Kurs:Bündel, Garben und Kohomologie (Osnabrück 2019-2020)/Arbeitsblatt 17

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Aufgabe

Vergleiche die Definition 16.1 eines geometrischen Vektorbündels über einem Schema mit der Definition 1.4 eines reellen Vektorbündels über einem topologischen Raum.


Aufgabe

Es sei ein geometrisches Vektorbündel vom Rang über dem Schema . Zeige, dass die Faser zu über dem Punkt isomorph zu ist.


Aufgabe

Was ist ein Vektorbündel über einem Schema vom Rang ?


Aufgabe

Diskutiere das triviale Geradenbündel

Was kann man über die Fasern, was über Schnitte, was über abgeschlossene Teilmengen und ihre Bilder in sagen?


Aufgabe

Bestimme in Beispiel 16.3 die Trivialisierungen und die Übergangsabbildungen explizit.


Aufgabe

Zeige, dass in Beispiel 16.4 bei das triviale Geradenbündel

vorliegt.


Aufgabe

Zeige, dass in Beispiel 16.4 bei die sogenannte Projektion weg von einem Punkt

vorliegt.


Aufgabe

Es sei ein Schema und seien und Vektorbündel über vom Rang bzw. . Definiere die direkte Summe der beiden Vektorbündel unter Bezugnahme auf (simultane) Trivialisierungen und (es soll also gelten).


Aufgabe

Definiere Konstruktionen aus der linearen Algebra wie direkte Summe, Dual, Tensorprodukt, äußeres Produkt für geometrische Vektorbündel über einem Schema.

Man orientiere sich an der dritten Vorlesung.

Aufgabe

Zeige, dass bei einem geometrischen Vektorbündel der Nullschnitt eine abgeschlossene Einbettung ist.


Aufgabe

Es sei ein Vektorbündel über . Zeige, dass die Addition die folgenden Eigenschaften besitzt (es ist zugleich zu zeigen, dass die angegebenen Morphismen existieren).

  1. Das Diagramm

    kommutiert, wobei den Nullschnitt bezeichnet.

  2. Das Diagramm

    kommutiert, wobei die Vertauschung der beiden Faktoren bezeichnet.

  3. Das Diagramm

    kommutiert.


Zur folgenden Aufgabe vergleiche man Aufgabe 1.6.

Aufgabe

Es sei ein Körper. Wir betrachten

die Spektrumsabbildung

und die Einschränkung

(worauf beruht die Gleichheit links?) Zeige die folgenden Aussagen.

  1. Die Abbildung ist auf und auf isomorph zur affinen Gerade über der Basis.
  2. Die Abbildung besitzt keinen Schnitt.
  3. ist kein Geradenbündel.


Aufgabe

Es sei eine kommutative -Algebra von endlichem Typ über einem Körper . Es seien Elemente in und es sei

die erzwingende Algebra zu diesen Daten. Es sei

die eingeschränkte Spektrumsabbildung. Zeige, dass es eine offene affine Überdeckung derart gibt, dass isomorph zu ist, und dass dabei die Übergangsabbildungen affin-linear sind.


Aufgabe

Zeige, dass ein Homomorphismus von trivialen Vektorbündeln

über dem affinen Schema durch eine -Matrix über gegeben ist.


Aufgabe

Zeige, dass ein Homomorphismus von Vektorbündeln

über den Nullschnitt von (aufgefasst als abgeschlossenes Unterschema) in den Nullschnitt von abbildet.


Aufgabe

Es sei ein Homomorphismus von Vektorbündeln über . Zeige, dass das Diagramm

kommutiert (ein Vektorbündelhomomorphismus ist also mit der Addition verträglich).


Aufgabe

Wir betrachten den Homomorphismus von trivialen Vektorbündeln

über , der durch die -Matrix gegeben ist. Bestimme die Punkte , für die die zugehörige Faserabbildung injektiv bzw. surjektiv ist.


Aufgabe

Es seien und Vektorbündel über einem Schema und ein surjektiver Homomorphismus von Vektorbündeln. Zeige, dass der (punktweise genommene) Kern ein Vektorbündel über ist.


Aufgabe

Es seien und Vektorbündel über einem Schema . Zeige, dass die Garbe der Schnitte der direkten Summe gleich der direkten Summe der Garbe der Schnitte von und ist.


Aufgabe

Zeige, dass die Garbe der Schnitte zu dem Geradenbündel

aus Beispiel 16.4 die getwistete Strukturgarbe ist.


Aufgabe

Es seien und Schemata über einem Schema und sei ein Schemamorphismus über . Zeige, dass die zugehörige Abbildung der Garbe der Schnitte (in der Kategorie der Schemata) , die einem Schnitt den Schnitt zuordnet, ein Garbenmorphismus ist.


Aufgabe

Es sei ein Vektorbündelhomomorphismus zwischen den Vektorbündeln und über und sei

der zugehörigen Garbenmorphismus der Garbe der Schnitte. Zeige, dass ein -Modulhomomorphismus ist.


Aufgabe

Es seien und Vektorbündel über dem Schema und seien die zugehörigen Garben der Schnitte. Zeige, dass die Abbildung

die einem Vektorbündelhomomorphismus der zugehörigen -Modulhomomorphismus zuordnet, eine Bijektion ist. Zeige ferner, dass sich unter dieser Korrespondenz die Isomorphismen entsprechen.


Aufgabe

Es seien und Vektorbündel über einem Schema und und die zugehörigen lokal freien Garben der Schnitte. Es sei ein Homomorphismus von Vektorbündeln und der zugehörige Garbenhomomorphismus. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

  1. ist ein surjektiver Schemamorphismus.
  2. In jedem Punkt ist die Faserabbildung surjektiv.
  3. Der Homomorphismus ist surjektiv.
  4. Es gibt eine offene Überdeckung und lokale Schnitte (Vektorbündelhomomorphismen)

    zu .

  5. Es gibt eine offene Überdeckung und lokale Schnitte (Modulhomomorphismen)

    zu .



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