Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil I/Arbeitsblatt 7

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Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei eine Intervallschachtelung für und eine Intervallschachtelung für . Beschreibe eine Intervallschachtelung für .


Aufgabe *

Wir beschreiben eine Konstruktion von ineinander enthaltenen Intervallen, und gehen vom Einheitsintervall aus. Das Intervall wird in zehn gleichlange Teilintervalle zerlegt und davon nehmen wir das achte Teilintervall. Das entstehende Intervall teilen wir ebenfalls in zehn gleichlange Teilintervalle und nehmen davon wieder das achte Teilintervall. Dieser Teilungsprozess wird unendlich oft durchgeführt, wobei eine Folge von Intervallen , , entsteht ( ist das Einheitsintervall, das als Startintervall dient).

  1. Bestimme die Intervallgrenzen des Intervalls, das im zweiten Schritt konstruiert wird.
  2. Erstelle eine Formel, die die untere und die obere Intervallgrenze des Intervalls , , ausdrückt.
  3. Es gibt genau eine rationale Zahl , die in jedem Intervall enthalten ist. Bestimme als Bruch.


Aufgabe *

Es sei , , eine Intervallschachtelung in . Zeige, dass der Durchschnitt

aus genau einem Punkt besteht.


Aufgabe

Es sei , , eine Intervallschachtelung in und sei eine reelle Folge mit für alle . Zeige, dass diese Folge gegen die durch die Intervallschachtelung bestimmte Zahl konvergiert.


Aufgabe

Es sei ein archimedisch angeordneter Körper mit der Eigenschaft, dass jede Intervallschachtelung in einen Punkt enthält. Zeige, dass vollständig ist.


Vor der nächsten Aufgabe erinnern wir an die beiden folgenden Definitionen.


Zu zwei reellen Zahlen und heißt

das arithmetische Mittel.


Zu zwei nichtnegativen reellen Zahlen und heißt

das geometrische Mittel.


Aufgabe *

Es seien und zwei nichtnegative reelle Zahlen. Zeige, dass das arithmetische Mittel der beiden Zahlen mindestens so groß wie ihr geometrisches Mittel ist.


Aufgabe

Es seien positive reelle Zahlen. Wir definieren rekursiv zwei Folgen und durch , und durch

Zeige, dass eine Intervallschachtelung ist.


Aufgabe

Zeige, dass das Quadrieren

eine wachsende Funktion ist. Man folgere daraus, dass auch die Quadratwurzel

eine wachsende Funktion ist.


Aufgabe

Zeige, dass für nichtnegative reelle Zahlen und die Beziehung

besteht.


Aufgabe *

Begründe geometrisch, dass die Wurzeln , , als Länge von „natürlichen“ Strecken vorkommen.

Tipp: Satz des Pythagoras.

Halbkreis.jpg


Aufgabe

Zeige, dass man zu jeder gegebenen Streckenlänge (also jedem ) die Quadratwurzel mit Zirkel und Lineal konstruieren kann.

Tipp: Satz des Pythagoras und Bild rechts.

Aufgabe *

Formuliere und beweise die Lösungsformel für eine quadratische Gleichung

mit , .


Aufgabe *

Es sei eine reelle Zahl, von welcher der Beginn der kanonischen Dezimalbruchentwicklung gleich

(die weiteren Ziffern sind nicht bekannt). Was kann man über die Dezimalbruchentwicklung von sagen? In welchem (möglichst kleinen) Intervall liegt ?


Aufgabe

Die beiden reellen Zahlen und seien durch ihre Dezimalbruchentwicklung

und

gegeben. Man gebe unter Bezug auf diese Ziffernentwicklungen eine Folge mit rationalen Gliedern an, die gegen konvergiert.


Aufgabe

Untersuche die durch

gegebene Folge () auf Konvergenz.


Aufgabe

Bestimme den Grenzwert der durch

definierten reellen Folge.


Aufgabe

Es sei eine konvergente Folge mit dem Grenzwert . Zeige, dass die Folge gegen konvergiert.


Aufgabe

Sei und . Zeige, dass zu einem beliebigen Startwert durch

eine Folge definiert wird, die gegen konvergiert.


Aufgabe

Es sei , , und . Zeige .


Aufgabe *

Es seien positive reelle Zahlen und . Zeige mit geeigneten Potenzgesetzen die folgenden Aussagen.

  1. Es ist
  2. Es ist
  3. Es ist


Aufgabe *

Es sei eine reelle Zahl. Wir betrachten die reelle Folge

(mit ).

  1. Zeige, dass die Folge monoton fallend ist.
  2. Zeige, dass sämtliche Folgenglieder sind.
  3. Zeige, dass die Folge gegen konvergiert.


Aufgabe

Es sei . Untersuche die Folge

auf Konvergenz.


Aufgabe

Es seien und beschränkte Teilmengen von . Ferner sei und .

  1. Zeige, dass .
  2. Wie lautet die entsprechende Formel für ?
  3. Zeige, dass .
  4. Was lässt sich über sagen?
  5. Wie lautet die Entsprechung zu 3. für unendlich viele Mengen?


Aufgabe *

Es sei

Zu jedem Startwert betrachten wir die reelle Folge
es gilt also die rekursive Beziehung . Zeige, dass die Folge für einen Häufungspunkt besitzt.


Aufgabe

Es sei ein angeordneter Körper, der nicht archimedisch angeordnet sei. Zeige, dass für die Aussage das Satzes von Bolzano-Weierstraß nicht gilt.


Aufgabe

Zeige die folgenden Abschätzungen.

a)

b)


Aufgabe

Berechne mit einem Computer die ersten hundert Nachkommastellen im Zehnersystem von

Für welches wird diese Genauigkeit erreicht?




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (7 (1+3+3) Punkte)

Wir beschreiben eine Konstruktion von ineinander enthaltenen Intervallen, und gehen vom Einheitsintervall aus. Das Intervall wird in sieben gleichlange Teilintervalle zerlegt und davon nehmen wir das sechste Teilintervall. Das entstehende Intervall teilen wir ebenfalls in sieben gleichlange Teilintervalle und nehmen davon wieder das sechste Teilintervall. Dieser Teilungsprozess wird unendlich oft durchgeführt, wobei eine Folge von Intervallen , , entsteht ( ist das Einheitsintervall, das als Startintervall dient).

  1. Bestimme die Intervallgrenzen des Intervalls, das im ersten Schritt konstruiert wird.
  2. Erstelle eine Formel, die die untere und die obere Intervallgrenze des Intervalls , , ausdrückt.
  3. Es gibt genau eine rationale Zahl , die in jedem Intervall enthalten ist. Bestimme als Bruch.

Der dritte Teil erfordert Grundtatsachen über den Divisionsalgorithmus.

Aufgabe (3 Punkte)

Entscheide, ob die Folge

konvergiert, und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.


Aufgabe (5 Punkte)

Untersuche die durch

gegebene Folge auf Konvergenz.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei die Folge der Fibonacci-Zahlen und

Zeige, dass diese Folge in konvergiert und dass der Grenzwert die Bedingung

erfüllt. Berechne daraus .

Tipp: Zeige zuerst mit Hilfe der Simpson-Formel, dass man mit diesen Brüchen eine Intervallschachtelung basteln kann.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ein angeordneter Körper mit der Eigenschaft, dass in ihm jede nichtleere, nach oben beschränkte Teilmenge ein Supremum besitzt. Zeige, dass vollständig ist.


Aufgabe (6 Punkte)

Zeige, dass jede Folge in eine monotone Teilfolge besitzt.



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