Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil II/Arbeitsblatt 45/kontrolle

Übungsaufgaben

Für dieses Aufgabenblatt darf die Beziehung zwischen totalem Differential und partiellen Ableitungen bzw. Richtungsableitungen nicht verwendet werden.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Ist die Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{2},$

im Punkt ${}-3$ total differenzierbar? Was ist das totale Differential in diesem Punkt?

Aufgabe Aufgabe 45.2 ändern

Berechne für die Addition

$+\colon {\mathbb {R} }^{2}\longrightarrow {\mathbb {R} },\,(x,y)\longmapsto x+y,$

und für die Multiplikation

$\cdot \colon {\mathbb {R} }^{2}\longrightarrow {\mathbb {R} },\,(x,y)\longmapsto x\cdot y,$

das totale Differential.

Aufgabe Aufgabe 45.3 ändern

Es sei ${}\varphi \colon V\rightarrow W$ konstant mit ${}\varphi (v)=w\in W$ für alle ${}v\in V$. Zeige, dass ${}\varphi$ differenzierbar ist mit totalem Differential ${}0$.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es seien ${}V$ und ${}W$ endlichdimensionale ${}{\mathbb {K} }$- Vektorräume und ${}G\subseteq V$ eine offene Teilmenge. Es sei ${}\varphi \colon G\rightarrow W$ im Punkt ${}P\in G$ differenzierbar mit dem Differential ${}\left(D\varphi \right)_{P}$. Zeige, dass für alle ${}a\in {\mathbb {K} }$ die Beziehung

${}\left(D(a\varphi )\right)_{P}=a\left(D\varphi \right)_{P}\,$

gilt.

Aufgabe Aufgabe 45.5 ändern

Es sei

$f\colon {\mathbb {K} }^{n}\longrightarrow {\mathbb {K} }$

eine Polynomfunktion. Zeige, dass ${}f$ im Nullpunkt differenzierbar ist. Man gebe dabei explizit das totale Differential und die Abweichungsfunktion an.

Aufgabe Aufgabe 45.6 ändern

Es sei

$f\colon {\mathbb {K} }^{n}\longrightarrow {\mathbb {K} }$

eine Polynomfunktion. Zeige, dass ${}f$ in jedem Punkt differenzierbar ist. Man gebe dabei explizit das totale Differential und die Abweichungsfunktion an.

Aufgabe Aufgabe 45.7 ändern

Es seien ${}V$, ${}W_{1}$ und ${}W_{2}$ endlichdimensionale ${}{\mathbb {K} }$- Vektorräume.

1. Es seien ${}L_{1}\colon V\rightarrow W_{1}$ und ${}L_{2}\colon V\rightarrow W_{2}$ ${}{\mathbb {K} }$- lineare Abbildungen. Zeige, dass die Abbildung

   $L_{1}\times L_{2}\colon V\longrightarrow W_{1}\times W_{2},\,v\longmapsto (L_{1}(v),L_{2}(v)),$

   ${}{\mathbb {K} }$-linear ist.

2. Es seien ${}f_{1}\colon V\rightarrow W_{1}$ und ${}f_{2}\colon V\rightarrow W_{2}$ im Punkt ${}P\in V$ differenzierbare Abbildungen. Zeige, dass die Abbildung

   $f=(f_{1}\times f_{2})\colon V\longrightarrow W_{1}\times W_{2},\,Q\longmapsto (f_{1}(Q),f_{2}(Q)),$

   im Punkt P differenzierbar ist mit dem totalen Differential

   ${}\left(Df\right)_{P}=\left(Df_{1}\right)_{P}\times \left(Df_{2}\right)_{P}\,.$

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es seien ${}V,W$ endlichdimensionale ${}{\mathbb {K} }$- Vektorräume und ${}G\subseteq V$ eine offene Teilmenge. Weiter seien ${}f,g\colon G\rightarrow W$ Abbildungen und ${}P\in G$. Wir nennen ${}f,g$ im Punkt ${}P$ tangential äquivalent, wenn der Limes

$\operatorname {lim} _{v\rightarrow 0}\,{\frac {(f-g)(P+v)}{\Vert {v}\Vert }}$

existiert und gleich ${}0$ ist.

1. Zeige, dass dadurch eine Äquivalenzrelation auf der Abbildungsmenge von ${}G$ nach ${}W$ gegeben ist.
2. Es sei ${}f$ total differenzierbar. Zeige, dass ${}f$ zu seiner linearen Approximation tangential äquivalent ist.
3. Es seien ${}f$ und ${}g$ tangential äquivalent. Zeige, dass in diesem Fall ${}f$ genau dann in ${}P$ total differenzierbar ist, wenn dies für ${}g$ gilt, und dass ihre totalen Differentiale im Punkt ${}P$ übereinstimmen.

Aufgabe Aufgabe 45.9 ändern

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum. Zeige, dass die Skalarmultiplikation

$\varphi \colon {\mathbb {K} }\times V\longrightarrow V,\,(s,v)\longmapsto sv,$

in jedem Punkt ${}P=(s,v)$ differenzierbar ist mit

${}\left(D\varphi \right)_{P}(t,w)=tv+sw\,.$

Aufgabe Referenznummer erstellen

Leite aus der allgemeinen Kettenregel die Kettenregel für Funktionen in einer Variablen ab.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Leite aus der allgemeinen Kettenregel die Kettenregel für differenzierbare Kurven (für eine differenzierbare Kurve ${}f\colon J\rightarrow V$ und eine differenzierbare Umparametrisierung ${}h\colon I\rightarrow J$) ab.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein reelles Intervall und seien

$f,g\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

zwei differenzierbare Funktionen. Beweise die Produktregel aus der allgemeinen Kettenregel unter Verwendung von Aufgabe 45.2.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}\mathbb {R}$- Vektorraum und ${}G\subseteq V$ eine offene Teilmenge. Weiter seien ${}f,g\colon G\rightarrow \mathbb {R}$ zwei in ${}P\in G$ differenzierbare Funktionen. Wende die Kettenregel und Aufgabe 45.2 auf das Diagramm

$G{\stackrel {f,g}{\longrightarrow }}\mathbb {R} \times \mathbb {R} {\stackrel {\operatorname {mult} }{\longrightarrow }}\mathbb {R}$

an, um zu zeigen, dass die Gleichung

${}\left(D(f\cdot g)\right)_{P}=g(P)\cdot \left(Df\right)_{P}+f(P)\cdot \left(Dg\right)_{P}\,$

gilt.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein Intervall, ${}W$ ein euklidischer Vektorraum und

$\varphi \colon I\longrightarrow W$

eine differenzierbare Kurve. Zeige, dass zwischen dem totalen Differential und der Kurven-Ableitung die Beziehung

${}{\left(D\varphi \right)}_{t}{\left(1\right)}=\varphi '(t)\,$

besteht.

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es seien ${}V$ und ${}W$ endlichdimensionale ${}{\mathbb {K} }$- Vektorräume, ${}G\subseteq V$ eine offene Menge, ${}\varphi \colon G\rightarrow W$ eine Abbildung und ${}L\colon V\rightarrow W$ eine lineare Abbildung. Zeige, dass folgende Eigenschaften äquivalent sind.

1. ${}\varphi$ ist differenzierbar in ${}P$ mit dem totalen Differential ${}L$.
2. Der Limes

   $\operatorname {lim} _{v\rightarrow 0,v\neq 0}\,{\frac {\varphi (P+v)-\varphi (P)-L(v)}{\Vert {v}\Vert }}$

   existiert und ist gleich ${}0$.

3. Der Limes

   $\operatorname {lim} _{v\rightarrow 0,v\neq 0}\,{\frac {\Vert {\varphi (P+v)-\varphi (P)-L(v)}\Vert }{\Vert {v}\Vert }}$

   existiert und ist gleich ${}0$.

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es seien ${}f_{1},\ldots ,f_{n}$ differenzierbare Funktionen in einer Variablen. Bestimme das totale Differential der Abbildung

${\mathbb {R} }^{n}\longrightarrow {\mathbb {R} }^{n},\,(x_{1},\ldots ,x_{n})\longmapsto (f_{1}(x_{1}),\ldots ,f_{n}(x_{n})).$

Aufgabe (4 Punkte)Aufgabe 45.17 ändern

Es seien ${}V$ und ${}W$ endlichdimensionale ${}{\mathbb {K} }$- Vektorräume, ${}G\subseteq V$ eine offene Mengen, ${}P\in G$ ein Punkt, ${}\varphi \colon G\rightarrow W$ und ${}f\colon G\rightarrow {\mathbb {K} }$ in ${}P$ differenzierbare Abbildungen. Zeige, dass dann die Produktabbildung

$f\cdot \varphi \colon G\longrightarrow W$

in ${}P$ differenzierbar ist mit

${}\left(D(f\cdot \varphi )\right)_{P}=f(P)\cdot \left(D\varphi \right)_{P}+\left(Df\right)_{P}\cdot \varphi (P)\,.$

Tipp: Verwende Aufgabe 45.9 und die Kettenregel.