Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)/Arbeitsblatt 5/kontrolle
- Übungsaufgaben
Wir betrachten die Abbildung
- Berechne die komplexen partiellen Ableitungen.
- Erstelle die (komplexe) Jacobimatrix von in einem beliebigen Punkt.
- Beschreibe reell unter Verwendung der durch und festgelegten reellen Koordinaten .
- Berechne die reellen partiellen Ableitungen aus (3).
- Berechne die reellen partiellen Ableitungen aus (1).
- Erstelle die reelle Jacobimatrix.
Betrachte die Abbildung
Entscheide, ob im Punkt lokal umkehrbar ist, und bestimme gegebenfalls das totale Differential der Umkehrabbildung im Punkt .
Betrachte die Abbildung
Entscheide, ob im Punkt lokal umkehrbar ist, und bestimme gegebenfalls das totale Differential der Umkehrabbildung im Punkt .
Es sei ein Gebiet und sei
(stetig) komplex differenzierbar und nicht konstant. Zeige, dass das Bild von nicht auf einer (reellen) Geraden in liegt.
Beweise Korollar 3.8 mit Hilfe von Korollar 5.3.
Eine stetige Abbildung
zwischen topologischen Räumen und heißt abgeschlossen, wenn Bilder von abgeschlossenen Mengen wieder abgeschlossen sind.
Es sei eine Funktion, die sowohl offen als auch abgeschlossen ist. Zeige, dass surjektiv ist.
Bestätige die in Beispiel 8.11 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) angegebene Formel für die Quadratwurzel einer komplexen Zahl im Fall .
Es sei das komplexe Quadrieren auf dem offenen Quadranten und
die Abbildung aus Beispiel 5.7. Zeige, dass
die Identität auf der oberen offenen Halbebene ist.
Es sei das komplexe Quadrieren auf dem offenen Quadranten und
die Abbildung aus Beispiel 5.7. Zeige, dass
die Identität auf dem offenen Quadranten ist.
Erstelle für das komplexe Quadrieren
die inverse reelle Jacobimatrix zu einem Punkt wie in Bemerkung 5.6 beschrieben und bringe dies mit der expliziten Umkehrabbildung aus Beispiel 5.7 in Verbindung.
Wir betrachten die auf
- Begründe, dass stetig partiell differenzierbar ist.
- Bestimme die Jacobimatrix zu .
- Zeige, dass die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen erfüllt.
- Zeige, dass lokal eine Umkehrabbildung zur komplexen Exponentialfunktion ist.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (8 (1+1+2+2+1+1) Punkte)Referenznummer erstellen
Wir betrachten die Abbildung
- Berechne die komplexen partiellen Ableitungen.
- Erstelle die (komplexe) Jacobimatrix von in einem beliebigen Punkt.
- Beschreibe reell unter Verwendung der durch und festgelegten reellen Koordinaten .
- Berechne die reellen partiellen Ableitungen aus (3).
- Berechne die reellen partiellen Ableitungen aus (1).
- Erstelle die reelle Jacobimatrix.
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei eine stetig differenzierbare Funktion derart, dass keine Nullstelle besitzt. Zeige, dass eine offene Abbildung ist.
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei und
Zeige, dass diese Abbildung stetig partiell differenzierbar ist und dass die partiellen Ableitungen die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen erfüllen.
Beweise Satz 5.10 direkt mit Korollar 5.3.