Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil II/Arbeitsblatt 46/kontrolle

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Übungsaufgaben

Aufgabe Referenznummer erstellen

Sei eine total differenzierbare Abbildung mit für alle . Zeige, dass konstant ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

a) Berechne das totale Differential der Abbildung

in jedem Punkt.

b) Was ist das totale Differential im Punkt ?

c) Berechne die Richtungsableitung in diesem Punkt in Richtung .

d) Berechne den Wert von in diesem Punkt.


Aufgabe Referenznummer erstellen

a) Berechne das totale Differential der Abbildung

in jedem Punkt.

b) Was ist das totale Differential im Punkt ?

c) Berechne die Richtungsableitung in diesem Punkt in Richtung .

d) Berechne den Wert von in diesem Punkt.


Aufgabe Referenznummer erstellen

a) Berechne das totale Differential der Abbildung

in jedem Punkt.

b) Was ist das totale Differential im Punkt ?

c) Berechne die Richtungsableitung in diesem Punkt in Richtung .

d) Berechne den Wert von in diesem Punkt.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme das totale Differential der Determinante

für an der Einheitsmatrix.


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Bestätige die Kettenregel für für die beiden differenzierbaren Abbildungen

und


Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestätige die Kettenregel anhand der beiden Abbildungen

und

und ihrer Komposition in folgenden Schritten.

  1. Berechne für einen beliebigen Punkt das totale Differential mit Hilfe von partiellen Ableitungen.
  2. Berechne für einen beliebigen Punkt das totale Differential mit Hilfe von partiellen Ableitungen.
  3. Berechne explizit die Komposition .
  4. Berechne direkt mit partiellen Ableitungen in einem Punkt das totale Differential von .
  5. Berechne das totale Differential von in einem Punkt mit Hilfe der Kettenregel und den Teilen (1) und (2).


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es seien und offene Mengen, und und Abbildungen derart, dass gilt. Es sei weiter angenommen, dass in und in total differenzierbar ist. Zeige


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es seien und offene Mengen, und und Abbildungen derart, dass gilt. Es sei weiter angenommen, dass und -fach stetig differenzierbar sind. Zeige, dass auch -fach stetig differenzierbar ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Sei

eine Funktion. Zeige, dass die Funktion

genau dann im Punkt total differenzierbar ist, wenn in stetig ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Seien und euklidische Vektorräume, offen und sei

eine Abbildung. Zeige, dass genau dann stetig differenzierbar ist, wenn total differenzierbar ist und wenn die Abbildung

stetig ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Sei differenzierbar im Nullpunkt und eine Folge in mit

Zeige, dass ein Eigenvektor von zum Eigenwert ist.


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Wir betrachten die Funktion

mit

a) Zeige, dass stetig ist.

b) Zeige, dass die Einschränkung von auf jede Gerade durch den Nullpunkt eine lineare Abbildung ist.

c) Zeige, dass zu im Nullpunkt in jede Richtung die Richtungsableitung existiert.

d) Zeige, dass im Nullpunkt nicht total differenzierbar ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es seien und metrische Räume und es sei

eine stetige Abbildung. Es sei

und es sei

eine Funktion, die im Punkt ein lokales Extremum besitze. Zeige, dass

in ein lokales Extremum besitzt.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Wir wollen die Kettenregel anhand der beiden Abbildungen

und

und ihrer Komposition veranschaulichen.

  1. Berechne für einen beliebigen Punkt das totale Differential mit Hilfe von partiellen Ableitungen.
  2. Berechne für einen beliebigen Punkt das totale Differential mit Hilfe von partiellen Ableitungen.
  3. Berechne explizit die Komposition .
  4. Berechne direkt mit partiellen Ableitungen in einem Punkt das totale Differential von .
  5. Berechne das totale Differential von in einem Punkt mit Hilfe der Kettenregel und den Teilen (1) und (2).


Aufgabe (8 Punkte)Referenznummer erstellen

Wir betrachten die Funktionen

mit

und

Berechne das totale Differential von in einem beliebigen Punkt auf vier verschiedene Arten.


Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Untersuche die Abbildung

auf partielle Ableitungen und totale Differenzierbarkeit.


Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum und sei

eine differenzierbare Abbildung. Zeige, dass genau dann eine Verschiebung ist, also von der Art mit einem festen Vektor , wenn

für alle ist.


Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei

eine differenzierbare Abbildung. Zeige, dass dann auch die Abbildung

differenzierbar ist und bestimme das totale Differential davon.


Aufgabe (10 Punkte)Referenznummer erstellen

Man gebe ein Beispiel für eine differenzierbare Kurve

und eine stetige Funktion,

für die die Richtungsableitung in jede Richtung existiert, derart, dass die Verknüpfung

nicht differenzierbar ist.



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