Kurs:Bündel, Garben und Kohomologie (Osnabrück 2019-2020)/Vorlesung 18/latex

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\setcounter{section}{18}






\zwischenueberschrift{Der Modul der Kähler-Differentiale}

Auf einer Mannigfaltigkeit $M$ gibt es das \definitionsverweis {Tangentialbündel}{}{} \maabb {} {TM} {M } {,} das zu einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P }
{ \in }{M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} aus dem \definitionsverweis {Tangentialraum}{}{}
\mathl{T_PM}{} besteht, der durch Äquivalenzklassen von differenzierbaren Kurven \maabbdisp {} {[- \epsilon, \epsilon]} { M } {} durch $P$ gegeben ist. Das Tangentialbündel ist ein reelles Vektorbündel auf $M$, das charakteristisch für die Mannigfaltigkeit ist und mit dessen Hilfe man viele Invarianten für die Mannigfaltigkeit definieren kann. Wir wollen ein entsprechendes Objekt für ein Schema \zusatzklammer {sagen wir vom endlichen Typ über einem Körper} {} {} definieren. Eine unmittelbare Übertragung des analytischen Konzeptes ist nicht möglich, da es keinen direkten Ersatz für die differenzierbaren Kurven gibt. Wir orientieren und daher an einem anderen Gesichtspunkt des Tangentialbündels. Einen \zusatzklammer {stetigen oder differenzierbaren} {} {} Schnitt im Tangentialbündel \zusatzklammer {über einer offenen Menge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U }
{ \subseteq }{M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{}} {} {} nennt man ein \zusatzklammer {stetiges oder differenzierbares} {} {} Vektorfeld. Ein Vektorfeld $F$ ordnet jedem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P }
{ \in }{U }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} einen Tangentialvektor
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F(P) }
{ = }{T_PM }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} zu. Man kann nun differenzierbare Funktionen auf $M$ entlang eines Vektorfeldes $F$ ableiten und erhält dabei wieder eine Funktion. Dazu setzt man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (D_F (f))(P) }
{ \defeq} { (D_{F(P)} f)(P) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} wobei die \definitionsverweis {Richtungsableitung}{}{}
\mathl{(D_{F(P)} f)(P)}{} von $f$ in Richtung $F(P)$ in $P$ bezeichnet. Diese Richtungsableitung kann man auf jeder Karte ausrechnen, das Ergebnis ist wegen der Kettenregel unabhängig von der gewählten Karte. Wenn $M$ unendlich oft differenzierbar ist, so ergibt dies eine Abbildung \maabbeledisp {D_F} {C^\infty(U,\R) } {C^\infty(U,\R) } {f} { D_F(f)} {.} Diese Abbildung ist eine $\R$-lineare Derivation im Sinne der folgenden rein algebraischen Definition. Wir werden aufbauend auf Derivationen den Modul der Kähler-Differentiale einführen und daraus dual ein Tangentialgarbe im schematheoretischen Kontext entwickeln, die ferner lokal frei ist, wenn das Schema keine Singularitäten besitzt. In dieser Vorlesung betrachten wir die affine Situation und verzichten auf Beweise.




\inputdefinition
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{,} $A$ eine kommutative $R$-\definitionsverweis {Algebra}{}{} und $M$ ein $A$-\definitionsverweis {Modul}{}{.} Dann heißt eine $R$-\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabbdisp {\delta} {A} {M } {} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \delta (ab) }
{ =} {a \delta (b) + b \delta (a) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für alle
\mathl{a,b \in A}{} eine \definitionswortpraemath {R}{ Derivation }{} \zusatzklammer {mit Werten in $M$} {} {.}

}

Die dabei verwendete Regel nennt man \stichwort {Leibniz-Regel} {.} Oft ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M }
{ = }{A }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Für den Polynomring
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{A }
{ = }{R[X_1 , \ldots , X_n] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} sind beispielsweise die $i$-ten \zusatzklammer {formalen} {} {} partiellen Ableitungen
\mathdisp {{ \frac{ \partial }{ \partial X_i } }} { }
$R$-Derivationen von $A$ nach $A$. Die Menge der Derivationen von $A$ nach $M$ ist in natürlicher Weise ein $A$-\definitionsverweis {Modul}{}{.} Er wird mit
\mathl{\operatorname{Der}_{ R } { \left( A , M \right) }}{} bezeichnet.




\inputdefinition
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und $A$ eine \definitionsverweis {kommutative}{}{} $R$-\definitionsverweis {Algebra}{}{.} Der von allen Symbolen
\mathbed {d(a)} {}
{a \in A} {}
{} {} {} {,} erzeugte $A$-\definitionsverweis {Modul}{}{,} modulo den Identifizierungen
\mathdisp {d(ab) =ad(b) + bd(a) \text{ für alle } a,b \in A} { }
und
\mathdisp {d (ra +sb)= rd(a) +sd(b) \text{ für alle } r,s \in R \text{ und } a,b \in A} { , }
heißt \definitionswort {Modul der Kähler-Differentiale}{} von $A$ über $R$. Er wird mit
\mathdisp {\Omega_{ A {{|}} R }} { }
bezeichnet.

}

Bei dieser Konstruktion startet man also mit dem freien $A$-Modul $F$ mit
\mathbed {da} {}
{a\in A} {}
{} {} {} {} als Basis und bildet den $A$-\definitionsverweis {Restklassenmodul}{}{} zu demjenigen Untermodul, der von den Elementen
\mathdisp {d(ab) - ad(b) - bd(a) \, (a,b \in A)} { }
und
\mathdisp {d (ra +sb) - rd(a) -sd(b)\, (r,s \in R \text{ und } a,b \in A )} { }
erzeugt wird. Die Abbildung \maabbeledisp {d} {A } {\Omega_{ A {{|}} R } } {a} {d(a) = da } {,} heißt die \stichwort {universelle Derivation} {.} Man prüft sofort nach, dass es sich um eine $R$-\definitionsverweis {Derivation}{}{} handelt. Die Elemente in
\mathl{\Omega_{ A {{|}} R }}{} heißen \zusatzklammer {algebraische} {} {} \stichwort {Differentialformen} {.}




\inputfaktbeweisnichtvorgefuehrt
{Kähler-Differentiale/Universelle Eigenschaft/Fakt}
{Lemma}
{}
{

\faktsituation {Sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und $A$ eine kommutative $R$-\definitionsverweis {Algebra}{}{.} Dann besitzt der $A$-\definitionsverweis {Modul}{}{}
\mathl{\Omega_{ A {{|}} R }}{} der \definitionsverweis {Kähler-Differentiale}{}{} die folgende universelle Eigenschaft.}
\faktfolgerung {Zu jedem $A$-Modul $M$ und jeder $R$-\definitionsverweis {Derivation}{}{} \maabbdisp {\delta} {A} {M } {} gibt es eine eindeutig bestimmte $A$-\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabbdisp {\epsilon} { \Omega_{ A {{|}} R } } {M } {} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon \circ d }
{ = }{ \delta }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

\teilbeweis {}{}{}
{Für jedes
\mathbed {da} {}
{a \in A} {}
{} {} {} {,} muss
\mathl{\epsilon (da) = \delta(a)}{} sein. Da die $da$ ein $A$-\definitionsverweis {Modul-Erzeugendensystem}{}{} von
\mathl{\Omega_{ A {{|}} R }}{} bilden, kann es maximal nur einen solchen Homomorphismus geben.}
{} \teilbeweis {}{}{}
{Sei $F$ der \definitionsverweis {freie Modul}{}{} zur \definitionsverweis {Basis}{}{}
\mathbed {da} {}
{a \in A} {}
{} {} {} {.} Die Zuordnung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \tilde{\epsilon} (da) }
{ = }{ \delta (a) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} legt nach dem Festlegungssatz einen $A$-\definitionsverweis {Modulhomomorphismus}{}{} \maabbdisp {\tilde{\epsilon}} {F} {M } {} fest. Es ist
\mathl{\Omega_{ A {{|}} R } =F/U}{,} wobei $U$ der von den Elementen \definitionsverweis {erzeugte Untermodul}{}{} ist, die die Leibnizregel und die Linearität ausdrücken. Da $\delta$ eine Derivation ist, wird $U$ unter $\tilde{\epsilon}$ auf $0$ abgebildet. Daher gibt es nach dem Homomorphiesatz eine eindeutige $A$-lineare Abbildung \maabbdisp {\epsilon} { \Omega_{ A {{|}} R } \cong F/U} {M } {} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \epsilon (da) }
{ =} { \tilde{\epsilon} (da) }
{ =} { \delta (a) }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}}
{}

}


Diese Aussage kann man auch so ausdrücken, dass eine natürliche $A$-\definitionsverweis {Modulisomorphie}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\operatorname{Der}_{ R } { \left( A , M \right) } }
{ \cong} { \operatorname{Hom}_{ A } { \left( \Omega_{ A {{|}} R } , M \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} vorliegt. Insbesondere ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\operatorname{Der}_{ R } { \left( A , A \right) } }
{ \cong} { \operatorname{Hom}_{ A } { \left( \Omega_{ A {{|}} R } , A \right) } }
{ =} { { \Omega_{ A {{|}} R } }^{ * } }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} wobei rechts der Dualmodul genommen wird.





\inputfaktbeweisnichtvorgefuehrt
{Kähler-Differentiale/Elementare Eigenschaften/Fakt}
{Lemma}
{}
{

\faktsituation {Sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{,} $A$ eine kommutative $R$-\definitionsverweis {Algebra}{}{} und
\mathl{\Omega_{ A {{|}} R }}{} der \definitionsverweis {Modul der Kähler-Differentiale}{}{.}}
\faktuebergang {Dann gelten folgende Eigenschaften.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungfuenf{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{dr }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r }
{ \in }{R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Man kann
\mathdisp {\Omega_{ A {{|}} R }} { }
als den Restklassenmodul des freien $A$-Moduls zur Basis
\mathbed {da} {}
{a \in A} {}
{} {} {} {,} modulo dem Untermodul, der von den Leibnizrelationen und von
\mathbed {dr} {}
{r \in R} {}
{} {} {} {,} erzeugt wird, beschreiben. }{Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{A }
{ = }{R[x_1 , \ldots , x_n] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist
\mathbed {dx_i} {}
{i = 1 , \ldots , n} {}
{} {} {} {,} ein $A$-\definitionsverweis {Modulerzeugendensystem}{}{} von
\mathl{\Omega_{ A {{|}} R }}{.} }{Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{A }
{ = }{R[x_1 , \ldots , x_n] }
{ = }{R[X_1 , \ldots , X_n]/ {\mathfrak a} }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Für ein Polynom
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F }
{ \in }{R[X_1 , \ldots , X_n] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und das zugehörige Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f }
{ = }{F { \left( x_1 , \ldots , x_n \right) } }
{ \in }{A }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gilt in
\mathl{\Omega_{ A {{|}} R }}{} die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{df }
{ =} { { \frac{ \partial F }{ \partial x_1 } } (x_1 , \ldots , x_n) dx_1 + \cdots + { \frac{ \partial F }{ \partial x_n } } (x_1 , \ldots , x_n) dx_n }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} wobei
\mathl{{ \frac{ \partial F }{ \partial x_i } }}{} die $i$-te \definitionsverweis {partielle Derivation}{}{} bezeichnet. }{Zu einem kommutativen Diagramm
\mathdisp {\begin{matrix} R & \stackrel{ }{\longrightarrow} & S & \\ \downarrow & & \downarrow & \\ A & \stackrel{ \varphi }{\longrightarrow} & B & \!\!\!\!\! , \\ \end{matrix}} { }
wobei die Pfeile \definitionsverweis {Ringhomomorphismen}{}{} repräsentieren, gibt es eine eindeutig bestimmte $A$-\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabbeledisp {} { \Omega_{ A {{|}} R } } { \Omega_{ B {{|}} S } } {da} { d \varphi(a) } {.} }}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

\aufzaehlungfuenf{Sei $r \in R$. Wegen der $R$-Linearität ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d(r1) }
{ = }{ r d(1) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Wegen der Produktregel ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ d (1) }
{ =} { d (1 \cdot 1) }
{ =} { 1 d (1) + 1 d (1) }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} so dass durch Subtraktion
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{d (1) }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} folgt. }{Wir zeigen, dass der in Frage stehende Untermodul $V$ mit dem Untermodul $U$ übereinstimmt, der von allen Leibnizrelationen und von den Linearitätsrelationen erzeugt wird. Nach Teil (1) ist die Inklusion
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V }
{ \subseteq }{U }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} klar. Für
\mathl{a,b \in A}{} und
\mathl{r,s \in R}{} gilt modulo $V$ die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{d(ra+sb) }
{ =} {d (ra) +d(sb) }
{ =} { rda +adr + sdb +bds }
{ =} { rda +sdb }
{ } { }
} {}{}{,} so dass also auch die Linearitätsrelationen zu $V$ gehören. }{Dies folgt aus der Linearität und der Leibnizregel. }{Beide Seiten sind $R$-linear, so dass es genügt, die Aussage für Monome zu zeigen. Für Monome beweist man die Aussage durch Induktion über den Gesamtgrad des Monoms. }{Da $B$ über \maabb {\varphi} {A} {B } {} eine $A$-Algebra ist, ist auch
\mathl{\Omega_{ B {{|}} S }}{} ein $A$-Modul. Die Verknüpfung
\mathdisp {A \stackrel{\varphi}{\longrightarrow} B \stackrel{d}{\longrightarrow} \Omega_{ B {{|}} S }} { }
ist eine $R$-\definitionsverweis {Derivation}{}{,} wie man unmittelbar nachrechnet. Aufgrund der universellen Eigenschaft von
\mathl{\Omega_{ A {{|}} R }}{} gibt es eine eindeutig bestimmte $A$-\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabbdisp {\tilde{\varphi}} {\Omega_{ A {{|}} R } } {\Omega_{ B {{|}} S } } {} mit
\mathl{d \varphi(a) = \tilde{\varphi} (da)}{.} }

}





\inputfaktbeweisnichtvorgefuehrt
{Polynomring/Kählermodul und Derivation/Beschreibung/Fakt}
{Lemma}
{}
{

\faktsituation {Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{A }
{ = }{ R[X_1 , \ldots , X_n] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} in $n$ Variablen über $R$.}
\faktfolgerung {Dann ist der \definitionsverweis {Modul der Kähler-Differentiale}{}{} der \definitionsverweis {freie}{}{} $A$-\definitionsverweis {Modul}{}{} zur \definitionsverweis {Basis}{}{}
\mathdisp {dX_1,dX_2 , \ldots , dX_n} { . }
}
\faktzusatz {Die universelle Derivation ist bezüglich dieser Basis durch \maabbeledisp {} {A} { AdX_1 \oplus \cdots \oplus AdX_n } {F} {dF = { \frac{ \partial F }{ \partial X_1 } } dX_1 + \cdots + { \frac{ \partial F }{ \partial X_n } } dX_n } {,} gegeben.}
\faktzusatz {}

}
{

Es sei $G$ der von den Symbolen $dX_i$ erzeugte freie $A$-\definitionsverweis {Modul}{}{.} Die \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {G} { \Omega_{ A {{|}} R } } {,} die das Basiselement
\mathl{dX_i}{} auf das Differential $dX_i$ schickt, ist nach Lemma 18.4  (3) \definitionsverweis {surjektiv}{}{.} Die $i$-te \definitionsverweis {partielle Ableitung}{}{} \maabbeledisp {{ \frac{ \partial }{ \partial X_i } }} {A} {A } {F} {{ \frac{ \partial F }{ \partial X_i } } } {,} ist eine $R$-\definitionsverweis {Derivation}{}{,} so dass es aufgrund der universellen Eigenschaft des Moduls der Differentialformen eine $A$-\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabbdisp {p_i} { \Omega_{ A {{|}} R } } {A } {} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ p_i \circ d }
{ = }{ { \frac{ \partial }{ \partial X_i } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gibt. Dabei ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ p_i(dX_i) }
{ = }{ 1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ p_i(dX_j) }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{j }
{ \neq }{i }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Diese Abbildungen ergeben zusammen eine $A$-lineare Abbildung \maabbdisp {p = p_1 \times \cdots \times p_n} {\Omega_{ A {{|}} R }} {A^n \cong G } {,} für die
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ p \circ \varphi }
{ = }{ \operatorname{Id}_{ G } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gilt. Daher ist $\varphi$ auch \definitionsverweis {injektiv}{}{.}

}


Im Allgemeinen ist der Modul der Kähler-Differentiale nicht frei.


\inputfaktbeweis
{Kähler-Differentiale/Nenneraufnahme/Fakt}
{Lemma}
{}
{

\faktsituation {Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{,} $A$ eine kommutative $R$-\definitionsverweis {Algebra}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S }
{ \subseteq }{A }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {multiplikatives System}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Omega_{ A_S {{|}} R } }
{ \cong} { { \left( \Omega_{ A {{|}} R } \right) } _S }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{ Siehe Aufgabe 18.19. }





\inputfaktbeweisnichtvorgefuehrt
{Kähler-Differentiale/Relative Differentialsequenz/Fakt}
{Lemma}
{}
{

\faktsituation {Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und es seien \mathkor {} {A} {und} {B} {} kommutative $R$-\definitionsverweis {Algebren}{}{} und \maabbdisp {\varphi} {A} {B } {} ein $R$-\definitionsverweis {Algebrahomomorphismus}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist die Sequenz
\mathdisp {\Omega_{ A {{|}} R } \otimes_{ A } B \longrightarrow \Omega_{ B {{|}} R } \longrightarrow \Omega_{ B {{|}} A } \longrightarrow 0} { }
von $B$-Moduln \definitionsverweis {exakt}{}{.}}
\faktzusatz {Dabei geht
\mathl{da \otimes b}{} auf
\mathl{b d \varphi(a)}{} und $db$ \zusatzklammer {in $\Omega_{ B {{|}} R }$} {} {} auf $db$ \zusatzklammer {in $\Omega_{ B {{|}} A }$} {} {.}}
\faktzusatz {}

}
{

Die Surjektivität rechts ist klar. Zur Exaktheit an der zweiten Stelle verwenden wir die Beschreibung aus Lemma 18.4  (2). Die beiden Moduln \mathkor {} {\Omega_{ B {{|}} A }} {und} {\Omega_{ B {{|}} R }} {} besitzen das gleiche Erzeugendensystem und auch die Leibnizrelationen sind für beide gleich. Der Modul
\mathl{\Omega_{ B {{|}} A }}{} ergibt sich aus $\Omega_{ B {{|}} R }$ gerade dadurch, dass man den von den
\mathbed {da} {}
{a \in A} {}
{} {} {} {,} erzeugten $B$-Untermodul zu $0$ macht. Dieser Untermodul ist genau das Bild der Abbildung links.

}







\zwischenueberschrift{Kähler-Differentiale und Jacobi-Matrix}





\inputfaktbeweisnichtvorgefuehrt
{Kähler-Differentiale/Konormalensequenz/Fakt}
{Lemma}
{}
{

\faktsituation {Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{,} es sei $A$ eine kommutative $R$-\definitionsverweis {Algebra}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I }
{ \subseteq }{A }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Ideal}{}{} mit dem \definitionsverweis {Restklassenring}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{B }
{ = }{ A/I }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist die Sequenz
\mathdisp {I/I^2 \longrightarrow \Omega_{ A {{|}} R } \otimes_{ A } B \longrightarrow \Omega_{ B {{|}} R } \longrightarrow 0} { }
von $B$-Moduln \definitionsverweis {exakt}{}{.}}
\faktzusatz {Dabei geht
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ \in }{I }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} auf
\mathl{da \otimes 1}{} und $da \otimes b$ auf $b da$.}
\faktzusatz {}

}
{

Die $R$-lineare Abbildung \maabbeledisp {} {A} { \Omega_{ A {{|}} R } } {a} {da } {,} kann man auf das Ideal
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I }
{ \subseteq }{A }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} einschränken. Durch Tensorieren mit
\mathl{A/I}{} erhält man unter Verwendung von Fakt *****  (2) die $A/I$-lineare Abbildung \maabbdisp {} {I/I^2 \cong I \otimes_{ A } A/I} { \Omega_{ A {{|}} R } \otimes_{ A } A/I } {.}

Die Surjektivität der Abbildung rechts ist klar, da der $B$-\definitionsverweis {Modul}{}{}
\mathl{\Omega_{B {{|}} R}}{} von den
\mathbed {db} {}
{b \in B} {}
{} {} {} {,} \definitionsverweis {erzeugt}{}{} wird und diese von
\mathbed {da} {}
{a \in A} {}
{} {} {} {} herrühren. Ein Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ \in }{ I }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} geht auf $da$ und damit auf $0$ in
\mathl{\Omega_{B {{|}} R}}{,} da das Element $a$ in $B$ selbst $0$ wird.

Es sei nun
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \omega }
{ \in} { \Omega_{ A {{|}} R } \otimes_{ A } B }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ein Element, das in
\mathl{\Omega_{ B {{|}} R }}{} auf $0$ abbildet. Wir können
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \omega }
{ =} { \sum_{i = 1}^n da_i \otimes b_i }
{ =} { \sum_{i = 1}^n da_i \otimes \overline{c}_i }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a_i,c_i }
{ \in }{A }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} schreiben. Da es auf $0$ in
\mathl{\Omega_{B {{|}} R}}{} abbildet, gilt in dem von den Symbolden
\mathbed {db} {}
{b \in B} {}
{} {} {} {,} erzeugten \definitionsverweis {freien}{}{} $B$-\definitionsverweis {Modul}{}{} die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{i = 1}^n c_i da_i }
{ =} { \sum_{j = 1}^m h_j \omega_j }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} wobei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{h_j }
{ \in }{B }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und die $\omega_j$ Erzeuger der Relationen für den Modul der Kähler-Differentiale ist, also gleich
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ dfg }
{ = }{ fdg+ gdf }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f,g }
{ \in }{B }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} oder gleich
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d(rf+sg ) }
{ = }{rdf+ sdg }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r,s }
{ \in }{R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f,g }
{ \in }{B }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist. Der angesprochene freie $B$-Modul entsteht aus dem durch die
\mathbed {da} {}
{a \in A} {}
{} {} {} {,} erzeugten freien $A$-Modul einfach dadurch, dass man die Koeffizienten aus $I$ und die $dI$ zu $0$ macht. Somit gilt in diesem freien $A$-Modul
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{i = 1}^n c_i da_i - \sum_{j = 1}^m h_j \omega_j }
{ =} { \sum_{k = 1}^\ell m_k dn_k + du }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{m_k }
{ \in }{I }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n_k }
{ \in }{B }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{u }
{ \in }{I }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} In
\mathl{\Omega_{A {{|}} R} \otimes_{ R } B}{} wird
\mathl{\sum_{k = 1}^\ell m_k dn_k}{} wegen der Tensorierung zu $0$ und daher gilt dort in der Tat
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{i = 1}^n c_i da_i }
{ =} {du }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}





\inputfaktbeweisnichtvorgefuehrt
{Kähler-Differentiale/Von endlichem Typ/Restklassendarstellung/Fakt}
{Korollar}
{}
{

\faktsituation {Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und es sei $A$ eine kommutative \definitionsverweis {endlich erzeugte}{}{} $R$-\definitionsverweis {Algebra}{}{,} die als
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{A }
{ =} {R[X_1 , \ldots , X_n]/(F_1 , \ldots , F_k) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gegeben sei.}
\faktfolgerung {Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Omega_{ A {{|}} R } }
{ =} { \bigoplus_{i = 1}^n AdX_i /( dF_1 , \ldots , dF_k ) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Dies folgt aus Lemma 18.5 und Lemma 18.8.

}







\inputbemerkung
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und es sei $A$ eine kommutative \definitionsverweis {endlich erzeugte}{}{} $R$-\definitionsverweis {Algebra}{}{,} die als
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{A }
{ = }{R[X_1 , \ldots , X_n]/(F_1 , \ldots , F_k) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gegeben sei. Dann ist nach Lemma 18.4  (4)
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{d F_j }
{ =} { { \frac{ \partial F_j }{ \partial X_1 } } dX_1 + \cdots + { \frac{ \partial F_j }{ \partial X_n } } dX_n }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und nach Korollar 18.9 gibt es eine \definitionsverweis {exakte Sequenz}{}{}
\mathdisp {A^k \stackrel{M}{\longrightarrow} A^n \longrightarrow \Omega_{ A {{|}} R } \longrightarrow 0} { , }
wobei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M }
{ =} { \begin{pmatrix} { \frac{ \partial F_1 }{ \partial X_1 } } & \ldots & { \frac{ \partial F_{k} }{ \partial X_1 } } \\ \vdots & \ddots & \vdots \\{ \frac{ \partial F_1 }{ \partial X_n } } & \ldots & { \frac{ \partial F_{k} }{ \partial X_n } } \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die transponierte \definitionsverweis {Jacobi-Matrix}{}{} \zusatzklammer {ohne Auswertung an einem Punkt} {} {} ist. Die Standardvektoren $e_j$ werden auf
\mathl{dX_j}{} abgebildet und die Spaltenvektoren
\mathl{\begin{pmatrix} { \frac{ \partial F_j }{ \partial X_1 } } \\ \vdots\\ { \frac{ \partial F_j }{ \partial X_n } } \end{pmatrix}}{,} die die Nullelemente
\mathl{dF_j}{} repräsentieren, sind die Bilder der durch die Matrix gegebenen Abbildung.

}






\zwischenueberschrift{Glattheit und Regularität}




\inputdefinition
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{} und seien
\mathl{F_1 , \ldots , F_s \in K[X_1 , \ldots , X_n]}{} Polynome mit der zugehörigen \definitionsverweis {affin-algebraischen Menge}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{Y }
{ =} {V(F_1 , \ldots , F_s) }
{ \subseteq} { { {\mathbb A}_{ K }^{ n } } }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P }
{ \in }{Y }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein Punkt von $Y$ mit der Eigenschaft, dass $Y$ im Punkt $P$ die \definitionsverweis {Dimension}{}{} $d$ besitze. Dann heißt $P$ ein \definitionswort {glatter Punkt}{} von $Y$, wenn der \definitionsverweis {Rang}{}{} der Matrix
\mathdisp {{ \left( { \frac{ \partial F_i }{ \partial X_j } } \right) }_{i,j}} { }
im Punkt $P$ mindestens
\mathl{n-d}{} ist. Andernfalls heißt der Punkt \definitionswort {singulär}{.}

}

Zu einer $K$-\definitionsverweis {Algebra}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{A }
{ =} { K[X_1 , \ldots , X_n ]/(f_1 , \ldots , f_m) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P }
{ = }{(a_1 , \ldots , a_n) }
{ \in }{V }
{ = }{ V(f_1 , \ldots , f_m) }
{ }{ }
} {}{}{} mit zugehörigem maximalen Ideal
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{{\mathfrak m}_P }
{ \subseteq }{A }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und Lokalisierung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R }
{ =} {A_{ {\mathfrak m}_P} }
{ =} { {\mathcal O}_{V,P} }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Omega_{R {{|}} K} }
{ =} { \Omega_{A {{|}} K} \otimes_{ A } R }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} und die Tensorierung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Omega_{R {{|}} K} \otimes_{ R } K }
{ =} { \Omega_{A {{|}} K} \otimes_{ A } K }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} zur Restekörperauswertung
\mathdisp {A \longrightarrow A_{\mathfrak m} \longrightarrow A_{\mathfrak m}/ {\mathfrak m}A_{\mathfrak m} =K} { }
spielt eine besondere Rolle. Es ergibt sich ein direkter Zusammenhang zum Dualraum des \definitionsverweis {extrinsischen Tangentialraumes}{}{} von $V$ an $P$. Das bedeutet, dass
\mathl{\Omega_{R {{|}} K} \otimes_{ R } K}{} in natürlicher Weise der \definitionsverweis {Kotangentialraum}{}{} im Punkt $P$ ist.





\inputfaktbeweisnichtvorgefuehrt
{Kähler-Differentiale/Gleichungen/Extrinsischer Kotangentialraum/Fakt}
{Lemma}
{}
{

\faktsituation {Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{A }
{ =} { K[X_1 , \ldots , X_n ]/(f_1 , \ldots , f_m) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {endlich erzeugte}{}{} $K$-\definitionsverweis {Algebra}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P }
{ = }{(a_1 , \ldots , a_n) }
{ \in }{V }
{ = }{ V(f_1 , \ldots , f_m) }
{ }{ }
} {}{}{} ein Punkt des zugehörigen Nullstellengebildes mit zugehörigem maximalen Ideal
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{{\mathfrak m}_P }
{ \subseteq }{A }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und \definitionsverweis {Lokalisierung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R }
{ =} {A_{\mathfrak m} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist der \definitionsverweis {Tangentialraum}{}{} zu $V$ in $P$ in kanonischer Weise der \definitionsverweis {duale Vektorraum}{}{} zu
\mathl{\Omega_{R {{|}} K} \otimes_{ R } K}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Nach Bemerkung 17.10 gibt es eine \definitionsverweis {exakte Sequenz}{}{}
\mathdisp {A^m \stackrel{M}{\longrightarrow} A^n \longrightarrow \Omega_{ A {{|}} K } \longrightarrow 0} { , }
wobei
\mathl{M}{} die \definitionsverweis {transponierte}{}{} \definitionsverweis {Jacobi-Matrix}{}{} zu den $f_i$ ist. Wir tensorieren mit dem Restekörper $K$ und erhalten eine exakte Sequenz
\mathdisp {K^m \stackrel{M(P)}{\longrightarrow} K^n \longrightarrow \Omega_{ A {{|}} K } \otimes_{ A } K \longrightarrow 0} { }
von endlichdimensionalen $K$-\definitionsverweis {Vektorräumen}{}{.} Die \definitionsverweis {duale Sequenz}{}{} dazu ist
\mathdisp {0 \longrightarrow { \left( \Omega_{ A {{|}} K } \otimes_{ A } K \right) }^{ * } \longrightarrow K^n \stackrel{ \operatorname{Jac} (P)}{\longrightarrow} K^m} { }
und ebenfalls exakt. Nach Definition ***** ist aber der Kern der Jacobi-Matrix im Punkt $P$ der Tangentialraum an $V$ in $P$.

}





\inputdefinition
{}
{

Ein \definitionsverweis {noetherscher}{}{} \definitionsverweis {lokaler Ring}{}{}
\mathl{(R, {\mathfrak m} )}{} der \definitionsverweis {Dimension}{}{} $n$ heißt \definitionswort {regulär}{,} wenn es $n$ Elemente
\mathl{f_1 , \ldots , f_n \in {\mathfrak m}}{} gibt, die das \definitionsverweis {maximale Ideal}{}{} ${\mathfrak m}$ \definitionsverweis {erzeugen}{}{.}

}





\inputfaktbeweisnichtvorgefuehrt
{Kähler-Differentiale/Lokaler Ring/Kotangentialraum/Fakt}
{Lemma}
{}
{

\faktsituation {Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und $R$ eine \definitionsverweis {lokale}{}{} \definitionsverweis {kommutative}{}{} $K$-\definitionsverweis {Algebra}{}{} und es sei die Gesamtabbildung
\mathdisp {K \longrightarrow R \longrightarrow R/ {\mathfrak m}} { }
ein \definitionsverweis {Isomorphismus}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist die Abbildung \maabbeledisp {} { {\mathfrak m}/ {\mathfrak m}^2 } { \Omega_{R {{|}} K} \otimes_{ R } R/ {\mathfrak m} } { [f]} { df \otimes 1 } {,} ein $R/ {\mathfrak m}$-\definitionsverweis {Modulisomorphismus}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Nach Lemma 18.8 liegt eine exakte Sequenz
\mathdisp {{\mathfrak m}/ {\mathfrak m}^2 \longrightarrow \Omega_{R {{|}} K} \otimes_{ R } R/ {\mathfrak m} \longrightarrow \Omega_{ R/ {\mathfrak m} {{|}} K} \longrightarrow 0} { }
von $R/ {\mathfrak m}$-\definitionsverweis {Modulhomomorphismen}{}{} vor. Nach Voraussetzung ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R/ {\mathfrak m} }
{ = }{K }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und daher
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Omega_{ R/ {\mathfrak m} {{|}} K} }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Somit ist die angegebene Abbildung surjektiv. Zum Nachweis der Injektivität betrachten wir die $R/ {\mathfrak m}$-\definitionsverweis {duale Abbildung}{}{,} also die Abbildung \maabbeledisp {} { \operatorname{Hom}_{ R/ {\mathfrak m} } { \left( \Omega_{R {{|}} K} \otimes_{ R } R/ {\mathfrak m} , R/ {\mathfrak m} \right) } } { \operatorname{Hom}_{ R/ {\mathfrak m} } { \left( {\mathfrak m}/ {\mathfrak m}^2 , R/ {\mathfrak m} \right) } } {\varphi} { \varphi \circ d } {,} und müssen zeigen, dass diese surjektiv ist \zusatzklammer {es geht um Vektorräume} {} {.}

Der linke Homomorphismenmodul ist nach Fakt ***** und Lemma 18.3 isomorph zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Hom}_{ R } { \left( \Omega_{R {{|}} K} , R/ {\mathfrak m} \right) } }
{ \cong} { \operatorname{Der}_{ K } { \left( R , R/ {\mathfrak m} \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Die Gesamtabbildung ordnet einer $K$-Derivation \maabb {\delta} {R} { R /{\mathfrak m} } {} die Abbildung \maabbeledisp {} { {\mathfrak m} / {\mathfrak m}^2 } { R/ {\mathfrak m} } {[f]} { \delta(f) } {,} zu. Es sei nun \maabbeledisp {} { {\mathfrak m} / {\mathfrak m}^2 } { R/ {\mathfrak m} } {[f]} { \epsilon (f) } {,} ein $R/ {\mathfrak m}$-Modulhomomorphismus. Wir müssen zeigen, dass dies von einer Derivation herkommt. Dazu betrachten wir die Abbildung \maabbeledisp {\delta} {R} { R / {\mathfrak m} } {f} { \epsilon (f- \overline{f}) } {,} wobei $\overline{f}$ den Wert von $f$ im Restklassenkörper $R/ {\mathfrak m}$ bezeichnet, den man über die Identifizierung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K }
{ = }{R/{\mathfrak m} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} wieder in $R$ auffasst. Somit gehört
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f- \overline{f} }
{ \in }{ {\mathfrak m} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und die Abbildung ist wohldefiniert. Eine direkte Verifizierung ähnlich zum Beweis zu Fakt ***** zeigt, dass es sich um eine Derivation handelt. Diese bildet auf $\epsilon$ ab.

}


Ohne die Voraussetzung, dass die natürliche Abbildung zwischen dem Grundkörper und dem Restklassenkörper ein Isomorphismus ist, gilt diese Aussage nicht, siehe Aufgabe 18.23.






\inputbemerkung
{}
{

In der Situation von Lemma 18.12 kann man direkt eine Beziehung zwischen dem \zusatzklammer {extrinsischen} {} {} Tangentialraum, der als Kern der Jacobi-Matrix gegeben ist, und dem Dualraum zu
\mathl{{\mathfrak m}_P/{\mathfrak m}_P^2}{} stiften. Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ v }
{ =} { \begin{pmatrix} v_1 \\\vdots\\ v_n \end{pmatrix} }
{ \in} {T_PV }
{ =} { \operatorname{kern} \left( \operatorname{Jak}(f_1 , \ldots , f_m )_P \right) }
{ } { }
} {}{}{.} Dies definiert eine Abbildung \maabbeledisp {} { {\mathfrak m}_P } { K } {g} { (dg)_P \begin{pmatrix} v_1 \\\vdots\\ v_n \end{pmatrix} = v_1 \partial_1 g (P) + \cdots + v_n \partial_n g(P) } {,} dabei wird, in analytischer Sprache, einer Funktion $g$ die Auswertung in $P$ ihrer \definitionsverweis {Richtungsableitung}{}{} in Richtung $v$ zugeordnet. Die Kernbedingung stellt dabei sicher, dass Funktionen aus dem Ideal
\mathl{(f_1 , \ldots , f_m)}{} auf $0$ abgebildet werden und die Abbildung auf dem maximalen Ideal des Restklassenringes wohldefiniert ist. Nach der Produktregel wird dabei
\mathl{{\mathfrak m}_P^2}{} auf $0$ abgebildet und es ergibt sich eine $K$-\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabbdisp {} {{\mathfrak m}_P/{\mathfrak m}_P^2} { K } {.}

}





\inputfaktbeweisnichtvorgefuehrt
{Affine Varietät/Punkt/Jacobi-Matrix und regulär/Fakt}
{Satz}
{}
{

\faktsituation {Es sei $K$ ein \definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ P }
{ \in} {V ( {\mathfrak a} ) }
{ \subseteq} { { {\mathbb A}_{ K }^{ n } } }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ein Punkt der \definitionsverweis {affin-algebraischen Menge}{}{} zum Ideal
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a} }
{ = }{ (f_1 , \ldots , f_m) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit dem lokalen Ring
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ R }
{ =} { (K[X_1 , \ldots , X_n]/{\mathfrak a})_{ {\mathfrak m}_P} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist der Punkt genau dann \definitionsverweis {glatt}{}{,} wenn $R$ \definitionsverweis {regulär}{}{} ist.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Ohne Einschränkung sei $P$ der Nullpunkt mit dem zugehörigen maximalen Ideal
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak n} }
{ = }{ (X_1 , \ldots , X_n) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} im Polynomring, dem zugehörigen maximalen Ideal
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak r} }
{ = }{ {\mathfrak n}/{\mathfrak a} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} in
\mathl{K[ X_1 , \ldots , X_n]/ {\mathfrak a}}{} und dem zugehörigen maximalen Ideal
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak m} }
{ = }{ {\mathfrak m}_P }
{ = }{ {\mathfrak r} ( K[ X_1 , \ldots , X_n]/ {\mathfrak a} )_{\mathfrak r} }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} in $R$. Wir betrachten die $K$-\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabbeledisp {} { K[X_1 , \ldots , X_n ] } { K^n } {g} { ((\partial_1 g) (P) , \ldots , (\partial_n g) (P)) } {.} Dabei werden die Variablen $X_i$ auf die Standardvektoren $e_i$ abgebildet und die Abbildung ist surjektiv. Ein Element
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{g }
{ =} {c_0 +c_1X_1 + \cdots + c_nX_n + \text{ höhere Terme} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} wird auf
\mathl{\left( c_1 , \, \ldots , \, c_n \right)}{} abgebildet. Ein homogenes Element
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{g }
{ \in} {{\mathfrak n}^2 }
{ =} { K[X_1 , \ldots , X_n ]_{\geq 2} }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} besitzt zumindest den Grad $2$ und wird daher auf $0$ abgebildet, da die partiellen Ableitungen den Grad um $1$ reduzieren und somit ergibt sich jeweils ein Element von positivem Grad. Durch Einsetzen des Nullpunktes ergibt sich dann $0$. Insgesamt induziert dies eine $K$-lineare Abbildung \maabbdisp {} { {\mathfrak n} / {\mathfrak n}^2 } {K^n } {,} die bijektiv ist, da die Räume die gleiche Vektorraumdimension besitzen.

Nach Fakt ***** ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak r} / {\mathfrak r}^2 }
{ \cong }{ {\mathfrak m} / {\mathfrak m}^2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Unter der surjektiven Abbildung
\mathdisp {{\mathfrak n} \longrightarrow {\mathfrak r} \longrightarrow {\mathfrak r}/{\mathfrak r}^2} { }
wird ${\mathfrak n}^2$ und ${\mathfrak a}$ auf $0$ abgebildet, und zwar ist der Kern genau
\mathl{{\mathfrak n}^2 + {\mathfrak a}}{.} Somit gibt es eine $K$-lineare Bijektion \maabbdisp {} { {\mathfrak n}/ ( {\mathfrak n}^2 + {\mathfrak a} ) } {{\mathfrak r}/{\mathfrak r}^2 } {.} Wir betrachten die Abbildungen
\mathdisp {K^m \stackrel{\operatorname{Jak} }{\longrightarrow} K^n \cong {\mathfrak n}/{\mathfrak n}^2 \longrightarrow {\mathfrak n}/ { \left( {\mathfrak n}^2+ {\mathfrak a} \right) }} { . }
Ein Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ [g] }
{ \in }{ {\mathfrak n}/{\mathfrak n}^2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} wird rechts genau dann auf $0$ geschickt, wenn der lineare Anteil von $g$ zu ${\mathfrak n}^2+ {\mathfrak a}$ gehört. Dies bedeutet, dass eine Gleichung der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ g }
{ =} { \sum_{i= 1}^m h_i f_i }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} modulo ${\mathfrak n}^2$ besteht und dies bedeutet \zusatzklammer {für die $h_i$ ist nur der konstante Term relevant} {} {,} dass eine lineare Gleichung der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} ( \partial_1 g) (P) \\ \vdots \\ (\partial_n g) (P) \end{pmatrix} }
{ =} { \sum_{i= 1}^m h_i \begin{pmatrix} ( \partial_1 f_i) (P) \\ \vdots \\ (\partial_n f_i) (P) \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} Dies ist genau dann der Fall, wenn
\mathl{\begin{pmatrix} ( \partial_1 g) (P) \\ \vdots \\ (\partial_n g) (P) \end{pmatrix}}{} im Bild der Jacobimatrix liegt. Daher ist das Bild der Jacobimatrix gleich dem Kern der surjektiven Abbildung rechts. Somit ist nach der Dimensionsformel
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{n }
{ =} { \operatorname{rang} \, (\operatorname{Jak}) + \dim_{ K } { \left( {\mathfrak n}/ { \left( {\mathfrak n}^2 + {\mathfrak a} \right) } \right) } }
{ =} { \operatorname{rang} \, (\operatorname{Jak}) + \dim_{ K } { \left( {\mathfrak m}/{\mathfrak m}^2 \right) } }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Es sei nun $d$ die Dimension von $V( {\mathfrak a} )$ im Punkt $P$, die mit der Dimension des lokalen Ringes $R$ übereinstimmt. Nach Definition ist $P$ genau dann nichtsingulär, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ = }{ \operatorname{rang} \, (\operatorname{Jak}) + d }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist. Dies ist daher genau dann der Fall, wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \dim_{ K } { \left( {\mathfrak m}/{\mathfrak m}^2 \right) } }
{ =} { d }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist, und dies ist die Definition eines regulären Ringes.

}





\inputfaktbeweisnichtvorgefuehrt
{Lokaler Ring/Restkörperbedingung/Regulär und Freier Kählermodul/Fakt}
{Satz}
{}
{

\faktsituation {Es sei $K$ ein \definitionsverweis {vollkommener Körper}{}{} und $R$ die \definitionsverweis {Lokalisierung}{}{} einer \definitionsverweis {endlich erzeugten}{}{} $K$-\definitionsverweis {Algebra}{}{.} Der \definitionsverweis {Restklassenkörper}{}{}
\mathl{R/ {\mathfrak m}}{} sei \definitionsverweis {isomorph}{}{} zu $K$.}
\faktfolgerung {Dann ist $R$ genau dann \definitionsverweis {regulär}{}{,} wenn der \definitionsverweis {Modul der Kähler-Differentiale}{}{} \definitionsverweis {frei}{}{} ist und sein \definitionsverweis {Rang}{}{} mit der \definitionsverweis {Dimension}{}{} des Ringes übereinstimmt.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Wir verwenden Lemma 18.14, also den natürlichen $R/ {\mathfrak m}$-\definitionsverweis {Isomorphismus}{}{} \maabbeledisp {} { {\mathfrak m}/{\mathfrak m}^2 } { \Omega_{ R {{|}} K } \otimes_{ R } R/ {\mathfrak m} } {[f]} { df \otimes 1 } {.} Wenn $\Omega_{R {{|}} K}$ ein freier $R$-Modul und sein Rang gleich der Dimension $d$ ist, so gilt dies auch für den $R/ {\mathfrak m}$-Modul
\mathl{\Omega_{ R {{|}} K } \otimes_{ R } R/ {\mathfrak m}}{} und dann ist insbesondere
\mathl{{\mathfrak m}/ {\mathfrak m}^2}{} ein $d$-dimensionaler $R/ {\mathfrak m}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Dies bedeutet nach Definition, dass $R$ \definitionsverweis {regulär}{}{} ist. Umgekehrt folgt aus der Regularität, dass
\mathl{{\mathfrak m}/ {\mathfrak m}^2}{} und entsprechend
\mathl{\Omega_{ R {{|}} K } \otimes_{ R } R/ {\mathfrak m}}{} ein $d$-dimensionaler Vektorraum ist, und nach dem Lemma von Nakayama, dass $\Omega_{ R {{|}} K }$ als $R$-Modul von $d$ Elementen erzeugt wird. Nach Satz 21.5 (Singularitätentheorie (Osnabrück 2019)) ist $R$ ein \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{,} sei
\mathl{Q(R)}{} sein \definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{.} Nach Satz 19.7 (Singularitätentheorie (Osnabrück 2019)) ist der \definitionsverweis {Transzendenzgrad}{}{} von $Q(R)$ über $K$ gleich der Dimension von $R$. Da der Modul der Kähler-Differentiale mit \definitionsverweis {Nenneraufnahmen}{}{} verträglich ist, gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Omega_{ R {{|}} K } \otimes_{ R } Q(R) }
{ =} { \Omega_{ Q(R) {{|}} K } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Da $K$ vollkommen ist, ist die \definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K }
{ \subseteq }{Q(R) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} nach Fakt ***** \zusatzklammer {nicht endlich, aber} {} {} \definitionsverweis {separabel}{}{.} Damit ist
\mathl{\Omega_{ Q(R) {{|}} K }}{} ein freier $Q(R)$-Modul, dessen Rang gleich dem Transzendenzgrad ist. Zusammenfassend besitzt also der $R$-Modul
\mathl{\Omega_{ Q(R) {{|}} K }}{} die Eigenschaft, dass er von $d$ Elementen
\mathl{\omega_1 , \ldots , \omega_d}{} erzeugt wird und dass die Tensorierung mit $Q(R)$ ein $Q(R)$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} der Dimension $d$ ist. Somit müssen die
\mathl{\omega_1 , \ldots , \omega_d}{} $R$-\definitionsverweis {linear unabhängig}{}{} sein, da sie dies über $Q(R)$ sind, und daher handelt es sich um eine \definitionsverweis {Basis}{}{.} Also ist $\Omega_{ R {{|}} K }$ frei vom Rang $d$.

}


Ohne die Voraussetzung, dass der Grundkörper vollkommen ist, ist diese Aussageb nicht richtig, siehe Aufgabe 18.24.





\inputfaktbeweisnichtvorgefuehrt
{Varietät/Glatt/Kählermodul/Lokal frei/Fakt}
{Korollar}
{}
{

\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V }
{ \subseteq }{ { {\mathbb A}_{ K }^{ n } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {zusammenhängende}{}{} \definitionsverweis {glatte Varietät}{}{} über einem \definitionsverweis {vollkommener Körper}{}{} $K$ und es sei $R$ der \definitionsverweis {affine Koordinatenring}{}{} zu $V$.}
\faktfolgerung {Dann ist der \definitionsverweis {Modul der Kähler-Differentiale}{}{}
\mathl{\Omega_{ R {{|}} K }}{} \definitionsverweis {lokal frei}{}{} von konstantem Rang $\operatorname{dim} { \left( R \right) }$ und insbesondere ein \definitionsverweis {projektiver Modul}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Dies folgt aus Satz 18.16, Satz 18.17, Lemma 18.6 und Lemma 16.5.

}





\inputbeispiel{}
{

Wir betrachten die reelle Sphäre
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{S^2 }
{ =} { { \left\{ (x,y,z) \mid x^2+y^2+z^2 = 1 \right\} } }
{ \subseteq} { \R^3 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit dem \definitionsverweis {affinen Koordinatenring}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R }
{ =} { \R [X,Y,Z]/ { \left( X^2+Y^2+Z^2-1 \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Der $R$-\definitionsverweis {Modul der Kählerdifferentiale}{}{} ist nach Korollar 18.9 gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Omega_{ R {{|}} \R } }
{ =} { R dX \oplus R dY \oplus R dZ /( XdX+YdY +ZdZ) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Eine direkte Überprüfung zeigt, dass die reelle Sphäre \definitionsverweis {glatt}{}{} ist. Nach Satz 18.17 ist somit
\mathl{\Omega_{ R {{|}} \R }}{} \definitionsverweis {lokal frei}{}{} \zusatzklammer {von konstantem Rang $2$} {} {.} Dies kann man auch direkt von der Darstellung her begründen, siehe Aufgabe 18.25. Dagegen ist
\mathl{\Omega_{ R {{|}} \R }}{} nicht frei. Dies ist eine algebraische Version des Satzes vom Igel, dass man ihn nicht glattkämmen kann, also die Stacheln nicht wirbelfrei tangential an die Kugel anlegen kann.


}



Der Tangentialraum zu einer polynomialen Abbildung \maabb {f} {{ {\mathbb A}_{ K }^{ n } }} {{ {\mathbb A}_{ K }^{ m } } } {} mit dem Nullstellengebilde
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V }
{ = }{ V(f_1 , \ldots , f_m) }
{ \subseteq }{ { {\mathbb A}_{ K }^{ n } } }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} an einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P }
{ \in }{V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ T_P V }
{ \defeq} { \operatorname{kern} \left( \operatorname{Jak}(f_1 , \ldots , f_m )_P \right) }
{ =} {{ \left\{ v \in { {\mathbb A}_{ K }^{ n } } \mid \operatorname{Jak} (f_1 , \ldots , f_m )_P (v) = 0 \right\} } }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Wenn $P$ ein regulärer Punkt der Abbildung ist und man den Satz über implizite Abbildungen anwenden kann, so handelt es sich um einen linearen Unterraum, dessen Dimension mit der (Mannigfaltigkeits-)Dimension von $V$ übereinstimmt. Diese Konstruktion ist extrinsisch, sie hängt von der Einbettung von $V$ in den affinen Raum ab. Wir möchten eine intrinsische Version des Tangentialraumes vorstellen, der nur von $V$ bzw. dem affinen Koordinatenring abhängt. Dazu führen wir den Modul der Kähler-Differentiale ein, der für jede $R$-\definitionsverweis {Algebra}{}{} $A$ eine duale Version des Tangentialraumes liefert.


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