabe (2 Punkte)
Es sei . Bestimme und beweise eine Formel für die Reihe
Aufgabe (6 (4+1+1) Punkte)
- Zeige die Gleichheit
- Stimmt diese Gleichung auch ohne die äußeren Beträge?
- Wie sieht es aus, wenn man die inneren Beträge weglässt?
- Es ist
Da der Logarithmus die Multiplikation in die Addition überführt, ist
und somit
Durch Übergang zu den Beträgen erhält man Gleichheit.
- Nach Teil (1) gilt
Da die Logarithmen nicht sind, gilt diese Gleichung nicht, wenn man das vordere Minuszeichen weglässt.
- Es ist , somit ist negativ. Davon ist der Logarithmus gar nicht definiert, man kann also die inneren Beträge nicht weglassen.
Aufgabe (7 Punkte)
Beweise den Satz über die Charakterisierung von Extrema mit höheren Ableitungen.
Unter den Voraussetzungen wird die Taylor-Formel zu
mit
(abhängig von )
zwischen
und .
Je nachdem, ob
oder
ist, gilt auch
(wegen der vorausgesetzten Stetigkeit der -ten Ableitung)
bzw.
für
für ein geeignetes
.
Für diese ist auch
,
sodass das Vorzeichen von vom Vorzeichen von abhängt.
Bei gerade ist ungerade und daher wechselt das Vorzeichen bei
(bei
ist das Vorzeichen negativ und bei
ist es positiv).
Da das Vorzeichen von sich nicht ändert, ändert sich das Vorzeichen von . Das bedeutet, dass kein Extremum vorliegen kann.
Es sei nun ungerade. Dann ist gerade, sodass
für alle
in der Umgebung ist. Das bedeutet in der Umgebung bei
,
dass
ist und in ein
isoliertes Minimum
vorliegt, und bei
,
dass
ist und in ein
isoliertes Maximum
vorliegt.
Aufgabe (10 (1+1+4+2+2) Punkte)
Wir betrachten die Funktion
- Berechne die erste Ableitung von .
- Berechne die zweite Ableitung von .
- Erstelle (und beweise) eine Formel für die -te Ableitung von ().
- Bestimme das Taylorpolynom zu im Punkt vom Grad .
- Bestimme die Taylorreihe zu im Punkt .
- Es ist
- Es ist
- Wir behaupten
Dies beweisen wir durch Induktion nach . Der Induktionsanfang ist durch Aufgabenteil (1) gesichert (das leere Produkt ist ). Der Induktionsschluss ergibt sich durch
- Das Taylorpolynom vom Grad mit Entwicklungspunkt ist
- Aus der Formel für die Ableitungen folgt, dass der -te Koeffizient der Taylorreihe für
gleich
ist, also ist die Taylorreihe gleich
Aufgabe (3 Punkte)
Beweise den Satz über die Stammfunktion der Umkehrfunktion.
Ableiten unter Verwendung von [[Differenzierbar/D in R/Rechenregeln/Fakt|Kurs:Analysis/Differenzierbar/D offen K/Rechenregeln/Fakt/Faktreferenznummer (Analysis (Osnabrück 2021-2023))]] und Satz 18.9 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) ergibt
Aufgabe (3 Punkte)
Bestimme eine Stammfunktion von
Die Funktion hat die Gestalt
deshalb ist nach der Kettenregel (für drei Funktionen) eine Stammfunktion dieser Funktion, wobei eine Stammfunktion von bezeichnet. Also ist
eine Stammfunktion.
Aufgabe (6 Punkte)
Es handelt sich um eine zeitunabhängige eindimensionale Differentialgleichung, die mit dem Ansatz für getrente Variablen gelöst werden kann. Es ist
eine Stammfunktion davon ist
Dafür müssen wir die Umkehrfunktion bestimmen. Der Ansatz
führt auf
und auf
also
Die Lösungsfunktionen haben daher die Form
wobei die Anfangsbedingung
über
die Konstante festlegt. Die Lösung des Anfangswertproblems ist also