Kurs:Funktionentheorie/5/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	${}\sum$
Punkte	3	3	3	3	6	4	6	4	2	3	2	0	5	3	2	5	0	0	54

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine gebrochen-lineare Funktion auf ${}{\mathbb {C} }$.
2. Die Exponentialreihe zu einer komplexen Zahl  ${}z\in {\mathbb {C} }$. 
3. Die eingesetze Potenzreihe ${}F(G)$.
4. Der Rückzug einer ${}W$-wertigen Differentialform ${}\omega$ auf  ${}U\subseteq V$  unter einer total differenzierbaren Abbildung

   $\varphi \colon U'\longrightarrow U,$

   wobei ${}V,V',W$ endlichdimensionale ${}{\mathbb {K} }$- Vektorräume und  ${}U\subseteq V$,   ${}U'\subseteq V'$  offene Mengen sind.

5. Die Fundamentalgruppe eines topologischen Raumes ${}X$ zu einem Aufpunkt  ${}x_{0}\in X$. 
6. Der Körper der elliptischen Funktionen zu einem Gitter  ${}\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$. 

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über Wurzeln aus holomorphen Funktionen.
2. Der Hauptsatz über holomorphe Funktionen.
3. Der Satz über den Repräsentant eines Gitters.

Aufgabe * (3 Punkte)

Beschreibe die Abbildung

$\psi \colon \mathbb {C} \setminus \{1\}\longrightarrow \mathbb {C} ,\,w\longmapsto {\frac {(w+1){\mathrm {i} }}{1-w}}$

in reellen Koordinaten.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es seien

$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}{\text{ und }}\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}z^{n}$

zwei absolut konvergente Potenzreihen in  ${}z\in {\mathbb {C} }$.  Zeige, dass das Cauchy-Produkt der beiden Reihen durch

$\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}{\text{ mit }}c_{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i}$

gegeben ist.

Aufgabe * (6 Punkte)

Zeige, dass der Ring der konvergenten Potenzreihen ${}{\mathbb {C} }\langle \!\langle T\rangle \!\rangle$ ein diskreter Bewertungsring ist.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei  ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$  offen und sei

$\varphi \colon U\longrightarrow {\mathbb {C} },\,(u,v)\longmapsto \varphi (u,v)=\varphi _{1}(u,v)+{\mathrm {i} }\varphi _{2}(u,v)=x+{\mathrm {i} }y=z,$

eine reell total differenzierbare Abbildung. Zeige, dass für den Rückzug ${}\varphi ^{*}dz$ gilt (mit  ${}w=u+{\mathrm {i} }v$ )

${}{\begin{aligned}\varphi ^{*}(dz)&={\frac {\partial \varphi }{\partial u}}du+{\frac {\partial \varphi }{\partial v}}dv\\&={\frac {\partial \varphi }{\partial w}}dw+{\frac {\partial \varphi }{\partial {\overline {w}}}}d{\overline {w}}.\end{aligned}}$

Aufgabe * (6 (3+3) Punkte)

Es seien ${}V,W$ endlichdimensionale ${}{\mathbb {K} }$- Vektorräume.

1. Es sei  ${}U\subseteq V$  eine zusammenhängende offene Menge und sei ${}\omega \colon U\rightarrow \operatorname {Hom} _{\mathbb {K} }{\left(V,W\right)}$ eine exakte Differentialform auf ${}U$. Zeige, dass die Stammform zu ${}\omega$ bis auf eine Konstante eindeutig bestimmt ist.
2. Es seien  ${}S,T\subseteq V$  offene sternförmige Mengen mit der Eigenschaft, dass ${}S\cap T$ zusammenhängend ist. Es sei

   $\omega \colon S\cup T\longrightarrow \operatorname {Hom} _{\mathbb {K} }{\left(V,W\right)}$

   eine stetig differenzierbare geschlossene Differentialform. Zeige, dass ${}\omega$ exakt ist.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}f\colon {\mathbb {C} }\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine ganze Funktion. Zeige, dass das Bild von ${}f$ dicht in ${}{\mathbb {C} }$ ist.

Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei  ${}G\subseteq {\mathbb {C} }$  ein Gebiet und sei ${}f\colon G\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine holomorphe Funktion mit der Eigenschaft: Es gebe einen Punkt  ${}a\in G$  mit  ${}f(a)\neq 0$  und

${}\vert {f(z)}\vert \geq \vert {f(a)}\vert \,$

für alle  ${}z\in G$.  Zeige, dass dann ${}f$ konstant ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Beschreibe möglichst viele Charakterisierungen des lokalen Exponenten einer nichtkonstanten holomorphen Funktion

$f\colon U\longrightarrow {\mathbb {C} }$

in einem Punkt  ${}P\in U$. 

Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme die Hauptteile für jeden Punkt  ${}a\in {\mathbb {C} }$  der rationalen Funktion ${}{\frac {2z}{z^{2}-1}}$.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei  ${}F\in {\mathbb {C} }[Z]$  ein Polynom. Es sei ${}L$ die Menge der Nullstellen der Ableitung, es sei ${}M$ die Bildmenge zu ${}L$ unter ${}F$ und sei ${}N$ das Urbild von ${}M$ unter ${}F$. Zeige, dass

${\mathbb {C} }\setminus N\longrightarrow {\mathbb {C} }\setminus M$

eine Überlagerung ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige, dass die komplexe Potenzfunktion ${}z^{a}$ (bezüglich eines fixierten Logarithmus auf einer offenen Menge ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$) die Ableitungseigenschaft

${}{\left(z^{a}\right)}'=az^{a-1}\,$

erfüllt.

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die Windungszahl auf den Teilgebieten des gezeigten Weges.

Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei  ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$  ein Gebiet und sei  ${}T\subseteq \Gamma (U,{\mathcal {O}})$  eine Teilmenge von holomorphen Funktionen auf ${}U$, die nicht lokal beschränkt sei. Zeige, dass es dann eine Folge in ${}T$ gibt, die keine kompakt konvergente Teilfolge besitzt.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)