Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)/Teil II/Arbeitsblatt 47/kontrolle
- Die Pausenaufgabe
Aufgabe Referenznummer erstellen
Heinz Ngolo und Mustafa Müller sagen abwechselnd reelle Zahlen auf. Dabei sind die Zahlen von Heinz alle positiv und fallen, die Zahlen von Mustafa sind negativ und wachsen. Es sei die dadurch gegebene Folge.
- Kann gegen eine von verschiedene Zahl konvergieren?
- Muss gegen konvergieren?
- Übungsaufgaben
Aufgabe Referenznummer erstellen
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei und .
- Zeige, dass genau dann irrational ist, wenn irrational ist.
- Es sei zusätzlich . Zeige, dass genau dann irrational ist, wenn irrational ist.
Aufgabe * Referenznummer erstellen
a) Man gebe ein Beispiel für rationale Zahlen mit
b) Man gebe ein Beispiel für rationale Zahlen mit
c) Man gebe ein Beispiel für irrationale Zahlen und eine rationale Zahl mit
Aufgabe Referenznummer erstellen
Zeige, dass es keinen Gruppenhomomorphismus
in eine Gruppe mit der Eigenschaft gibt, dass genau dann irrational ist, wenn ist.
Aufgabe * Aufgabe 47.7 ändern
Es sei eine irrationale Zahl und sei
- Zeige, dass eine Untergruppe von ist.
- Zeige, dass es kein Element
mit
gibt.
- Zeige, dass es in kein positives minimales Element gibt.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei ein angeordneter Körper und eine Folge in . Wir definieren zwei Folgen mit den Anfangswerten und rekursiv durch
und
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei ein angeordneter Körper. Zeige, dass man die alternierende Folge nicht als Summe
schreiben kann, wenn und beschränkte und monotone Folgen sind.
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Es sei . Zu einem Startwert sei eine reelle Folge rekursiv durch
definiert. Zeige die folgenden Aussagen.
(a) Bei ist für alle und die Folge ist streng fallend.
(b) Bei ist die Folge konstant.
(c) Bei ist für alle und die Folge ist streng wachsend.
(d) Die Folge konvergiert.
(e) Der Grenzwert ist .
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei ein archimedisch angeordneter Körper mit der Eigenschaft, dass jede wachsende, nach oben beschränkte Folge in konvergiert. Zeige, dass vollständig ist.
Die Folge der Fibonacci-Zahlen ist rekursiv definiert durch
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei die Folge der Fibonacci-Zahlen und
Zeige, dass diese Folge in konvergiert und dass der Grenzwert die Bedingung
erfüllt. Berechne daraus .
Aufgabe Referenznummer erstellen
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei und . Zeige, dass zu einem beliebigen Startwert durch
eine Folge definiert wird, die gegen konvergiert.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Aufgabe Referenznummer erstellen
Aufgabe Referenznummer erstellen
Bestimme die Ziffernentwicklung im Dualsystem derjenigen reellen Zahl, die im Dezimalsystem durch gegeben ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Bestimme die Ziffernentwicklung im Dreiersystem derjenigen reellen Zahl, die im Dezimalsystem durch gegeben ist.
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Es sei und sei
die reelle Zahl mit Periodenlänge (die Periode besteht aus Nullen und einer ). Sei
mit . Zeige
Aufgabe Referenznummer erstellen
Die Situation im Schildkröten-Paradoxon von Zenon von Elea ist folgendermaßen: Eine langsame Schildkröte (mit der Kriechgeschwindigkeit ) hat einen Vorsprung gegenüber dem schnelleren Achilles (mit der Geschwindigkeit und dem Startpunkt ). Sie starten gleichzeitig. Achilles kann die Schildkröte nicht einholen: Wenn er beim Ausgangspunkt der Schildkröte ankommt, so ist die Schildkröte nicht mehr dort, sondern ein Stück weiter, sagen wir an der Stelle . Wenn Achilles an der Stelle ankommt, so ist die Schildkröte wieder ein Stück weiter, an der Stelle , u.s.w.
Berechne die Folgenglieder , die zugehörigen Zeitpunkte , sowie die jeweiligen Grenzwerte. Vergleiche diese Grenzwerte mit den direkt berechneten Überholungsdaten.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Aufgabe Referenznummer erstellen
Zeige, dass die Folge mit konvergiert.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei ein archimedisch angeordneter Körper mit der Eigenschaft, dass jede Dezimalbruchfolge in konvergiert. Zeige, dass vollständig ist.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Die Teilmenge
ist ein Körper. Zeige, dass es einen von der Identität verschiedenen bijektiven Ringhomomorphismus
gibt.
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Aufgabe (6 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei ein angeordneter Körper und eine Cauchy-Folge in . Zeige, dass man im Allgemeinen nicht
mit einer wachsenden Cauchy-Folge und einer fallenden Cauchy-Folge schreiben kann.
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei eine konvergente Folge mit dem Grenzwert . Zeige, dass die Folge gegen konvergiert.
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
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