Kurs:Elliptische Kurven (Osnabrück 2021-2022)/Arbeitsblatt 7

Aufgaben

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}{\mathbb {P} }_{K}^{n}$ der projektive Raum über ${}K$. Zeige, dass die Konstanten die einzigen globalen algebraischen Funktionen sind, d.h. es gilt

${}\Gamma {\left({\mathbb {P} }_{K}^{n},{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{n}}\right)}=K\,.$

Aufgabe

Es sei

${}U=D_{+}(X_{0})\cup D_{+}(X_{1})\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{n}\,.$

Zeige

${}\Gamma {\left(U,{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{n}}\right)}=K\,.$

Aufgabe

Es sei ${}f\in K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ein homogenes Polynom vom Grad ${}d$ und sei

${}D_{+}(f)\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{n}\,$

die zugehörige offene Teilmenge des projektiven Raumes. Zeige, dass zu jedem homogenen Polynom ${}h\in K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]$ vom Grad ${}e$ die rationale Funktion ${}{\frac {h}{f^{n}}}$ unter der Bedingung ${}e=nd$ eine algebraische Funktion

${\frac {h}{f^{n}}}\colon D_{+}(f)\longrightarrow K$

definiert.

Aufgabe

Es sei ${}R\subseteq S$ eine endliche Ringerweiterung und sei ${}f\in R$. Zeige: Wenn ${}f$, aufgefasst in ${}S$, eine Einheit ist, dann ist ${}f$ eine Einheit in ${}R$.

Aufgabe

Begründe, dass ${}K[y,z]\subseteq K[x,y,z]/(x^{2}+yz^{2}+z^{m+1})$ endlich ist. Wie sieht es über ${}K[x,y]$ bzw. ${}K[x,z]$ aus?

Aufgabe

Begründe, dass ${}K[x,y]\subseteq K[x,y,z]/(xy-z^{n})$ endlich ist. Wie sieht es über ${}K[x,z]$ bzw. ${}K[y,z]$ aus?

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und

${}S=R[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}\,$

eine (als Algebra) endlich erzeugte ${}R$- Algebra, die ganz über ${}R$ sei. Zeige, dass ${}S$ ein endlich erzeugter ${}R$- Modul ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}P\in K[X]$ ein nichtkonstantes Polynom. Zeige, dass ${}P$ nicht algebraisch über ${}K$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}L=K(X)$ der Quotientenkörper des Polynomrings ${}K[X]$. Es sei ${}M$, ${}K\subseteq M\subseteq L$, ${}M\neq K$, ein Zwischenkörper. Zeige, dass ${}M\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung ist.

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}A$ eine kommutative ${}K$- Algebra. Man nennt Elemente ${}f_{1},\ldots ,f_{n}\in A$ algebraisch abhängig, wenn es ein von ${}0$ verschiedenes Polynom ${}P\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ mit

${}P(f_{1},\ldots ,f_{n})=0\,$

gibt.

Aufgabe

Es sei ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ der Polynomring über einem Körper ${}K$. Zeige, dass die Variablen ${}X_{1},\ldots ,X_{n}$ algebraisch unabhängig sind.

Aufgabe

Es sei ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ der Polynomring über einem Körper ${}K$ und seien ${}n+1$ Polynome ${}f_{1},\ldots ,f_{n+1}\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ gegeben. Zeige, dass diese algebraisch abhängig sind.

Aufgabe

Es sei

$\varphi \colon {{\mathbb {A} }_{K}^{m}}\longrightarrow {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$

eine polynomiale Abbildung zwischen affinen Räumen mit ${}m<n$. Zeige, dass ${}\varphi$ nicht surjektiv ist.

Aufgabe

Es sei ${}A$ eine kommutative ${}K$- Algebra über einem Körper ${}K$ und seien ${}n$ Elemente ${}f_{1},\ldots ,f_{n}\in A$ gegeben. Zeige, dass diese Elemente genau dann algebraisch unabhängig sind, wenn die von diesen Elementen erzeugte ${}K$-Algebra ${}K[f_{1},\ldots ,f_{n}]$ isomorph zum Polynomring ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und ${}F\in K[X,Y]$ ein nichtkonstantes Polynom. Zeige, dass der Restklassenring

$K[X,Y]/(F)$

eine endliche ${}K[T]$-Algebra ist.

Aufgabe

Es seien ${}R,S,T$ kommutative Ringe und seien ${}\varphi :R\rightarrow S$ und ${}\psi :S\rightarrow T$ Ringhomomorphismen derart, dass ${}S$ endlich über ${}R$ und ${}T$ endlich über ${}S$ ist. Zeige, dass dann auch ${}T$ endlich über ${}R$ ist.

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein Körper und es sei eine endliche Ringerweiterung der Form

${}K[X]\subseteq K[X][Y]/{\left(Y^{n}+P_{n-1}(X)Y^{n-1}+\cdots +P_{2}(X)Y^{2}+P_{1}(X)Y+P_{0}(X)\right)}\,$

mit ${}P_{i}(X)\in K[X]$ gegeben, wobei der Erweiterungsring integer sei. Es sei ${}k$ derart, dass der Grad von ${}P_{i}$ höchstens ${}k(n-i)$ ist für alle

${}i=0,1,\ldots ,n-1\,.$

Zeige, dass dann ${}YX^{-k}$ eine Ganzheitsgleichung vom Grad ${}n$ über ${}K[X^{-1}]$ erfüllt, und dass die zugehörige Erweiterungsalgebra den gleichen Quotientenkörper besitzt.

Aufgabe

Es sei ${}F\in K[X]$ ein Polynom. Interpretiere ${}F$ als Morphismus

$F\colon {\mathbb {P} }_{K}^{1}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{1}.$

Was ist ${}F(\infty )$?

Aufgabe

Es sei ${}F=G/H$ eine rationale Funktion über dem Körper ${}K$. Interpretiere ${}F$ als Morphismus

$F\colon {\mathbb {P} }_{K}^{1}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{1}.$

Aufgabe *

Bestimme zu einem Punkt ${}(a,b)\in {\mathbb {P} }_{}^{1}$ die Gleichung für die Urbildgerade zur Projektion weg von einem Punkt

${\mathbb {P} }_{K}^{2}\setminus \{(1,0,0)\}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{1},\,(x,y,z)\longmapsto (y,z).$

Aufgabe

Zeige, dass es einen Morphismus

$V(X^{2}-Y^{3})\supseteq U=V(X^{2}-Y^{3})\setminus \{(0,0)\}\longrightarrow {\mathbb {A} }_{}^{1}$

gibt, den man nicht auf ${}V(X^{2}-Y^{3})$ ausdehnen kann.

Aufgabe

Zeige, dass die Einschränkung der Projektion weg von einem Punkt

${\mathbb {P} }_{K}^{2}\setminus \{P\}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{1}$

auf eine jede Gerade ${}G\subset {\mathbb {P} }_{K}^{2}$, die nicht durch ${}P$ geht, einen Isomorphismus induziert.

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, sei ${}C=V_{+}{\left(X^{2}+Y^{2}+Z^{2}\right)}\subset {\mathbb {P} }_{K}^{2}$ und sei

$\varphi \colon C\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{1}$

der durch die Projektion weg vom Punkt

${\mathbb {P} }_{K}^{2}\setminus \{(1,0,0)\}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{1},\,(x,y,z)\longmapsto (y,z),$

definierte Morphismus. Bestimme das Urbild des Punktes ${}(3,5)\in {\mathbb {P} }_{K}^{1}$.

Der Beweis der folgenden Aussage erfordert das Konzept der Separabilität für Polynome und den Charakterisierungssatz für separable Polynome.

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper der Charakteristik ${}0$ und sei ${}C\subset {\mathbb {P} }_{K}^{2}$ eine irreduzible ebene projektive Kurve vom Grad ${}d$ und sei

$\varphi \colon C\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{1}$

der durch eine Projektion weg von einem Punkt ${}P\notin C$ definierte Morphismus. Zeige, dass bis auf endlich viele Ausnahmen die Faser zu jedem Punkt ${}t\in {\mathbb {P} }_{K}^{1}$ aus genau ${}d$ Punkten besteht.

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper der Charakteristik ${}p>0$ und sei ${}C=V{\left(YZ^{p-1}+X^{p}\right)}\subset {\mathbb {P} }_{K}^{2}$. Zeige, dass der durch die Projektion weg vom Punkt ${}(1,0,0)$ definierte Morphismus

$\varphi \colon C\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{1}$

bijektiv ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}C\subset {\mathbb {P} }_{K}^{2}$ eine ebene projektive Kurve. Es sei ${}P\in C$ ein Punkt der Kurve und sei

$\varphi \colon C\setminus \{P\}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{1}$

der durch die Projektion weg vom Punkt definierte Morphismus. Bei dieser Abbildung wird also ein Punkt ${}Q\in C$, ${}Q\neq P$, auf die durch ${}Q$ und ${}P$ gegebene Sekante abgebildet.

1. Sei ${}K={\mathbb {C} }$ und sei ${}Q_{n}$ eine Folge auf ${}C$, die in der komplexen Topologie gegen ${}P$ konvergiert. Konvergiert ${}\varphi (Q_{n})$?
2. Besitzt ${}\varphi (Q_{n})$ einen Häufungspunkt?
3. Es sei ${}P$ ein glatter Punkt. Zeige, dass es eine Fortsetzung des Morphismus auf ganz ${}C$ gibt.

Aufgabe

Diskutiere die Situation aus Aufgabe 7.25 für das Achsenkreuz

${}V_{+}(YZ)\subset {\mathbb {P} }_{}^{2}\,$

und den Kreuzungspunkt ${}(1,0,0)$.

Aufgabe

Es sei ${}F=G/H$ eine rationale Funktion über den reellen Zahlen ${}\mathbb {R}$ (oder den komplexen Zahlen ${}{\mathbb {C} }$) mit dem zugehörigen Morphismus

$F\colon {\mathbb {P} }_{\mathbb {K} }^{1}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{\mathbb {K} }^{1}.$

Zeige, dass

${}F(\infty )=c\in {\mathbb {P} }_{\mathbb {K} }^{1}\,$

genau dann gilt, wenn die Folge

${\frac {G(n)}{H(n)}}$

für ${}n\rightarrow \infty$ gegen ${}c$ konvergiert (was für ${}c=\infty$ sinnvoll zu interpretieren ist).

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und ${}C\subset {\mathbb {P} }_{K}^{2}$ eine glatte Kurve vom Grad ${}d\geq 2$. Zeige, dass es einen Morphismus ${}C\rightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{1}$ derart gibt, dass jede Faser aus maximal ${}d-1$ Punkten besteht.

Aufgabe

Es sei ${}C=V_{+}{\left(X^{3}+Y^{3}+Z^{3}\right)}\subset {\mathbb {P} }_{K}^{2}$ die Fermat-Kubik über einem algebraisch abgeschlossenen Körper der Charakteristik ${}\neq 3$. Beschreibe explizit einen Morphismus ${}C\rightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{1}$, bei dem über jedem Punkt maximal zwei Punkte liegen.