Kurs:Bündel, Garben und Kohomologie (Osnabrück 2019-2020)/Vorlesung 11

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Das projektive Spektrum eines graduierten Ringes

Das projektive Spektrum wird üblicherweise für -graduierte Ringe eingeführt. Da man aber in der Konstruktion Nenneraufnahmen an homogenen Elementen betrachtet, wobei auch negative Grade auftreten, ist es sinnvoller, von Anfang an mit -Graduierungen zu arbeiten.


Definition  

Zu einem -graduierten Ring nennt man das von allen homogenen Elementen von einem Grad erzeugte Ideal das irrelevante Ideal. Es wird mit bezeichnet.

Im positiv-graduierten Fall ist dies einfach das Ideal . Bei negativen Graden kann es auch das Einheitsideal sein.


Definition  

Es sei ein -graduierter kommutativer Ring. Dann nennt man die Menge der homogenen Primideale von , die nicht umfassen, das projektive Spektrum von . Es wird mit bezeichnet.


Definition  

Es sei ein -graduierter kommutativer Ring. Dann nennt man die Menge der homogenen Primideale von , die nicht umfassen, zusammen mit der Topologie, bei der die Teilmengen

als offen erklärt werden, das projektive Spektrum von .

Es handelt sich in der Tat um eine Topologie. Es ist

mit

Diese bilden eine Basis der Topologie.


Definition  

Das projektive Spektrum des Polynomrings nennt man den projektiven Raum der Dimension über .

Zu einem -graduierten Ring bezeichnet man den Ring der nullten Stufe mit . Wenn -graduiert ist, so ist häufig ein einfacher Ring, beispielsweise ein Körper, aber wenn ein homogenes Element mit einem positiven Grad ist, so ist die Nenneraufnahme in natürlicher Weise -graduiert und kann beliebig kompliziert sein.

Zu einem homogenen Primideal ist ein multiplikatives System und entsprechend ist der Durchschnitt von mit der Menge aller homogenen Elemente ein multiplikatives System. Der Ring der nullten Stufe zu dieser Nenneraufnahme spielt eine besondere Rolle, er wird mit

bezeichnet.



Lemma  

Zu einem homogenen Primideal in einem -graduierten Ring

ist ein lokaler Ring.

Beweis  

Seien Nichteinheiten. Dann ist und mit homogenen Elementen und homogenen Elementen , die jeweils den gleichen Grad wie ihre Nenner haben. Dabei ist , da andernfalls eine Einheit vorliegen würde. Daher ist und somit ist

ebenfalls eine Nichteinheit in .



Definition  

Es sei ein -graduierter Ring und das mit der Zariski-Topologie versehene projektive Spektrum von . Unter der Strukturgarbe auf versteht man die Zuordnung, die jeder offenen Menge den kommutativen Ring

und jeder Inklusion die natürliche Projektion zuordnet.

Diese Definition beinhaltet insbesondere, dass in jeder Darstellung die Differenz gleich ist. Man kann dies als Vergarbung der durch
definierten Prägarbe auffassen, wodurch klar wird, dass eine Garbe aus kommutativen Ringen vorliegt.

Definition  

Es sei ein -graduierter Ring. Unter dem projektiven Spektrum versteht man das mit der Zariski-Topologie und der Strukturgarbe versehene projektive Spektrum von .



Lemma  

Es sei ein -graduierter Ring, der zumindest eine homogene Einheit positiven Grades besitze.

Dann ist die Abbildung

eine Bijektion, die bezüglich der Zariski-Topologien eine Homöomorphie und bezüglich der Strukturgarben ein Isomorphismus ist. Ferner ist dabei

Beweis  

Zunächst ist ein Primideal und die Abbildung ist wohldefiniert. Es sei eine Einheit positiven Grades. Wir behaupten, dass sich aus rekonstruieren lässt, und zwar sind die homogenen Elemente von , die ja das Ideal festlegen, gleich

Dabei ist die Inklusion klar, da man und so wählen kann, dass der Grad von gleich wird. Wenn umgekehrt ist, so ist zunächst und wegen der Primeigenschaft dann auch . Damit ist die Abbildung injektiv. Zum Nachweis der Surjektivität sei ein Primideal aus und wir betrachten das von

erzeugte Ideal. Dieses enthält keine Einheit und somit auch nicht ganz , da es nicht enthält, da nicht die enthält. Wenn zu dieser Menge gehört, so ist für gewisse und für eine gewisse Potenz davon können wir dies als

derart schreiben, dass beide Faktoren den Grad haben. Dann muss ein Faktor zu gehören und somit oder zu der angegebenen Menge.

Zum Nachweis der Homöomorphie beachte man, dass die Mengen bzw. zu homogenen Elementen (vom Grad ) jeweils eine Basis der Topologie bilden, dass das Urbild von gleich ist und dass ist.




Lemma  

Zu einem -graduierten Ring und einem homogenen Element von einem Grad ist

als beringte Räume. Insbesondere ist das projektive Spektrum ein Schema.

Beweis  

Dies folgt aus Lemma 11.7, angewendet auf , unter Berücksichtigung, dass die homogenen Primideale von den homogenen Primidealen von entsprechen. Die Schemaeigenschaft folgt, da die zu das projektive Spektrum überdecken.



Beispiel  

Das projektive Spektrum zum standard-graduierten Polynomring , also der projektive Raum, wird durch die überdeckt. Dabei ist

ein Polynomring in Variablen und daher ist (mit für )

Der projektive -dimensionale Raum wird also durch affine Räume überdeckt.




Satz  

Es seien und standard-graduierte Ringe über einem kommutativen Ring und sei ein homogener Ringhomomorphismus.

Dann gibt es einen natürlichen Schemamorphismus

Beweis  

Das Urbild eines Primideals unter einem Ringhomomorphismus ist wieder ein Primideal und das Urbild eines homogenen Ideals ist wieder ein homogenes Ideal. Für

gibt es ein homogenes Element mit . Daher ist und somit ist . Es gibt also eine Abbildung

Für ein homogenes Element ist dabei , da dies auch für die Spektrumsabbildung gilt. Daher ist die Abbildung stetig. Nach Korollar 9.11 ist die Spektrumsabbildung in eindeutiger Weise ein Morphismus von Schemata. Auf jedem ist dieser durch den Ringhomomorphismus

gegeben. Bei homogen ist dieser Ringhomomorphismus wieder homogen und induziert insbesondere einen Ringhomomorphismus

in der nullten Stufe. Da dies nach Lemma 11.8 die Schnittringe zu bzw. sind, und da diese Ringhomomorphismen mit den Restriktionen verträglich sind, und da das Diagramm

kommutiert, handelt es sich um einen Morphismus lokal beringter Räume.



Beispiel  

Die Unterringbeziehung

führt im Sinne von Satz 11.10 zu einem Schemamorphismus

Einem -Punkt mit den homogenen Koordinaten wird der Punkt zugeordet, und diese Abbildung ist nur auf der angegebenen offenen Teilmenge definiert, es gibt keine sinnvolle Fortsetzung auf den Punkt . Man spricht von der Projektion weg von einem Punkt. In den affinen Räumen bzw. interpretiert bedeutet die Abbildung, dass eine jede Gerade auf eine Hyperebene projiziert wird. Für die Gerade, die „senkrecht“ auf der Hyperebene steht, ist dies nicht wohldefiniert, da die Projektion keine Gerade liefert.


Die folgende Definition werden wir insbesondere über einem Körper verwenden.


Definition  

Ein Schema über einem kommutativen Ring heißt projektiv, wenn es eine Faktorisierung

gibt, bei der eine abgeschlossene Einbettung ist.



Lemma  

Zu einem standard-graduierten Ring

ist das projektive Spektrum ein projektives Schema über .

Beweis  

Es ist

mit einem homogenen Ideal . Zur Restklassenabbildung

gehört nach Satz 11.10 der Schemamorphismus

So wie die Spektrumsabbildung

eine Homöomorphie ist, ist auch die vorliegende projektive Variante eine Homöomorphie auf . D.h. insbesondere, dass in natürlicher Weise einer abgeschlossenen Teilmenge des projektiven Raumes über entspricht. Wir müssen noch zeigen, dass der Garbenhomomorphismus

surjektiv ist. Auf zu einem homogenen Element ist dies aber die Abbildung

und diese ist es surjektiv.


In der vorstehenden Aussage sind die Ringhomomorhismen nur auf den Mengen der Form surjektiv, nicht auf allen offenen Mengen. Da diese aber eine Basis der Topologie bilden, liegt auch die Surjektivität in den Halmen vor. Daher handelt es sich einen surjektiven Garbenhomomorphismus.


Definition  

Zu einem homogenen Polynom über einem Körper nennt man

die projektive Hyperfläche zu .


Definition  

Zu einer projektiven Hyperfläche

zu einem homogenen Polynom nennt man den Grad von auch den Grad der Hyperfläche.



Lemma  

Es sei ein standard-graduierter Ring mit homogenen Erzeugern vom Grad .

Dann ist .

Dieser Restklassenring wird durch die Dehomogenisierungen der bezüglich der Variablen beschrieben.

Beweis  

Es ist

In dieser letzten Beschreibung ist klar, was der Ring in Grad ist.

Wenn man (mit ) schreibt, so ist

und dies ist die Dehomogenisierung von bezüglich der Variablen .



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