Kurs:Analysis/Teil I/44/Klausur mit Lösungen
Aufgabe | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Punkte | 3 | 3 | 1 | 3 | 3 | 2 | 6 | 4 | 7 | 5 | 2 | 3 | 2 | 2 | 4 | 2 | 3 | 3 | 6 | 64 |
Aufgabe (3 Punkte)
Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
- Eine Relation zwischen den Mengen und .
- Ein vollständig angeordneter Körper .
- Die Stetigkeit in einem Punkt einer Abbildung .
- Die Supremumsnorm einer Funktion
auf einer Menge .
- Der
Konvergenzradius
einer komplexen Potenzreihe
- Die
gewöhnliche Differentialgleichung
zu einer Funktion
auf einer offenen Menge .
- Eine Relation zwischen und ist eine Teilmenge .
- Ein angeordneter Körper heißt vollständig, wenn jede Cauchy-Folge in konvergiert.
- Man sagt, dass stetig im Punkt ist, wenn es zu jedem ein derart gibt, dass für alle mit die Abschätzung gilt.
- Man nennt
die Supremumsnorm von .
- Unter dem Konvergenzradius der Potenzreihe versteht man
- Man nennt die Gleichung
gewöhnliche Differentialgleichung zu .
Aufgabe (3 Punkte)
Formuliere die folgenden Sätze.
- Das Leibnizkriterium für alternierende Reihen.
- Der Satz über die gleichmäßige Stetigkeit auf einem Intervall.
- Die Quotientenregel für differenzierbare Abbildungen (für einen Punkt).
- Es sei eine fallende Nullfolge von nichtnegativen reellen Zahlen. Dann konvergiert die Reihe .
- Eine stetige Funktion
- Es sei offen, ein Punkt und
zwei Funktionen, die in differenzierbar seien. Wenn keine Nullstelle in besitzt, so ist differenzierbar in mit
Aufgabe (1 Punkt)
Formuliere die Kontraposition zu folgender Aussage von Professor Knopfloch: „Wenn Sie mein Schreiben vollständig gelesen und verstanden haben, dann antworten Sie mit Ihrer Uni-email“.
Wenn Sie nicht mit Ihrer Uni-email antworten, dann haben Sie mein Schreiben nicht vollständig gelesen oder nicht verstanden.
Aufgabe (3 Punkte)
Erläutere das Prinzip Beweis durch Fallunterscheidung.
Lösung Beweis durch Fallunterscheidung/Erläuterung/Aufgabe/Lösung
Aufgabe (3 Punkte)
Es seien Mengen. Zeige, dass die folgenden Aussagen zueinander äquivalent sind.
- .
- .
- .
Von (1) nach (2). Es gelte also und es ist zu zeigen. Es sei also . Das bedeutet und . Nach Voraussetzung (1) gilt wegen auch und wegen gilt .
Von (2) nach (1). Es gelte also und es ist zu zeigen. Es sei also . Wir machen eine Fallunterscheidung. Bei ist auch . Bei gilt wegen zunächst und daher wegen der Voraussetzung auch , also wieder .
Die Äquivalenz von (1) und (3) ergibt sich genauso mit vertauschten Rollen von und .
Aufgabe (2 Punkte)
Eine Schokolade ist ein rechteckiges Raster, das aus rechteckigen Teilstücken besteht ( beziehe sich auf die Länge). Die Teilstücke sind durch Längsrillen und durch Querrillen voneinander abgetrennt. Der Abstand der Längsrillen sei und der Abstand der Querrillen sei . Was ist der Flächeninhalt der Schokolade? Wie lang ist die Gesamtrille?
Die Länge der Schokolade ist und die Höhe ist , deshalb ist der Flächeninhalt der Schokolade gleich .
Es gibt Längsrillen, die jeweils die Länge haben, und es gibt Querrillen, die jeweils die Länge haben. Die gesamte Länge der Rillen ist daher
Aufgabe (6 (3+3) Punkte)
Wir betrachten eine Rekursionsvorschrift, die zu einen Zahlendreieck (analog zum Pascalschen Dreieck) führt. In der ersten Zeile steht zentral die , links und rechts davon stehen unendlich viele (die nicht aufgeführt werden müssen). Die jeweils nächste Zeile entsteht, indem man von zwei benachbarten Zahlen der Vorgängerzeile das geometrische Mittel nimmt und das Ergebnis darunter in der neuen Zeile platziert.
- Bestimme die ersten Zeilen dieses Zahlendreiecks, bis sämtliche Einträge kleiner als sind.
- Welche Eigenschaft gilt in jeder Zeile? Warum?
- Es ergibt sich das folgende Schema.
Wegen
sind wir fertig.
- In jeder Zeile ist das Produkt über alle Zahlen gleich . Dies beweist man durch Induktion über den Zeilenindex. In der Startzeile ist das richtig (die nicht hingeschriebenen Zahlen sind ). Es sei also das Produkt der Zahlen in einer Zeile gleich . Jede Zahl dieser Zeile geht zweifach in die folgende Zeile ein, einmal als Beitrag zum geometrischen Mittel mit der linken Zahl und einmal als Beitrag zum geometrischen Mittel mit der rechten Zahl. Dabei geht wegen jeweils die Quadratwurzel ein. Das Gesamtprodukt bleibt dabei erhalten.
Aufgabe (4 Punkte)
Es sei ein angeordneter Körper und seien rationale Zahlen. Zeige, dass es eine bijektive streng wachsende Abbildung
gibt, die rationale Zahlen in rationale Zahlen überführt.
Wir definieren die Abbildung durch
Da es sich bis auf die Verschiebung um um eine lineare Funktion mit einem positiven Proportionalitätsfaktor handelt, ist sie nach Satz . (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) (1) streng wachsend und auch bijektiv. Es ist offenbar und . Somit ist
und die Abbildung lässt sich auf die Intervalle zu einer bijektiven Abbildung einschränken. Für eine rationale Zahl ist
wegen der Rationalität von und wieder rational.
Aufgabe (7 (2+2+3) Punkte)
- Man gebe ein Beispiel für reelle Folgen und , , derart, dass gegen konvergiert, aber nicht konvergiert.
- Man gebe ein Beispiel für reelle Folgen und , , derart, dass gegen konvergiert, aber nicht konvergiert.
- Es seien und reelle Folgen derart, dass gegen konvergiert. Es gebe ein
mit
für alle . Zeige, dass gegen konvergiert.
- Es sei
und
für . Dann ist
Dies konvergiert gegen . Die Differenzfolge
konvergiert nicht.
- Es sei
und
Dann ist
Dies konvergiert nicht. Die Differenzfolge
konvergiert gegen , da beide Folgen Nullfolgen sind.
- Wir schreiben
wobei nach Voraussetzung eine Nullfolge ist. Damit ist
Dabei ist
eine Nullfolge. Somit konvergiert die Quotientenfolge gegen .
Aufgabe (5 (1+2+2) Punkte)
- Es sei ein Polynom über einem Körper der Form
mit und . Zeige, dass die als einzige Nullstelle besitzt.
- Es sei ein Polynom mit der Eigenschaft, dass die einzige komplexe Nullstelle von ist. Zeige, dass die Form
mit und hat.
- Man gebe ein Beispiel für ein reelles Polynom mit der Eigenschaft, dass die einzige reelle Nullstelle von ist, dass aber nicht die Gestalt aus Teil (1) besitzt.
- Die angegebenen Polynome haben die gewünschte Eigenschaft über jedem Körper nach [[Körper/Integritätsbereich/Fakt|Satz . (Analysis (Osnabrück 2021-2023))]]. Aus folgt zunächst und daraus .
- Es sei ein Polynom mit der angegebenen Nullstelleneigenschaft. Wenn konstant ist, so besitzt bei
jedes Element als Nullstelle und bei
überhaupt keine Nullstelle. Der Grad von muss also zumindest sein. Nach
dem Fundamentalsatz der Algebra
besitzt eine Faktorzerlegung
mit . Die sind die Nullstellen von . Da diese alle sein sollen, ist
- Wir betrachten
das nicht die Form aus Teil (1) besitzt. Eine Nullstelle dieses Polynoms ist die Nullstelle eines Faktors. Das Polynom ist reell immer positiv und somit nullstellenfrei, also ist die einzige Nullstelle von .
Aufgabe (2 Punkte)
Es sei ein Körper und ein Element mit . Beweise für durch Induktion die Beziehung
Für steht beidseitig . Es sei die Gleichung für ein bestimmtes bewiesen. Dann ist
was die Behauptung für ist.
Aufgabe (3 Punkte)
Beweise, dass eine absolut konvergente Reihe komplexer Zahlen konvergiert.
Es sei vorgegeben. Wir wenden das Cauchy-Kriterium an. Aufgrund der absoluten Konvergenz gibt es ein derart, dass für alle die Abschätzung
gilt. Daher ist
was die Konvergenz bedeutet.
Aufgabe (2 Punkte)
Gibt es eine reelle Zahl, die in ihrer dritten Potenz, vermindert um das Fünffache ihrer zweiten Potenz, gleich der siebten Wurzel von ist?
Es geht um eine reelle Lösung für die Gleichung
Es ist und und . Da als Polynomfunktion stetig ist, gibt es nach dem Zwischenwertsatz ein mit .
Aufgabe (2 Punkte)
Bestimme den minimalen Wert der reellen Funktion
Es ist
Da der quadratische Term links stets ist, ist der minimale Wert der Funktion.
Aufgabe (4 Punkte)
Beweise den Mittelwertsatz der Differentialrechnung.
Wir betrachten die Hilfsfunktion
Diese Funktion ist ebenfalls stetig und in differenzierbar. Ferner ist und
Daher erfüllt die Voraussetzungen von Satz 19.2 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) und somit gibt es ein mit . Aufgrund der Ableitungsregeln gilt also
Aufgabe (2 Punkte)
Bestimme die Ableitung der Funktion
Es ist
Aufgabe (3 Punkte)
Wir betrachten die Funktion
Zeige durch Induktion, dass die -te Ableitung () von gleich
ist.
Die Aussage ist für richtig. Als Induktionsvoraussetzung können wir
annehmen. Dann ist
was die Aussage für bedeutet.
Aufgabe (3 Punkte)
Wir betrachten die Funktion
Bestimme den Flächeninhalt des durch die -Achse und den Graphen von eingeschränkten Gebietes.
Die Nullstellen von sind
Im Intervall ist negativ, sonst überall positiv. Der gesuchte Flächeninhalt ist deshalb der Betrag des bestimmten Integrals
also gleich .
Aufgabe (6 Punkte)
Beweise den Satz über das Lösungsverfahren für Differentialgleichungen mit getrennten Variablen.
Da stetig ist und keine Nullstelle besitzt, ist bzw. nach dem Zwischenwertsatz entweder stets positiv oder stets negativ, sodass nach Satz 19.5 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) streng monoton und daher nach Aufgabe 2.6 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) injektiv (also bijektiv auf sein Bild) ist.
Sei wie angegeben. Dann ist
sodass in der Tat eine Lösung vorliegt.
Es sei nun eine differenzierbare Funktion, die die Differentialgleichung erfüllt. Daraus folgt
wobei wir die Substitution angewendet haben. Für die zugehörigen Stammfunktionen (mit den unteren Integralgrenzen bzw. ) bedeutet dies , also ist .