Kurs:Elliptische Kurven (Osnabrück 2021-2022)/Arbeitsblatt 7

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Aufgaben

Aufgabe

Sei ein Körper und der projektive Raum. Zeige, dass die Konstanten die einzigen globalen algebraischen Funktionen sind, d.h. es gilt


Aufgabe

Es sei

Zeige


Aufgabe

Es sei ein homogenes Polynom vom Grad und sei

die zugehörige offene Teilmenge des projektiven Raumes. Zeige, dass zu jedem homogenen Polynom vom Grad die rationale Funktion unter der Bedingung eine algebraische Funktion

definiert.


Aufgabe

Sei eine endliche Ringerweiterung und sei . Zeige: Wenn , aufgefasst in , eine Einheit ist, dann ist eine Einheit in .


Aufgabe

Begründe, dass endlich ist. Wie sieht es über bzw. aus?


Aufgabe

Begründe, dass endlich ist. Wie sieht es über bzw. aus?


Aufgabe

Es sei ein kommutativer Ring und

eine (als Algebra) endlich erzeugte -Algebra, die ganz über sei. Zeige, dass ein endlich erzeugter -Modul ist.


Aufgabe

Es sei ein Körper und sei ein nichtkonstantes Polynom. Zeige, dass nicht algebraisch über ist.


Aufgabe

Es sei ein Körper und der Quotientenkörper des Polynomrings . Es sei , , , ein Zwischenkörper. Zeige, dass eine endliche Körpererweiterung ist.


Es sei ein Körper und sei eine kommutative -Algebra. Man nennt Elemente algebraisch abhängig, wenn es ein von verschiedenes Polynom mit

gibt.


Aufgabe

Es sei der Polynomring über einem Körper . Zeige, dass die Variablen algebraisch unabhängig sind.


Aufgabe

Es sei der Polynomring über einem Körper und seien Polynome gegeben. Zeige, dass diese algebraisch abhängig sind.


Aufgabe

Es sei

eine polynomiale Abbildung zwischen affinen Räumen mit . Zeige, dass nicht surjektiv ist.

Aufgabe

Es sei eine kommutative -Algebra über einem Körper und seien Elemente gegeben. Zeige, dass diese Elemente genau dann algebraisch unabhängig sind, wenn die von diesen Elementen erzeugte -Algebra isomorph zum Polynomring ist.


Aufgabe

Es sei ein algebraisch abgeschlossener Körper und ein nichtkonstantes Polynom. Zeige, dass der Restklassenring

eine endliche -Algebra ist.


Aufgabe

Seien kommutative Ringe und seien und Ringhomomorphismen derart, dass endlich über und endlich über ist. Zeige, dass dann auch endlich über ist.


Aufgabe *

Es sei ein Körper und es sei eine endliche Ringerweiterung der Form

mit gegeben, wobei der Erweiterungsring integral sei. Es sei derart, dass der Grad von höchstens ist für alle

Zeige, dass dann eine Ganzheitsgleichung vom Grad über erfüllt, und dass die zugehörige Erweiterungsalgebra den gleichen Quotientenkörper besitzt.


Aufgabe

Es sei ein Polynom. Interpretiere als Morphismus

Was ist ?


Aufgabe

Es sei eine rationale Funktion über dem Körper . Interpretiere als Morphismus


Aufgabe *

Bestimme zu einem Punkt die Gleichung für die Urbildgerade zur Projektion weg von einem Punkt


Aufgabe

Zeige, dass es einen Morphismus

gibt, den man nicht auf ausdehnen kann.


Aufgabe

Zeige, dass die Einschränkung der Projektion weg von einem Punkt

auf eine jede Gerade , die nicht durch geht, einen Isomorphismus induziert.


Aufgabe *

Es sei ein algebraisch abgeschlossener Körper, sei und sei

der durch die Projektion weg vom Punkt

definierte Morphismus. Bestimme das Urbild des Punktes .


Der Beweis der folgenden Aussage erfordert das Konzept der Separabilität für Polynome und den Charakterisierungssatz für separable Polynome.

Aufgabe *

Es sei ein algebraisch abgeschlossener Körper der Charakteristik und sei eine irreduzible ebene projektive Kurve vom Grad und sei

der durch eine Projektion weg von einem Punkt definierte Morphismus. Zeige, dass bis auf endlich viele Ausnahmen die Faser zu jedem Punkt aus genau Punkten besteht.


Aufgabe *

Es sei ein algebraisch abgeschlossener Körper der Charakteristik und sei . Zeige, dass der durch die Projektion weg vom Punkt definierte Morphismus

bijektiv ist.


Aufgabe

Es sei ein Körper und sei eine ebene projektive Kurve. Es sei ein Punkt der Kurve und sei

der durch die Projektion weg vom Punkt definierte Morphismus. Bei dieser Abbildung wird also ein Punkt , , auf die durch und gegebene Sekante abgebildet.

  1. Sei und sei eine Folge auf , die in der komplexen Topologie gegen konvergiert. Konvergiert ?
  2. Besitzt einen Häufungspunkt?
  3. Sei ein glatter Punkt. Zeige, dass es eine Fortsetzung des Morphismus auf ganz gibt.


Aufgabe

Diskutiere die Situation aus Aufgabe 7.23 für das Achsenkreuz

und den Kreuzungspunkt .


Aufgabe

Es sei eine rationale Funktion über den reellen Zahlen (oder den komplexen Zahlen ) mit dem zugehörigen Morphismus

Zeige, dass

genau dann gilt, wenn die Folge

für gegen konvergiert (was für sinnvoll zu interpretieren ist).


Aufgabe

Es sei ein algebraisch abgeschlossener Körper und eine glatte Kurve vom Grad . Zeige, dass es einen Morphismus derart gibt, dass jede Faser aus maximal Punkten besteht.


Aufgabe

Es sei die Fermat-Kubik über einem algebraisch abgeschlossenen Körper der Charakteristik . Beschreibe explizit einen Morphismus , bei dem über jedem Punkt maximal zwei Punkte liegen.



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