Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil III/Arbeitsblatt 86

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Bestimme die äußere Ableitung der ${}1$- Differentialform

${}\omega =(x^{2}-y^{3})dx+x^{3}y^{2}dy\,$

auf dem ${}\mathbb {R} ^{2}$.

Aufgabe

Bestimme die äußere Ableitung der ${}1$- Differentialform

${}\omega =xy^{2}dx+yzdy+x^{3}dz\,$

auf dem ${}\mathbb {R} ^{3}$.

Aufgabe *

Berechne die äußere Ableitung ${}d\omega$ der ${}1$- Differentialform

${}\omega ={\frac {x^{2}}{y}}dx-{\frac {x}{y^{2}}}dy\,$

auf ${}U={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid y\neq 0\right\}}$.

Aufgabe *

Berechne die äußere Ableitung ${}d\omega$ der Differentialform

$\omega =e^{xz}dx\wedge dy-xyzdx\wedge dz+(\sin(\cos(xy))+y^{10}z^{100})dy\wedge dz$

auf dem ${}\mathbb {R} ^{3}$.

Aufgabe *

Es sei

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto f(t),$

die durch

${}f(t)={\frac {\sin ^{3}(t^{4})}{1+t^{2}}}\,$

gegeben ist.

a) Berechne die äußere Ableitung von ${}f$.

b) Berechne die äußere Ableitung von ${}fdt$.

Aufgabe

Bestimme die äußere Ableitung der ${}2$- Differentialform

$\omega =xdx\wedge dy+xy^{2}zdy\wedge dz+xe^{y}dx\wedge dz$

auf dem ${}\mathbb {R} ^{3}$.

Aufgabe *

Zeige, dass die ${}1$- Differentialform ${}\omega =(2x-\sin y)dx-x\cos ydy$ auf dem ${}\mathbb {R} ^{2}$ geschlossen und auch exakt ist.

Aufgabe

Es sei ${}\omega$ eine differenzierbare Differentialform auf einer Mannigfaltigkeit ${}M$ und ${}\varphi \colon L\rightarrow M$ eine auf der Mannigfaltigkeit ${}L$ definierte differenzierbare Abbildung.

1. Es sei ${}\omega$ exakt. Zeige, dass auch die zurückgezogene Differentialform ${}\varphi ^{*}\omega$ exakt ist.
2. Es sei ${}\omega$ geschlossen. Zeige, dass auch die zurückgezogene Differentialform ${}\varphi ^{*}\omega$ geschlossen ist.

Aufgabe

Es sei ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine offene Teilmenge und ${}\omega$ eine stetig differenzierbare ${}1$- Form auf ${}U$ mit dem gemäß Lemma 84.3 zugehörigen Vektorfeld ${}F$ auf ${}U$. Zeige, dass ${}\omega$ genau dann geschlossen ist, wenn ${}F$ die Integrabilitätsbedingung erfüllt.

Aufgabe

Es sei ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine offene Teilmenge und ${}\omega$ eine stetig differenzierbare ${}1$- Form auf ${}U$ mit dem gemäß Lemma 84.3 zugehörigen Vektorfeld ${}F$ auf ${}U$. Zeige, dass ${}\omega$ genau dann exakt ist, wenn ${}F$ ein Gradientenfeld ist.

Aufgabe

Es sei ${}M$ eine zusammenhängende differenzierbare Mannigfaltigkeit und ${}\omega$ eine differenzierbare ${}1$- Form auf ${}M$. Zeige, dass ${}\omega$ genau dann exakt ist, wenn für jeden stetig differenzierbaren Weg

$\gamma \colon [a,b]\longrightarrow M$

das Wegintegral ${}\int _{\gamma }\omega$ nur von ${}\gamma (a)$ und ${}\gamma (b)$ abhängt.

Aufgabe

Welche der folgenden Funktionen

$\mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R}$

lassen sich differenzierbar in den Randpunkt ${}0$ fortsetzen.

1. ${}x^{3}+\sin ^{3}x-e^{-x}$,
2. ${}{\frac {1}{x}}$,
3. ${}\sin {\frac {1}{x}}$,
4. ${}x\sin {\frac {1}{x}}$,
5. ${}{\frac {e^{\frac {1}{x}}}{x}}$,
6. ${}x^{2}\sin {\frac {1}{x}}$.

Aufgabe

Es sei ${}H\subset \mathbb {R} ^{n}$ ein Halbraum. Es sei ${}Q\in H$ ein Punkt und ${}Q\in U\subseteq H$, wobei ${}U$ eine offene Teilmenge des ${}\mathbb {R} ^{n}$ sei. Zeige, dass ${}Q$ kein Randpunkt von ${}H$ ist.

Aufgabe

Definiere die Begriffe Diffeomorphismus, totales Differential und höhere Ableitungen für Halbräume (bzw. offene Teilmengen davon).

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die äußere Ableitung der ${}1$- Differentialform

$\omega =xy^{2}z^{3}dx+xyzdy+x^{3}yz^{4}dz$

auf dem ${}\mathbb {R} ^{3}$.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die äußere Ableitung der ${}2$- Differentialform

$\omega =xy^{2}dx\wedge dy+(x^{3}-y^{2}z^{4})dy\wedge dz+\sin(xy)dx\wedge dz$

auf dem ${}\mathbb {R} ^{3}$.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen und es seien ${}\omega _{1},\ldots ,\omega _{r}$ Differentialformen auf ${}U$, wobei ${}\omega _{i}$ eine ${}k_{i}$- Differentialform sei. Finde und beweise eine Formel für

$d(\omega _{1}\wedge \ldots \wedge \omega _{r}).$

Aufgabe (5 Punkte)

Zeige, dass die Differentialform

${}\omega ={\left(2xy+3x^{2}-ye^{xy}\right)}dx+{\left(x^{2}-xe^{xy}+8y\right)}dy\,$

auf dem ${}\mathbb {R} ^{2}$ geschlossen und auch exakt ist.

Aufgabe (6 Punkte)

Zeige, dass die Halbebene ${}\mathbb {R} _{\geq 0}\times \mathbb {R}$ und der Quadrant ${}\mathbb {R} _{\geq 0}\times \mathbb {R} _{\geq 0}$ homöomorph sind.

Aufgabe (4 Punkte)

Begründe die einzelnen Gleichungen in der Gleichungskette im Beweis zu Lemma 86.2.

Gehe dabei folgendermaßen vor.

1. Legen Sie auf Ihrer Benutzerseite (oder Gruppenseite) eine Unterseite an, indem Sie dort die Zeile

   [[/Differentialform/Äußere Ableitung/Vergleichskette/Einzelbegründungen]]

   schreiben (d.h. Bearbeiten, Schreiben, Abspeichern; das / vorne ist wichtig).
2. Es erscheint ein roter Link. Gehen Sie auf den roten Link und geben Sie dort

    {{:Differentialform/Äußere Ableitung/Vergleichskette/Begründungsfenster}}

   ein.

3. Es erscheint die Gleichungskette. Wenn Sie auf eines der Gleich-Zeichen gehen, erscheint ein roter Link. Gehen Sie auf diesen roten Link und geben Sie dort die Begründung für diese Abschätzung ein.
4. Die Abgabe erfolgt online, indem Sie auf der Abgabeseite einen Link zu Ihrer Lösung hinterlassen, also dort

   [[Ihr Benutzername/Differentialform/Äußere Ableitung/Vergleichskette/Einzelbegründungen]]

   hinschreiben.