Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil I/Definitionsfrageliste

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Produktmenge/Zwei Mengen/Definition


Frage: Die Produktmenge aus zwei Mengen und .


Antwort: Man nennt die Menge

die Produktmenge der Mengen und .





Mengen/Potenzmenge/Definition


Frage: Die Potenzmenge zu einer Menge .


Antwort: Zu einer Menge nennt man die Menge aller Teilmengen von die Potenzmenge von .





Theorie der Abbildungen/Abbildung/Definition


Frage: Eine Abbildung von einer Menge in eine Menge .


Antwort: Eine Abbildung von nach ist dadurch gegeben, dass jedem Element der Menge genau ein Element der Menge zugeordnet wird.





Abbildung/Injektiv/Definition


Frage: Eine injektive Abbildung


Antwort: Die Abbildung

ist injektiv, wenn für je zwei verschiedene Elemente auch und verschieden sind.





Abbildung/Surjektiv/Definition


Frage: Eine surjektive Abbildung


Antwort: Die Abbildung heißt surjektiv, wenn es für jedes mindestens ein Element mit gibt.





Abbildung/Bijektiv/Definition


Frage: Eine bijektive Abbildung


Antwort: Die Abbildung heißt bijektiv, wenn sie sowohl injektiv als auch surjektiv ist.





Abbildung/Bijektiv/Umkehrabbildung/Definition


Frage: Die Umkehrabbildung zu einer bijektiven Abbildung .


Antwort: Die Abbildung

die jedes Element auf das eindeutig bestimmte Element mit abbildet, heißt die Umkehrabbildung zu .





Abbildung/Hintereinanderschaltung/Definition


Frage: Die Hintereinanderschaltung der Abbildungen

und


Antwort: Die Abbildung

heißt die Hintereinanderschaltung der Abbildungen und .





Abbildung/Bild einer Abbildung/Definition


Frage: Das Bild einer Abbildung


Antwort: Das Bild von ist die Menge





Abbildung/Urbild einer Abbildung/Definition


Frage: Das Urbild zu einer Teilmenge unter einer Abbildung .


Antwort: Zu einer Teilmenge heißt

das Urbild von unter .





Verknüpfung/Definition


Frage: Eine Verknüpfung auf einer Menge .


Antwort: Eine Verknüpfung auf einer Menge ist eine Abbildung





Verknüpfung/Kommutativ/Definition


Frage: Die Kommutativität einer Verknüpfung


Antwort: Eine Verknüpfung

heißt kommutativ, wenn für alle die Gleichheit

gilt.





Verknüpfung/Assoziativ/Definition


Frage: Die Assoziativität einer Verknüpfung


Antwort: Eine Verknüpfung

heißt assoziativ, wenn für alle die Gleichheit

gilt.





Verknüpfung/Neutrales Element/Definition


Frage: Ein neutrales Element zu einer Verknüpfung


Antwort: Es sei eine Menge mit einer Verknüpfung

gegeben. Dann heißt ein Element neutrales Element der Verknüpfung, wenn für alle die Gleichheit

gilt.





Verknüpfung/Inverses Element/Definition


Frage: Ein inverses Element zu einem Element bezüglich einer Verknüpfung

mit einem neutralen Element .


Antwort: Zu heißt inverses Element, wenn die Gleichheit

gilt.





Gruppentheorie/Gruppe/Direkt/Definition


Frage: Eine Gruppe.


Antwort: Eine Menge mit einem ausgezeichneten Element und mit einer Verknüpfung

heißt Gruppe, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind.

  1. Die Verknüpfung ist assoziativ, d.h. für alle gilt
  2. Das Element ist ein neutrales Element, d.h. für alle gilt
  3. Zu jedem gibt es ein inverses Element, d.h. es gibt ein mit





Körpertheorie (Algebra)/Körper/Direkt/Definition


Frage: Ein Körper.


Antwort: Eine Menge heißt ein Körper, wenn es zwei Verknüpfungen (genannt Addition und Multiplikation)

und zwei verschiedene Elemente gibt, die die folgenden Eigenschaften erfüllen.

  1. Axiome der Addition
    1. Assoziativgesetz: Für alle gilt: .
    2. Kommutativgesetz: Für alle gilt .
    3. ist das neutrale Element der Addition, d.h. für alle ist .
    4. Existenz des Negativen: Zu jedem gibt es ein Element mit .
  2. Axiome der Multiplikation
    1. Assoziativgesetz: Für alle gilt: .
    2. Kommutativgesetz: Für alle gilt .
    3. ist das neutrale Element der Multiplikation, d.h. für alle ist .
    4. Existenz des Inversen: Zu jedem mit gibt es ein Element mit .
  3. Distributivgesetz: Für alle gilt .





Rationale Zahlen/Brüche/Definition


Frage: Eine rationale Zahl.


Antwort: Unter einer rationalen Zahl versteht man einen Ausdruck der Form

wobei und sind, und wobei zwei Ausdrücke und genau dann als gleich betrachtet werden, wenn (in ) gilt.





Natürliche Zahlen/Fakultät/Definition


Frage: Die Fakultät einer natürlichen Zahl .


Antwort: Unter der Fakultät von versteht man die Zahl





Mengen/Binomialkoeffizient/Definition


Frage: Der Binomialkoeffizient .


Antwort: Der Binomialkoeffizient ist durch

definiert.





Mengentheorie/Relationen/Relation/Definition


Frage: Eine Relation zwischen den Mengen und .


Antwort: Eine Relation zwischen und ist eine Teilmenge .





Ordnungstheorie/Ordnungsrelation/Definition


Frage: Eine Ordnungsrelation auf einer Menge .


Antwort: Die Relation heißt Ordnungsrelation, wenn folgende drei Bedingungen erfüllt sind.

  1. Es ist für alle .
  2. Aus und folgt stets .
  3. Aus und folgt .





Ordnungstheorie/Lineare Ordnung/Definition


Frage: Eine lineare (oder totale) Ordnung auf einer Menge .


Antwort: Eine Ordnungsrelation auf heißt lineare Ordnung, wenn zu je zwei Elementen die Beziehung oder gilt.





Körpertheorie/Angeordneter Körper/Definition


Frage: Ein angeordneter Körper.


Antwort: Ein Körper heißt angeordnet, wenn es eine totale Ordnung“ auf gibt, die die beiden Eigenschaften

  1. Aus folgt (für beliebige )
  2. Aus und folgt (für beliebige )

erfüllt.





Angeordneter Körper/Verschiedene Intervalle/Definition


Frage: Angeordneter Körper/Verschiedene Intervalle/Definition/Begriff


Antwort: Angeordneter Körper/Verschiedene Intervalle/Definition/Begriff/Inhalt