Kurs:Körper- und Galoistheorie/6/Klausur mit Lösungen

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen



Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
Punkte 3 3 0 0 3 3 0 3 7 0 0 3 0 6 0 9 0 7 47




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Ein Gruppenisomorphismus.
  2. Eine einfache Körpererweiterung .
  3. Die Charakteristik eines Körpers .
  4. Ein Primelement , in einem kommutativen Ring .
  5. Das Kompositum zu zwei Zwischenkörpern in einer Körpererweiterung.
  6. Eine konstruierbare Zahl .


Lösung

  1. Einen bijektiven Gruppenhomomorphismus nennt man einen Isomorphismus.
  2. Die Körpererweiterung , heißt einfach, wenn es ein Element mit

    gibt.

  3. Die Charakteristik eines Körpers ist die kleinste positive natürliche Zahl mit der Eigenschaft . Die Charakteristik ist , falls keine solche Zahl existiert.
  4. Das Element heißt prim, wenn es eine Nichteinheit ist und wenn folgendes gilt: Teilt ein Produkt  mit , so teilt es einen der Faktoren.
  5. Man nennt den von und erzeugten Unterkörper das Kompositum der beiden Körper (in ).
  6. Eine Zahl heißt konstruierbar, wenn sie aus der Startmenge

    mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Die Charakterisierung für Restklassenkörper eines Hauptidealbereiches .
  2. Der Satz über die Galoiskorrespondenz bei einer endlichen Galoiserweiterung .
  3. Der Satz über die Quadratur des Kreises.


Lösung

  1. Sei . Dann sind folgende Bedingungen äquivalent.
    1. ist ein Primelement.
    2. ist ein Integritätsbereich.
    3. ist ein Körper.
  2. Es sei eine endliche Galoiserweiterung mit der Galoisgruppe . Dann sind die Zuordnungen

    zueinander inverse Abbildungen zwischen der Menge der Zwischenkörper , ,

    und der Menge der Untergruppen von .
  3. Es ist nicht möglich, zu einem vorgegebenen Kreis ein flächengleiches Quadrat mit Zirkel und Lineal zu konstruieren.


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (3 Punkte)

Beweise das Lemma von Bezout für einen Hauptidealbereich.


Lösung

Wir betrachten das von und erzeugte Ideal . Da ein Hauptidealbereich ist, gibt es ein mit . Daher ist ein Teiler von und von . Die Teilerfremdheit impliziert, dass eine Einheit ist. Wegen gibt es eine Darstellung . Multiplikation mit ergibt die Darstellung der .


Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass das Polynom

nicht irreduzibel ist.


Lösung

Es ist


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei eine endliche Körpererweiterung und . Zeige, dass es für die Eigenwerttheorie der -linearen Multiplikationsabbildung

grundsätzlich nur zwei Möglichkeiten gibt.


Lösung

Wenn gehört, so ist die Multiplikationsabbildung die Streckung mit . Dann ist der einzige Eigenwert von und ganz ist der Eigenraum zu diesem Eigenwert. Wenn hingegen gilt, so gibt es keinen Eigenwert. Die Eigenwertbedingung

mit einem , , und einem führt wegen der Invertierbarkeit von direkt zum Widerspruch


Aufgabe (7 Punkte)

Es sei ein Körper der Charakteristik . Zeige, dass genau dann vollkommen ist, wenn der Frobeniushomomorphismus auf surjektiv ist.


Lösung

Es sei der Frobenius surjektiv, d.h. für jedes gibt es ein mit . Es sei ein irreduzibles Polynom. Es ist zu zeigen, dass und teilerfremd sind, und die einzige Möglichkeit, dass dies nicht der Fall ist, ist, dass

ist. In diesem Fall dürfen aber in nur Potenzen von vorkommen, deren Exponent ein Vielfaches von ist, also

Es seien -te Wurzeln aus . Dann ist mit

aber

im Widerspruch zur Irreduzibilität von .

Es sei nun der Frobenius nicht surjektiv, und es sei ein Element, das in keine -te Wurzel besitzt. Es sei ein Erweiterungskörper, in dem eine -te Wurzel besitzt. Den Körper erhält man als , wobei ein irreduzibler Teiler von ist. In gilt

und somit hat in auch das Polynom mehrfache Nullstellen und ist somit nicht separabel.


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein irreduzibles Polynom vom Grad und es sei eine Körpererweiterung, in der in Linearfaktoren zerfällt. Zeige, dass die Nullstellen von in nicht die Form haben.


Lösung

Nehmen wir an, die Nullstellen hätten die Form . Dann würde über für , das wir als normiert annehmen dürfen, die Faktorzerlegung

vorliegen. Dann wäre insbesondere der Koeffizient vor , also das Negative von

eine rationale Zahl. Doch dann ist schon eine rationale Zahl und wir haben eine rationale Nullstelle im Widerspruch zur Voraussetzung der Irreduzibilität von .


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (6 Punkte)

Beweise das Lemma von Dedekind.


Lösung

Es sei

wobei die verschiedene Charaktere seien und alle von verschieden seien. Darüber hinaus sei minimal gewählt mit dieser Eigenschaft. Wegen ist ein einzelner Charakter nicht die Nullabbildung, also linear unabhängig und somit ist zumindest . Wegen gibt es auch ein mit

. Wir behaupten die Gleichheit (wieder von Abbildungen von nach )

Für ein beliebiges ist nämlich

wegen der Ausgangsgleichung. Wenn man vom -fachen der Ausgangsgleichung die zweite Gleichung abzieht, so kann man elimineren und erhält eine nichttriviale (wegen und der Wahl von ) lineare Relation zwischen im Widerspruch zur Minimalitätseigenschaft von .


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe weiter

  1. Bestimme den Zerfällungskörper zum Polynom .
  2. Was ist der Grad ?
  3. Ist die Körpererweiterung graduierbar (mit welcher graduierenden Gruppe?).
  4. Was sind die homogenen Automorphismen, welche Gruppe bilden sie?
  5. Ist die Galoisgruppe abelsch?
  6. Handelt es sich um eine Kummererweiterung (zu welchem Exponenten)?


Lösung

  1. Über den komplexen Zahlen liegt die Faktorzerlegung
    wobei die positive reelle vierte Wurzel der bezeichnet. Die Zerlegung ist korrekt, da in den Linearformen sämtliche vierte Wurzeln aus der vorkommen. Diese vier Wurzeln müssen zum Zerfällungskörper gehören, daher ist insbesondere

    ein Element von . Es ist also

  2. Das Polynom ist irreduzibel in , da die obige reelle Zerlegung in quadratische Polynome nicht rational durchführbar ist. Daher haben im kommutativen Diagramm

    die horizontalen Erweiterungen den Grad und die vertikalen Erweiterungen den Grad (da reell ist, gehört die imaginäre Einheit da nicht dazu). Die Gesamterweiterung hat also den Grad .

  3. Es liegt eine graduierte Körpererweiterung vor, wobei die graduierende Gruppe gleich ist, und wobei den Grad und die imaginäre Einheit den Grad bekommt.
  4. Die Galoisgruppe enthält die Untergruppe der homogenen Automorphismen (die, die von Charakteren herrühren). Diese besteht neben der Identität aus (den durch diese Vorschriften festgelegten)

    und somit ist .

  5. Es sei der durch

    festgelegte -Automorphismus von . Es sei der zweite oben (im Display) aufgelistete homogene Automorphismus. Dann ist

    und

    Die Galoisgruppe ist also nicht kommutativ.

  6. Da die Galoisgruppe nicht abelsch ist liegt keine Kummererweiterung vor.


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (7 Punkte)

Es sei ein Unterkörper und . Es gebe eine endliche Galoiserweiterung mit gibt, deren Grad eine Zweierpotenz sei. Zeige, dass es in eine Körperkette aus quadratischen Körpererweiterungen

mit gibt.


Lösung

Sei also eine Galoiserweiterung mit gegeben, deren Grad eine Zweierpotenz ist. Wir zeigen durch Induktion nach , dass es eine Filtration der Körpererweiterung durch quadratische Körpererweiterungen gibt (also ohne direkten Bezug auf ein ). Dabei ist der Fall trivial. Sei also () und die Existenz von Körperketten für kleinere Exponenten bereits bewiesen. Nach Satz 16.6 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)) ist dann auch die Ordnung der Galoisgruppe gleich . Aufgrund von Lemma 26.4 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)) gibt es ein nichttriviales Zentrum , so dass es nach dem Hauptsatz für endliche abelsche Gruppen auch eine Untergruppe mit zwei Elementen gibt. Als Untergruppe des Zentrums ist ein Normalteiler in . Wir betrachten . Nach Satz 16.6 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)) ist und nach Satz 17.5 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)) ist eine Galoiserweiterung der Ordnung und besitzt nach Induktionsvoraussetzung eine Filtration aus quadratischen Körpererweiterungen. Diese Filtration wird durch zu einer solchen Gesamtfiltration ergänzt.