Kurs:Körper- und Galoistheorie/6/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	${}\sum$
Punkte	3	3	0	0	3	3	0	3	7	0	0	3	0	6	0	9	0	7	47

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Ein Gruppenisomorphismus.
2. Eine einfache Körpererweiterung ${}K\subseteq L$.
3. Die Charakteristik eines Körpers ${}K$.
4. Ein Primelement ${}p\in R,\,p\neq 0$, in einem kommutativen Ring ${}R$.
5. Das Kompositum zu zwei Zwischenkörpern ${}K\subseteq M_{1},M_{2}\subseteq L$ in einer Körpererweiterung.
6. Eine konstruierbare Zahl ${}z\in {\mathbb {C} }$.

Lösung

1. Einen bijektiven Gruppenhomomorphismus ${}\varphi \colon G\rightarrow H$ nennt man einen Isomorphismus.
2. Die Körpererweiterung ${}K\subseteq L$, heißt einfach, wenn es ein Element ${}x\in L$ mit

   ${}L=K(x)\,$

   gibt.

3. Die Charakteristik eines Körpers ${}K$ ist die kleinste positive natürliche Zahl ${}n$ mit der Eigenschaft ${}n\cdot 1_{K}=0$. Die Charakteristik ist ${}0$, falls keine solche Zahl existiert.
4. Das Element ${}p$ heißt prim, wenn es eine Nichteinheit ist und wenn folgendes gilt: Teilt ${}p$ ein Produkt ${}ab$ mit ${}a,b\in R$, so teilt es einen der Faktoren.
5. Man nennt den von ${}M_{1}$ und ${}M_{2}$ erzeugten Unterkörper das Kompositum der beiden Körper (in ${}L$).
6. Eine Zahl ${}z\in {\mathbb {C} }\cong \mathbb {R} ^{2}\cong E$ heißt konstruierbar, wenn sie aus der Startmenge

   $\{0,1\}\subset \mathbb {R} \subset {\mathbb {C} }$

   mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Die Charakterisierung für Restklassenkörper eines Hauptidealbereiches ${}R$.
2. Der Satz über die Galoiskorrespondenz bei einer endlichen Galoiserweiterung ${}K\subseteq L$.
3. Der Satz über die Quadratur des Kreises.

Lösung

1. Es sei ${}p\in R,\,p\neq 0$. Dann sind folgende Bedingungen äquivalent.
   1. ${}p$ ist ein Primelement.
   2. ${}R/(p)$ ist ein Integritätsbereich.
   3. ${}R/(p)$ ist ein Körper.
2. Es sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Galoiserweiterung mit der Galoisgruppe ${}G=\operatorname {Gal} \,(L{|}K)$. Dann sind die Zuordnungen

   $M\longmapsto \operatorname {Gal} \,(L{|}M){\text{ und }}H\longmapsto \operatorname {Fix} \,(H)$

   zueinander inverse Abbildungen zwischen der Menge der Zwischenkörper ${}M$, ${}K\subseteq M\subseteq L$,

   und der Menge der Untergruppen von ${}G$.
3. Es ist nicht möglich, zu einem vorgegebenen Kreis ein flächengleiches Quadrat mit Zirkel und Lineal zu konstruieren.

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (3 Punkte)

Beweise das Lemma von Bezout für einen Hauptidealbereich.

Lösung

Wir betrachten das von ${}a$ und ${}b$ erzeugte Ideal ${}I=(a,b)$. Da ${}R$ ein Hauptidealbereich ist, gibt es ein ${}c\in R$ mit ${}(a,b)=(c)$. Daher ist ${}c$ ein Teiler von ${}a$ und von ${}b$. Die Teilerfremdheit impliziert, dass ${}c$ eine Einheit ist. Wegen ${}c\in (a,b)$ gibt es eine Darstellung ${}c=ua+vb$. Multiplikation mit ${}c^{-1}$ ergibt die Darstellung der ${}1$.

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass das Polynom

${}X^{4}-2\in \mathbb {Z} /(3)[X]\,$

nicht irreduzibel ist.

Lösung

Es ist

${}X^{4}+1={\left(X^{2}+X+2\right)}{\left(X^{2}+2X+2\right)}\,.$

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung und ${}f\in L$. Zeige, dass es für die Eigenwerttheorie der ${}K$- linearen Multiplikationsabbildung

$\mu _{f}\colon L\longrightarrow L$

grundsätzlich nur zwei Möglichkeiten gibt.

Lösung

Wenn ${}f\in K$ gehört, so ist die Multiplikationsabbildung ${}\mu _{f}$ die Streckung mit ${}f$. Dann ist ${}f$ der einzige Eigenwert von ${}\mu _{f}$ und ganz ${}L$ ist der Eigenraum zu diesem Eigenwert. Wenn hingegen ${}f\notin K$ gilt, so gibt es keinen Eigenwert. Die Eigenwertbedingung

${}\mu _{f}(z)=fz=\lambda z\,$

mit einem ${}z\in L$, ${}z\neq 0$, und einem ${}\lambda \in K$ führt wegen der Invertierbarkeit von ${}z$ direkt zum Widerspruch

${}f=\lambda \in K\,.$

Aufgabe (7 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper der Charakteristik ${}p$. Zeige, dass ${}K$ genau dann vollkommen ist, wenn der Frobeniushomomorphismus auf ${}K$ surjektiv ist.

Lösung

Es sei der Frobenius surjektiv, d.h. für jedes ${}a\in K$ gibt es ein ${}b\in K$ mit ${}a=b^{p}$. Es sei ${}F\in K[X]$ ein irreduzibles Polynom. Es ist zu zeigen, dass ${}F$ und ${}F'$ teilerfremd sind, und die einzige Möglichkeit, dass dies nicht der Fall ist, ist, dass

${}F'=0\,$

ist. In diesem Fall dürfen aber in ${}F$ nur Potenzen von ${}X$ vorkommen, deren Exponent ein Vielfaches von ${}p$ ist, also

${}F=a_{np}X^{np}+a_{(n-1)p}X^{(n-1)p}+\cdots +a_{2p}X^{2p}+a_{p}X^{p}+a_{0}\,.$

Es seien ${}b_{i}$ ${}p$-te Wurzeln aus ${}a_{ip}$. Dann ist mit

${}G=b_{n}X^{n}+b_{n-1}X^{n-1}+\cdots +b_{2}X^{2}+b_{1}X+b_{0}\,$

aber

${}F=G^{p}\,$

im Widerspruch zur Irreduzibilität von ${}F$.

Es sei nun der Frobenius nicht surjektiv, und es sei ${}a\in K$ ein Element, das in ${}K$ keine ${}p$-te Wurzel besitzt. Es sei ${}K\subseteq L$ ein Erweiterungskörper, in dem ${}a$ eine ${}p$-te Wurzel ${}c\in L$ besitzt. Den Körper ${}L$ erhält man als ${}L=K[X]/(F)$, wobei ${}F\in K[X]$ ein irreduzibler Teiler von ${}X^{p}-a$ ist. In ${}L[X]$ gilt

${}X^{p}-a=(X-c)^{p}\,$

und somit hat in ${}L[X]$ auch das Polynom ${}F$ mehrfache Nullstellen und ist somit nicht separabel.

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}F\in \mathbb {Q} [X]$ ein irreduzibles Polynom vom Grad ${}3$ und es sei ${}\mathbb {Q} \subseteq L$ eine Körpererweiterung, in der ${}F$ in Linearfaktoren zerfällt. Zeige, dass die Nullstellen von ${}F$ in ${}L$ nicht die Form ${}\alpha -1,\alpha ,\alpha +1$ haben.

Lösung

Nehmen wir an, die Nullstellen hätten die Form ${}\alpha -1,\alpha ,\alpha +1$. Dann würde über ${}L$ für ${}F$, das wir als normiert annehmen dürfen, die Faktorzerlegung

${}F=(X-(\alpha -1))(X-\alpha )(X-(\alpha +1))\,$

vorliegen. Dann wäre insbesondere der Koeffizient vor ${}X^{2}$, also das Negative von

${}\alpha -1+\alpha +\alpha -1=3\alpha \,$

eine rationale Zahl. Doch dann ist schon ${}\alpha$ eine rationale Zahl und wir haben eine rationale Nullstelle im Widerspruch zur Voraussetzung der Irreduzibilität von ${}F$.

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (6 Punkte)

Beweise das Lemma von Dedekind.

Lösung

Es sei

${}a_{1}\chi _{1}+\cdots +a_{n}\chi _{n}=0\,,$

wobei die ${}\chi _{i}$ verschiedene Charaktere seien und alle ${}a_{i}\in K$ von ${}0$ verschieden seien. Darüber hinaus sei ${}n$ minimal gewählt mit dieser Eigenschaft. Wegen ${}\chi (e_{G})=1$ ist ein einzelner Charakter nicht die Nullabbildung, also linear unabhängig und somit ist zumindest ${}n\geq 2$. Wegen ${}\chi _{1}\neq \chi _{2}$ gibt es auch ein ${}g\in G$ mit

${}\chi _{1}(g)\neq \chi _{2}(g)$. Wir behaupten die Gleichheit (wieder von Abbildungen von ${}G$ nach ${}K$)

${}a_{1}\chi _{1}(g)\chi _{1}+\cdots +a_{n}\chi _{n}(g)\chi _{n}=0\,.$

Für ein beliebiges ${}h\in G$ ist nämlich

${}{\begin{aligned}(a_{1}\chi _{1}(g)\chi _{1}+\cdots +a_{n}\chi _{n}(g)\chi _{n})(h)&=a_{1}\chi _{1}(g)\chi _{1}(h)+\cdots +a_{n}\chi _{n}(g)\chi _{n}(h)\\&=a_{1}\chi _{1}(g\cdot h)+\cdots +a_{n}\chi _{n}(g\cdot h)\\&=0\end{aligned}}$

wegen der Ausgangsgleichung. Wenn man vom ${}\chi _{1}(g)$-fachen der Ausgangsgleichung die zweite Gleichung abzieht, so kann man ${}\chi _{1}$ elimineren und erhält eine nichttriviale (wegen ${}a_{2}\neq 0$ und der Wahl von ${}g$) lineare Relation zwischen ${}\chi _{2},\ldots ,\chi _{n}$ im Widerspruch zur Minimalitätseigenschaft von ${}n$.

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe weiter

1. Bestimme den Zerfällungskörper ${}L$ zum Polynom ${}X^{4}-7\in \mathbb {Q} [X]$.
2. Was ist der Grad ${}\mathbb {Q} \subseteq L$?
3. Ist die Körpererweiterung graduierbar (mit welcher graduierenden Gruppe?).
4. Was sind die homogenen Automorphismen, welche Gruppe bilden sie?
5. Ist die Galoisgruppe ${}\operatorname {Gal} \,(L{|}\mathbb {Q} )$ abelsch?
6. Handelt es sich um eine Kummererweiterung (zu welchem Exponenten)?

Lösung

1. Über den komplexen Zahlen liegt die Faktorzerlegung

   ${}{\begin{aligned}X^{4}-7&={\left(X-{\sqrt[{4}]{7}}\right)}{\left(X+{\sqrt[{4}]{7}}\right)}{\left(X-{\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{7}}\right)}{\left(X+{\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{7}}\right)}\\&={\left(X^{2}-{\sqrt {7}}\right)}{\left(X^{2}+{\sqrt {7}}\right)},\end{aligned}}$

   wobei ${}{\sqrt[{4}]{7}}$ die positive reelle vierte Wurzel der ${}7$ bezeichnet. Die Zerlegung ist korrekt, da in den Linearformen sämtliche vierte Wurzeln aus der ${}7$ vorkommen. Diese vier Wurzeln müssen zum Zerfällungskörper ${}L$ gehören, daher ist insbesondere

   ${}{\frac {{\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{7}}}{\sqrt[{4}]{7}}}={\mathrm {i} }\,$

   ein Element von ${}L$. Es ist also

   ${}L=\mathbb {Q} [{\sqrt[{4}]{7}},{\mathrm {i} }]\,.$

2. Das Polynom ${}X^{4}-7$ ist irreduzibel in ${}\mathbb {Q} [X]$, da die obige reelle Zerlegung in quadratische Polynome nicht rational durchführbar ist. Daher haben im kommutativen Diagramm

   ${\begin{matrix}\mathbb {Q} &{\stackrel {}{\longrightarrow }}&\mathbb {Q} [{\sqrt[{4}]{7}}]&\\\downarrow &&\downarrow &\\\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&L&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

   die horizontalen Erweiterungen den Grad ${}4$ und die vertikalen Erweiterungen den Grad ${}2$ (da ${}\mathbb {Q} [{\sqrt[{4}]{7}}]$ reell ist, gehört die imaginäre Einheit da nicht dazu). Die Gesamterweiterung hat also den Grad ${}8$.

3. Es liegt eine graduierte Körpererweiterung vor, wobei die graduierende Gruppe gleich ${}\mathbb {Z} /(4)\times \mathbb {Z} /(2)$ ist, und wobei ${}{\sqrt[{4}]{7}}$ den Grad ${}(1,0)$ und die imaginäre Einheit den Grad ${}(0,1)$ bekommt.
4. Die Galoisgruppe enthält die Untergruppe ${}H$ der homogenen Automorphismen (die, die von Charakteren herrühren). Diese besteht neben der Identität aus (den durch diese Vorschriften festgelegten)

   ${\sqrt[{4}]{7}}\longmapsto -{\sqrt[{4}]{7}},\,{\mathrm {i} }\longmapsto {\mathrm {i} },$

   ${\sqrt[{4}]{7}}\longmapsto {\sqrt[{4}]{7}},\,{\mathrm {i} }\longmapsto -{\mathrm {i} },$

   ${\sqrt[{4}]{7}}\longmapsto -{\sqrt[{4}]{7}},\,{\mathrm {i} }\longmapsto -{\mathrm {i} },$

   und somit ist ${}H\cong {\left(\mathbb {Z} /(2)\right)}^{2}$.

5. Es sei ${}\psi$ der durch

   ${\sqrt[{4}]{7}}\longmapsto {\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{7}},\,{\mathrm {i} }\longmapsto {\mathrm {i} },$

   festgelegte ${}\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]$-Automorphismus von ${}L$. Es sei ${}\varphi$ der zweite oben (im Display) aufgelistete homogene Automorphismus. Dann ist

   ${}{\left(\psi \circ \varphi \right)}({\sqrt[{4}]{7}})=\psi ({\sqrt[{4}]{7}})={\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{7}}\,$

   und

   ${}{\left(\varphi \circ \psi \right)}({\sqrt[{4}]{7}})=\varphi ({\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{7}})=-{\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{7}}\,.$

   Die Galoisgruppe ist also nicht kommutativ.

6. Da die Galoisgruppe nicht abelsch ist liegt keine Kummererweiterung vor.

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (7 Punkte)

Es sei ${}K\subseteq {\mathbb {C} }$ ein Unterkörper und ${}z\in {\mathbb {C} }$. Es gebe eine endliche Galoiserweiterung ${}K\subseteq M$ mit ${}z\in M$ gibt, deren Grad eine Zweierpotenz sei. Zeige, dass es in ${}{\mathbb {C} }$ eine Körperkette aus quadratischen Körpererweiterungen

${}K=L_{0}\subset L_{1}\subset \ldots \subset L_{r}=L\,$

mit ${}z\in L$ gibt.

Lösung

Es sei also eine Galoiserweiterung ${}K\subseteq M$ mit ${}z\in M$ gegeben, deren Grad eine Zweierpotenz ${}2^{r}$ ist. Wir zeigen durch Induktion nach ${}r$, dass es eine Filtration der Körpererweiterung durch quadratische Körpererweiterungen gibt (also ohne direkten Bezug auf ein ${}z$.). Dabei ist der Fall ${}r=0$ trivial. Es sei also ${}\operatorname {grad} _{K}M=2^{r}$ ($r\geq 1$) und die Existenz von Körperketten für kleinere Exponenten bereits bewiesen. Nach Satz 16.6 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)) ist dann auch die Ordnung der Galoisgruppe ${}G=\operatorname {Gal} \,(M{|}K)$ gleich ${}2^{r}$. Aufgrund von Lemma 26.4 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)) gibt es ein nichttriviales Zentrum ${}Z\subseteq G$, so dass es nach dem Hauptsatz für endliche abelsche Gruppen auch eine Untergruppe ${}H\subseteq Z$ mit zwei Elementen gibt. Als Untergruppe des Zentrums ist ${}H$ ein Normalteiler in ${}G$. Wir betrachten ${}L=\operatorname {Fix} \,(H)\subseteq M$. Nach Satz 16.6 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)) ist ${}\operatorname {grad} _{L}M=2$ und nach Satz 17.5 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)) ist ${}K\subseteq L$ eine Galoiserweiterung der Ordnung ${}2^{r-1}$ und besitzt nach Induktionsvoraussetzung eine Filtration aus quadratischen Körpererweiterungen. Diese Filtration wird durch ${}L\subset M$ zu einer solchen Gesamtfiltration ergänzt.