Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/Arbeitsblatt 16/kontrolle

Übungsaufgaben

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine konvergente Folge in ${}\mathbb {R}$ . Wir betrachten auf einem reellen Intervall ${}[a,b]$ die Funktionenfolge

f_{n}\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto tx_{n}.

Zeige, dass diese Funktionenfolge gleichmäßig konvergiert, und bestimme die Grenzfunktion.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine konvergente Folge in ${}\mathbb {R}$ . Wir betrachten die Funktionenfolge

f_{n}\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto tx_{n}.

Zeige, dass diese Funktionenfolge punktweise, aber im Allgemeinen nicht gleichmäßig konvergiert. Was ist die Grenzfunktion?

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei ${}T$ eine Menge und seien

f_{n}\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }

und

g_{n}\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }

zwei gleichmäßig konvergente Funktionenfolgen. Zeige, dass auch die Summenfolge

f_{n}+g_{n}\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} },\,t\longmapsto f_{n}(t)+g_{n}(t),

gleichmäßig konvergent ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zu ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ betrachten wir die Funktionen

f_{n}\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f_{n}(x),

die durch

{}f_{n}(x)={\begin{cases}0,{\text{ für }}x\leq 0,\\nx{\text{ für }}0<x\leq 1/n,\\2-nx{\text{ für }}1/n<x\leq 2/n,\\0,{\text{ für }}x>2/n\,.\end{cases}}\,

definiert sind. Zeige, dass diese Funktionen stetig sind, und dass diese Funktionenfolge punktweise, aber nicht gleichmäßig gegen die Nullfunktion konvergiert.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Man gebe ein Beispiel einer Funktionenfolge

f_{n}\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}

derart, dass sämtliche ${}f_{n}$ nicht stetig sind, die Funktionenfolge aber gleichmäßig gegen eine stetige Grenzfunktion konvergiert.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}T$ eine Menge und

{}M={\left\{f:T\rightarrow {\mathbb {C} }\mid \Vert {f}\Vert _{T}<\infty \right\}}\,

die Menge der beschränkten komplexwertigen Funktionen auf ${}T$ . Zeige, dass ${}M$ ein komplexer Vektorraum ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}{\left(c_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge von komplexen Zahlen und ${}\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}$ die zugehörige Potenzreihe. Zeige, dass deren Konvergenzradius mit dem Konvergenzradius der um ${}a\in {\mathbb {C} }$ „verschobenen“ Potenzreihe

\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-a)^{n}

übereinstimmt.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Bestimme, für welche komplexe Zahlen ${}z$ die Reihe

\sum _{n=0}^{\infty }n^{n}z^{n}

konvergiert.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass die Exponentialreihe auf ${}{\mathbb {C} }$ nicht gleichmäßig konvergiert.

Aufgabe Aufgabe 16.10 ändern

Es seien ${}f=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}$ und ${}g=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}z^{n}$ Potenzreihen mit positiven Konvergenzradien, deren Minimum ${}r$ sei. Zeige die folgenden Aussagen.

Die Potenzreihe ${}\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}$ mit ${}c_{n}=a_{n}+b_{n}$ ist konvergent auf ${}U{\left(0,r\right)}$ und stellt dort die Summenfunktion ${}f+g$ dar.
Die Potenzreihe ${}\sum _{n=0}^{\infty }d_{n}z^{n}$ mit ${}d_{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i}$ ist konvergent auf ${}U{\left(0,r\right)}$ und stellt dort die Produktfunktion ${}fg$ dar.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Betrachte die Funktionenfolge

f_{n}\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{1/n}.

Zeige, dass diese Folge für ${}I=\mathbb {R} _{\geq 0}$ punktweise konvergiert, und untersuche die Folge auf gleichmäßige Konvergenz für die verschiedenen Definitionsmengen

I=\mathbb {R} _{\geq 0},\,\mathbb {R} _{+},\,[1,\infty ],\,[{\frac {1}{5}},5],\,]0,1],\,[0,1].

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Betrachte die Potenzreihe

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n^{2}}}.

Zeige, dass diese Potenzreihe den Konvergenzradius ${}1$ besitzt, und dass die Reihe noch für alle ${}x\in {\mathbb {C} }$ , ${}\vert {x}\vert =1$ , konvergiert.

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}T$ eine Menge und

{}M={\left\{f:T\rightarrow {\mathbb {C} }\mid \Vert {f}\Vert _{T}<\infty \right\}}\,

die Menge der beschränkten komplexwertigen Funktionen auf ${}T$ . Zeige, dass die Supremumsnorm auf ${}M$ folgende Eigenschaften erfüllt.

${}\Vert {f}\Vert \geq 0$ für alle ${}f\in M$ .
${}\Vert {f}\Vert =0$ genau dann, wenn ${}f=0$ ist.
Für ${}\lambda \in {\mathbb {C} }$ und ${}f\in M$ gilt
${}\Vert {\lambda f}\Vert =\vert {\lambda }\vert \cdot \Vert {f}\Vert \,.$
Für ${}g,f\in M$ gilt
${}\Vert {g+f}\Vert \leq \Vert {g}\Vert +\Vert {f}\Vert \,.$

Aufgabe (5 Punkte)Aufgabe 16.14 ändern

Es sei

\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}

eine Potenzreihe, die für ein ${}\epsilon >0$ auf ${}U{\left(0,\epsilon \right)}$ konvergiere und dort die Nullfunktion darstelle. Zeige, dass dann ${}c_{n}=0$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$ ist (d.h. die Potenzreihe ist die Nullreihe).

Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}d\in \mathbb {N}$ und sei für jedes ${}i\in \{0,1,\ldots ,d\}$ eine konvergente Folge

{\left(c_{in}\right)}_{n\in \mathbb {N} }

in ${}{\mathbb {C} }$ gegeben, deren Limes mit ${}c_{i}$ bezeichnet sei. Wir betrachten die Folge ${}{\left(f_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ von Polynomen vom Grad ${}\leq d$ , die durch