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Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)/Arbeitsblatt 5/kontrolle

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Übungsaufgaben

Aufgabe Aufgabe 5.1 ändern

Zeige, dass das komplexe Quadrieren

in keiner offenen Umgebung des Nullpunktes injektiv ist.



Zeige, dass die Abbildung

surjektiv ist.



Wir betrachten die Abbildung

  1. Berechne die komplexen partiellen Ableitungen.
  2. Erstelle die (komplexe) Jacobimatrix von in einem beliebigen Punkt.
  3. Beschreibe reell unter Verwendung der durch und festgelegten reellen Koordinaten .
  4. Berechne die reellen partiellen Ableitungen aus (3).
  5. Berechne die reellen partiellen Ableitungen aus (1).
  6. Erstelle die reelle Jacobimatrix.



Betrachte die Abbildung

Entscheide, ob im Punkt lokal umkehrbar ist, und bestimme gegebenfalls das totale Differential der Umkehrabbildung im Punkt .



Betrachte die Abbildung

Entscheide, ob im Punkt lokal umkehrbar ist, und bestimme gegebenfalls das totale Differential der Umkehrabbildung im Punkt .



Es sei ein Gebiet und sei

(stetig) komplex differenzierbar und nicht konstant. Zeige, dass das Bild von nicht auf einer (reellen) Geraden in liegt.





Zeige, dass das Bild eines offenen Intervalls unter einem Polynom

nicht offen sein muss.


Eine stetige Abbildung

zwischen topologischen Räumen und heißt abgeschlossen, wenn Bilder von abgeschlossenen Mengen wieder abgeschlossen sind.



Man gebe ein Beispiel für eine rationale Funktion

die nicht abgeschlossen ist.



Man gebe ein Beispiel für eine komplex differenzierbare Funktion

die nicht abgeschlossen ist.



Es sei eine Funktion, die sowohl offen als auch abgeschlossen ist. Zeige, dass surjektiv ist.



Aufgabe * Aufgabe 5.12 ändern

Bestätige, dass bei die Zahl

eine Quadratwurzel der komplexen Zahl ist.



Aufgabe Aufgabe 5.13 ändern

Bestätige die in Beispiel 8.11 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) angegebene Formel für die Quadratwurzel einer komplexen Zahl im Fall .



Aufgabe Aufgabe 5.14 ändern

Es sei das komplexe Quadrieren auf dem offenen Quadranten und

die Abbildung aus Beispiel 5.7. Zeige, dass

die Identität auf der oberen offenen Halbebene ist.



Aufgabe Aufgabe 5.15 ändern

Es sei das komplexe Quadrieren auf dem offenen Quadranten und

die Abbildung aus Beispiel 5.7. Zeige, dass

die Identität auf dem offenen Quadranten ist.



Erstelle für das komplexe Quadrieren

die inverse reelle Jacobimatrix zu einem Punkt wie in Bemerkung 5.6 beschrieben und bringe dies mit der expliziten Umkehrabbildung aus Beispiel 5.7 in Verbindung.



Wir betrachten die auf

  1. Begründe, dass stetig partiell differenzierbar ist.
  2. Bestimme die Jacobimatrix zu .
  3. Zeige, dass die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen erfüllt.
  4. Zeige, dass lokal eine Umkehrabbildung zur komplexen Exponentialfunktion ist.



Es sei . Zeige, dass es auf keiner offenen Umgebung der eine holomorphe Funktion

mit auf gibt.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (8 (1+1+2+2+1+1) Punkte)Referenznummer erstellen

Wir betrachten die Abbildung

  1. Berechne die komplexen partiellen Ableitungen.
  2. Erstelle die (komplexe) Jacobimatrix von in einem beliebigen Punkt.
  3. Beschreibe reell unter Verwendung der durch und festgelegten reellen Koordinaten .
  4. Berechne die reellen partiellen Ableitungen aus (3).
  5. Berechne die reellen partiellen Ableitungen aus (1).
  6. Erstelle die reelle Jacobimatrix.



Es sei eine stetig differenzierbare Funktion derart, dass keine Nullstelle besitzt. Zeige, dass eine offene Abbildung ist.



Es sei und

Zeige, dass diese Abbildung stetig partiell differenzierbar ist und dass die partiellen Ableitungen die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen erfüllen.



Aufgabe (4 Punkte)Aufgabe 5.22 ändern

Beweise Satz 5.10 direkt mit Korollar 5.3.