Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil I/Arbeitsblatt 7

Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei ${}I_{n}=[a_{n},b_{n}]$ eine Intervallschachtelung für ${}x$ und ${}J_{n}=[c_{n},d_{n}]$ eine Intervallschachtelung für ${}y$. Beschreibe eine Intervallschachtelung für ${}x+y$.

Aufgabe *

Wir beschreiben eine Konstruktion von ineinander enthaltenen Intervallen, und gehen vom Einheitsintervall ${}[0,1]$ aus. Das Intervall wird in zehn gleichlange Teilintervalle zerlegt und davon nehmen wir das achte Teilintervall. Das entstehende Intervall teilen wir ebenfalls in zehn gleichlange Teilintervalle und nehmen davon wieder das achte Teilintervall. Dieser Teilungsprozess wird unendlich oft durchgeführt, wobei eine Folge von Intervallen ${}I_{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, entsteht (${}I_{0}$ ist das Einheitsintervall, das als Startintervall dient).

1. Bestimme die Intervallgrenzen des Intervalls, das im zweiten Schritt konstruiert wird.
2. Erstelle eine Formel, die die untere und die obere Intervallgrenze des Intervalls ${}I_{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, ausdrückt.
3. Es gibt genau eine rationale Zahl ${}c$, die in jedem Intervall ${}I_{n}$ enthalten ist. Bestimme ${}c$ als Bruch.

Aufgabe *

Es sei ${}I_{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, eine Intervallschachtelung in ${}\mathbb {R}$. Zeige, dass der Durchschnitt

$\bigcap _{n\in \mathbb {N} }I_{n}$

aus genau einem Punkt ${}x\in \mathbb {R}$ besteht.

Aufgabe

Es sei ${}I_{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, eine Intervallschachtelung in ${}\mathbb {R}$ und sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine reelle Folge mit ${}x_{n}\in I_{n}$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$. Zeige, dass diese Folge gegen die durch die Intervallschachtelung bestimmte Zahl konvergiert.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein archimedisch angeordneter Körper mit der Eigenschaft, dass jede Intervallschachtelung in ${}K$ einen Punkt enthält. Zeige, dass ${}K$ vollständig ist.

Vor der nächsten Aufgabe erinnern wir an die beiden folgenden Definitionen.

Zu zwei reellen Zahlen ${}x$ und ${}y$ heißt

${\frac {x+y}{2}}$

das arithmetische Mittel.

Zu zwei nichtnegativen reellen Zahlen ${}x$ und ${}y$ heißt

${\sqrt {x\cdot y}}$

das geometrische Mittel.

Aufgabe *

Es seien ${}x$ und ${}y$ zwei nichtnegative reelle Zahlen. Zeige, dass das arithmetische Mittel der beiden Zahlen mindestens so groß wie ihr geometrisches Mittel ist.

Aufgabe

Es seien ${}b>a>0$ positive reelle Zahlen. Wir definieren rekursiv zwei Folgen ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ durch ${}x_{0}=a$, ${}y_{0}=b$ und durch

$x_{n+1}={\text{ geometrisches Mittel von }}x_{n}{\text{ und }}y_{n},$

$y_{n+1}={\text{ arithmetisches Mittel von }}x_{n}{\text{ und }}y_{n}.$

Zeige, dass ${}[x_{n},y_{n}]$ eine Intervallschachtelung ist.

Aufgabe

Zeige, dass das Quadrieren

$\mathbb {R} _{\geq 0}\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0},\,x\longmapsto x^{2},$

eine wachsende Funktion ist. Man folgere daraus, dass auch die Quadratwurzel

$\mathbb {R} _{\geq 0}\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0},\,u\longmapsto {\sqrt {u}},$

eine wachsende Funktion ist.

Aufgabe

Zeige, dass für nichtnegative reelle Zahlen ${}s$ und ${}t$ die Beziehung

${\sqrt {st}}={\sqrt {s}}{\sqrt {t}}$

besteht.

Aufgabe *

Begründe geometrisch, dass die Wurzeln ${}{\sqrt {n}}$, ${}n\in \mathbb {N}$, als Länge von „natürlichen“ Strecken vorkommen.

Tipp: Satz des Pythagoras.

Aufgabe

Zeige, dass man zu jeder gegebenen Streckenlänge ${}a$ (also jedem ${}a\in \mathbb {R} _{\geq 0}$) die Quadratwurzel ${}{\sqrt {a}}$ mit Zirkel und Lineal konstruieren kann.

Tipp: Satz des Pythagoras und Bild rechts.

Aufgabe *

Formuliere und beweise die Lösungsformel für eine quadratische Gleichung

${}ax^{2}+bx+c=0\,$

mit ${}a,b,c\in \mathbb {R}$, ${}a\neq 0$.

Aufgabe *

Es sei ${}x$ eine reelle Zahl, von welcher der Beginn der kanonischen Dezimalbruchentwicklung gleich

$0{,}3333333333\dotso$

(die weiteren Ziffern sind nicht bekannt). Was kann man über die Dezimalbruchentwicklung von ${}3x$ sagen? In welchem (möglichst kleinen) Intervall liegt ${}3x$?

Aufgabe

Die beiden reellen Zahlen ${}x$ und ${}y$ seien durch ihre Dezimalbruchentwicklung

$x=0,z_{1}z_{2}z_{3}\ldots$

und

$y=0,u_{1}u_{2}u_{3}\ldots$

gegeben. Man gebe unter Bezug auf diese Ziffernentwicklungen eine Folge mit rationalen Gliedern an, die gegen ${}xy$ konvergiert.

Aufgabe

Untersuche die durch

$x_{n}={\frac {1}{\sqrt {n}}}$

gegebene Folge (${}n\geq 1$) auf Konvergenz.

Aufgabe

Bestimme den Grenzwert der durch

$x_{n}={\frac {2n+5{\sqrt {n}}+7}{-5n+3{\sqrt {n}}-4}}$

definierten reellen Folge.

Aufgabe

Es sei ${}x_{n}\in \mathbb {R} _{\geq 0}$ eine konvergente Folge mit dem Grenzwert ${}x$. Zeige, dass die Folge ${}{\sqrt {x_{n}}}$ gegen ${}{\sqrt {x}}$ konvergiert.

Aufgabe

Es sei ${}a\in \mathbb {R} _{\geq 0}$ und ${}k\in \mathbb {N} _{+}$. Zeige, dass zu einem beliebigen Startwert ${}x_{0}\in \mathbb {R} _{+}$ durch

${}x_{n+1}:={\frac {(k-1)x_{n}+{\frac {a}{x_{n}^{k-1}}}}{k}}\,$

eine Folge definiert wird, die gegen ${}{\sqrt[{k}]{a}}$ konvergiert.

Aufgabe

Es sei ${}a\in \mathbb {R} _{\geq 0}$, ${}k\in \mathbb {N}$, ${}M={\left\{x\in \mathbb {R} _{\geq 0}\mid x^{k}\leq a\right\}}$ und ${}s={\operatorname {sup} \,(M)}$. Zeige ${}s^{k}=a$.

Aufgabe *

Es seien ${}a,b$ positive reelle Zahlen und ${}m,n\in \mathbb {N}$. Zeige mit geeigneten Potenzgesetzen die folgenden Aussagen.

1. Es ist

   ${}{\sqrt[{m}]{\sqrt[{n}]{b}}}={\sqrt[{mn}]{b}}\,.$

2. Es ist

   ${}{\sqrt[{m}]{ab}}={\sqrt[{m}]{a}}{\sqrt[{m}]{b}}\,.$

3. Es ist

   ${}{\sqrt[{m}]{b^{-1}}}={\left({\sqrt[{m}]{b}}\right)}^{-1}\,.$

Aufgabe *

Es sei ${}b\geq 1$ eine reelle Zahl. Wir betrachten die reelle Folge

${}x_{n}:=b^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{b}}\,$

(mit ${}n\in \mathbb {N} _{+}$).

1. Zeige, dass die Folge monoton fallend ist.
2. Zeige, dass sämtliche Folgenglieder ${}\geq 1$ sind.
3. Zeige, dass die Folge gegen ${}1$ konvergiert.

Aufgabe *

Es sei ${}k\in \mathbb {N} _{+}$. Untersuche die Folge

${}x_{n}={\frac {1}{\sqrt[{k}]{n}}}\,$

auf Konvergenz.

Aufgabe

Es seien ${}A$ und ${}B$ beschränkte Teilmengen von ${}\mathbb {R}$. Ferner sei ${}A+B:={\left\{a+b\mid a\in A,\,b\in B\right\}}$ und ${}A-B:={\left\{a-b\mid a\in A,\,b\in B\right\}}$.

1. Zeige, dass ${}\sup(A+B)=\sup(A)+\sup(B)$.
2. Wie lautet die entsprechende Formel für ${}\sup(A-B)$?
3. Zeige, dass ${}\sup(A\cup B)=\max\{\sup(A),\sup(B)\}$.
4. Was lässt sich über ${}\sup(A\cap B)$ sagen?
5. Wie lautet die Entsprechung zu 3. für unendlich viele Mengen?

Aufgabe *

Es sei

$f(x)=x^{2}+x-{\frac {7}{4}}.$

Zu jedem Startwert ${}x_{0}\in \mathbb {R}$ betrachten wir die reelle Folge

$x_{n}=f^{n}(x_{0}),$

es gilt also die rekursive Beziehung ${}x_{n+1}=f(x_{n})$. Zeige, dass die Folge für ${}x_{0}\in [-2,1]$ einen Häufungspunkt besitzt.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper, der nicht archimedisch angeordnet sei. Zeige, dass für ${}K$ die Aussage das Satzes von Bolzano-Weierstraß nicht gilt.

Aufgabe

Zeige die folgenden Abschätzungen.

a)

${}{\binom {n}{k}}\cdot {\frac {1}{n^{k}}}\leq {\frac {1}{k!}}\,,$

b)

${}{\left(1+{\frac {1}{n}}\right)}^{n}\leq \sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{k!}}\,.$

Aufgabe

Berechne mit einem Computer die ersten hundert Nachkommastellen im Zehnersystem von

${}e:=\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(1+{\frac {1}{n}}\right)}^{n}\,.$

Für welches ${}n$ wird diese Genauigkeit erreicht?

Eine Teilmenge ${}T\subseteq \mathbb {R}$ heißt dicht, wenn es zu jeder reellen Zahl ${}x\in \mathbb {R}$ und jedem ${}\epsilon >0$ Elemente ${}t\in T$ mit

${}\vert {t-x}\vert <\epsilon \,$

gibt.

Aufgabe

Zeige, dass die Menge der rationalen Zahlen ${}\mathbb {Q}$ in ${}\mathbb {R}$ dicht ist.

Aufgabe

Zeige, dass die Menge der Dezimalbrüche in ${}\mathbb {R}$ dicht ist.

Aufgabe

Es sei ${}k\in \mathbb {N} _{\geq 2}$ eine fixierte natürliche Zahl und es sei ${}T$ die Menge aller rationalen Zahlen, die man mit einer Potenz von ${}k$ als Nenner schreiben kann. Zeige, dass ${}T$ in ${}\mathbb {R}$ dicht ist.

Aufgabe

Es sei ${}T\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge. Zeige, dass ${}T$ genau dann dicht in ${}\mathbb {R}$ ist, wenn es zu jeder reellen Zahl ${}x\in \mathbb {R}$ eine Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\in T$ gibt, die gegen ${}x$ konvergiert.

Aufgabe

Zeige, dass die Menge der irrationalen Zahlen in ${}\mathbb {R}$ dicht ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (7 (1+3+3) Punkte)

Wir beschreiben eine Konstruktion von ineinander enthaltenen Intervallen, und gehen vom Einheitsintervall ${}[0,1]$ aus. Das Intervall wird in sieben gleichlange Teilintervalle zerlegt und davon nehmen wir das sechste Teilintervall. Das entstehende Intervall teilen wir ebenfalls in sieben gleichlange Teilintervalle und nehmen davon wieder das sechste Teilintervall. Dieser Teilungsprozess wird unendlich oft durchgeführt, wobei eine Folge von Intervallen ${}I_{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, entsteht (${}I_{0}$ ist das Einheitsintervall, das als Startintervall dient).

1. Bestimme die Intervallgrenzen des Intervalls, das im ersten Schritt konstruiert wird.
2. Erstelle eine Formel, die die untere und die obere Intervallgrenze des Intervalls ${}I_{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, ausdrückt.
3. Es gibt genau eine rationale Zahl ${}c$, die in jedem Intervall ${}I_{n}$ enthalten ist. Bestimme ${}c$ als Bruch.

Der dritte Teil erfordert Grundtatsachen über den Divisionsalgorithmus.

Aufgabe (3 Punkte)

Entscheide, ob die Folge

${}a_{n}={\sqrt {n+1}}-{\sqrt {n}}\,$

konvergiert, und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.

Aufgabe (5 Punkte)

Untersuche die durch

${}x_{n}={\frac {{\sqrt {n}}^{n}}{n!}}\,$

gegebene Folge auf Konvergenz.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}{\left(f_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ die Folge der Fibonacci-Zahlen und

${}x_{n}={\frac {f_{n}}{f_{n-1}}}\,.$

Zeige, dass diese Folge in ${}\mathbb {R}$ konvergiert und dass der Grenzwert ${}x$ die Bedingung

${}x=1+x^{-1}\,$

erfüllt. Berechne daraus ${}x$.

Tipp: Zeige zuerst mit Hilfe der Simpson-Formel, dass man mit diesen Brüchen eine Intervallschachtelung basteln kann.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper mit der Eigenschaft, dass in ihm jede nichtleere, nach oben beschränkte Teilmenge ein Supremum besitzt. Zeige, dass ${}K$ vollständig ist.

Aufgabe (6 Punkte)

Zeige, dass jede Folge in ${}\mathbb {R}$ eine monotone Teilfolge besitzt.