Kurs:Körper- und Galoistheorie/7/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
Punkte 3 3 0 4 3 6 2 0 12 9 0 2 0 0 1 0 4 5 54




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine Körpererweiterung.
  2. Ein Ideal in einem kommutativen Ring .
  3. Eine algebraische Körpererweiterung .
  4. Der Index einer Untergruppe in einer Gruppe .
  5. Die iterierte Kommutatorgruppe einer Gruppe .
  6. Ein aus einer Teilmenge einer Ebene elementar konstruierbarer Kreis .


Lösung

  1. Sei ein Körper und ein Unterkörper von . Dann heißt die Inklusion heißt eine Körpererweiterung.
  2. Ein Ideal ist eine nichtleere Teilmenge , für die die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind:
    1. Für alle ist auch .
    2. Für alle und ist auch .
  3. Die Körpererweiterung heißt algebraisch, wenn jedes Element algebraisch über ist.
  4. Der Index ist die Anzahl der (Links- oder Rechts-)Nebenklassen von in .
  5. Die -te iterierte Kommutatoruntergruppe wird induktiv durch

    definiert.

  6. Ein Kreis heißt aus elementar konstruierbar, wenn es zwei Punkte , , derart gibt, dass der Kreis mit dem Mittelpunkt und durch den Punkt gleich ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die Summe der Einheitswurzeln.
  2. Der Satz von Artin über Fixkörper.
  3. Das Austauschlemma für Transzendenzbasen.


Lösung

  1. Für jede -te Einheitswurzel gilt
  2. Es sei ein Körper und sei eine [[{{:MDLUL/{{Expansion depth limit exceeded|dient dazu, einen bestimmten mathematischen Begriff, wie er in einem mathematischen Text vorkommt, auf die gemeinte Definition umzuleiten, um dadurch einen funktionierenden Link zu erzeugen.}}Start= {{Expansion depth limit exceeded|Siehe=
    MDLUL/
    Ziel=[[{{Expansion depth limit exceeded|opt=Ziel}}]]|Ziel=[[]]}}|opt=Ziel}}|endliche]] Untergruppe der Automorphismengruppe von . Es sei . Dann ist
  3. Es sei ein Grundkörper und eine Körpererweiterung mit [[{{:MDLUL/{{Expansion depth limit exceeded|dient dazu, einen bestimmten mathematischen Begriff, wie er in einem mathematischen Text vorkommt, auf die gemeinte Definition umzuleiten, um dadurch einen funktionierenden Link zu erzeugen.}}Start= {{Expansion depth limit exceeded|Siehe=
    MDLUL/
    Ziel=[[{{Expansion depth limit exceeded|opt=Ziel}}]]|Ziel=[[]]}}|opt=Ziel}}|endlichen Transzendenzbasen]] und . Dann gibt es zu jedem Element der ersten Transzendenzbasis ein Element der zweiten Transzendenzbasis derart, dass ebenfalls eine Transzendenzbasis ist.


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass das Polynom

über irreduzibel ist.


Lösung

Nach Aufgabe 3.14 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)) genügt es zu zeigen, dass keine rationale Nullstelle besitzt. Nehmen wir an, dass

eine Nullstelle ist mit in gekürzter Darstellung. Es gilt dann

bzw.

Wenn eine Primzahl die Zahl teilt, folgt daraus, dass auch von geteilt wird, was der Gekürztheit widerspricht. Wegen ist auch . Also muss eine Einheit sein. Wenn von einer Primzahl geteilt wird, so wäre auch ein Vielfaches von . Also ist auch eine Einheit. Die verbleibenden Möglichkeiten , also , sind keine Nullstelle des Polynoms, wie Einsetzen zeigt.


Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass in einem Hauptidealbereich ein irreduzibles Element prim ist.


Lösung

Sei irreduzibel, und nehmen wir an, dass das Produkt teilt, sagen wir . Nehmen wir an, dass kein Vielfaches von ist. Dann sind aber und teilerfremd, da eine echte Inklusionskette der Irreduzibilität von widerspricht. Damit teilt nach dem Lemma von Euklid den anderen Faktor .


Aufgabe (6 Punkte)

Beweise den Homomorphiesatz für Gruppen.


Lösung

Wir zeigen zuerst die Eindeutigkeit. Für jedes Element gibt es mindestens ein mit . Wegen der Kommutativität des Diagramms muss

gelten. Das bedeutet, dass es maximal ein geben kann.
Wir haben zu zeigen, dass durch diese Bedingung eine wohldefinierte Abbildung gegeben ist. Seien also zwei Urbilder von . Dann ist

und somit ist . Daher ist . Die Abbildung ist also wohldefiniert. Seien und seien Urbilder davon. Dann ist ein Urbild von und daher ist

D.h. ist ein Gruppenhomomorphismus.


Aufgabe (2 Punkte)

Erstelle die Multiplikationsmatrix zum Element in der kubischen Körpererweiterung


Lösung

Es ist

und

Die beschreibende Matrix ist also


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (12 (2+1+1+3+5) Punkte)

Es sei eine ungerade Primzahl. Es sei und ein Nichtquadrat.

  1. Zeige
  2. Zeige, dass es eine Kette von rein-quadratischen Erweiterungen

    gibt.

  3. Zeige, dass die Restklasse von in ein Quadrat ist.
  4. Es sei nun . Zeige, dass die Restklasse von in ein Nichtquadrat ist.
  5. Es sei und sei ein Nichtquadrat. Zeige, dass für alle irreduzibel ist.


Lösung

  1. Wenn ein Nichtquadrat ist, so besitzt das Polynom keine Nullstelle und ist daher irreduzibel. Nach Fakt ***** ist somit ein Körper mit Elementen, also ein Modell des eindeutig bestimmten Körpers .
  2. Dies folgt unmittelbar aus Teil (1), da es in jedem endlichen Körper ungerader Charakteristik Nichtquadrate gibt und somit die sukzessiven quadratischen Erweiterungen durch die Aufnahme einer Quadratwurzel beschrieben werden kann.
  3. In ist
  4. Nehmen wir an, dass ein Quadrat ist. Jedes Element in besitzt eine eindeutige Darstellung der Form mit . Also wäre

    Somit ist und sind Einheiten. Aus folgt

    Da bei die ein Quadrat ist, wäre also ein Quadrat im Widerspruch zur Voraussetzung.

  5. Wir beweisen die Aussage, dass

    ein Körper und dass darin die Restklasse von kein Quadrat ist, durch Induktion über . Für ergibt sich die Aussage aus Teil (1) und (4). Sei die Aussage nun für ein bewiesen. Es ist

    und, da kein Quadrat darin ist, ist

    ein Körper mit Elementen. Wir betrachten den Restklassenring

    Durch

    ist ein Einsetzungshomomorphismus gegeben, der den Homomorphismus

    induziert. Dieser ist injektiv, da links ein Körper steht. Durch

    ist ein Einsetzungshomomorphismus gegeben, der den Homomorphismus

    induziert. Dieser ist surjektiv, da im Bild ist und injektiv, da links ein Körper steht. Also ist ein Körper. Da die Restklasse von dabei entspricht, ist sie kein Quadrat nach Teil (4).


Aufgabe (9 Punkte)

Beweise den Satz über einfache Körpererweiterungen und Zwischenkörper.


Lösung

Wenn ein endlicher Körper ist, so ist auch endlich und die Voraussetzung über die endlich vielen Zwischenkörper ist automatisch erfüllt. In diesem Fall ist aber auch nach Satz 9.6 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)) die Körpererweiterung einfach. Wir können also annehmen, dass unendlich ist. Sei zunächst vorausgesetzt, dass es in nur endlich viele Zwischenkörper gibt. Sei . Jeder von verschiedene Zwischenkörper , , ist ein maximal -dimensionaler -Untervektorraum von und daher gibt es eine von verschiedene -lineare Abbildung

mit . Zu gehört ein lineares Polynom (in Variablen) mit der entsprechenden Eigenschaft. Das Polynom ist dann auf der Vereinigung aller Zwischenkörper gleich . Da unendlich ist, gibt es aber nach Aufgabe 13.26 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)) auch Elemente mit . Der von einem solchen Element über erzeugte Körper muss gleich sein, da er nach Konstruktion in keinem anderen Zwischenkörper liegt.

Sei nun

eine einfache Körpererweiterung mit dem Minimalpolynom . Für jeden Zwischenkörper , , ist und das Minimalpolynom von über ist in und insbesondere in ein Teiler von . Nach Lemma 13.12 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)) besteht die Beziehung , wobei die die Koeffizienten von sind. Da in nur endlich viele (normierte) Teiler besitzt, gibt es nur endlich viele Zwischenkörper.


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (2 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für Zwischenkörper

in einem Kreisteilungskörper , die beide die gleichen -ten Einheitswurzeln enthalten, aber verschieden sind.


Lösung

Wir wählen und und . Beide Körper enthalten (als Unterkörper der reellen Zahlen) lediglich die beiden vierten Einheitswurzeln und . Nach Beispiel 19.5 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)) ist , aber , weshalb die beiden Körper verschieden sind.


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (1 Punkt)

Erstelle eine Kreisgleichung für den Kreis im mit Mittelpunkt , der durch den Punkt läuft.


Lösung

Der Abstand der beiden Punkte ist

Die Kreisgleichung ist somit


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass man aus dem Einheitskreis

als Startmenge den gesamten mit Zirkel und Lineal konstruieren kann.


Lösung

Insbesondere gehören die Punkte zur Startmenge. Insbesondere lassen sich die - und die -Achse (als Geraden) konstruieren. Somit lässt sich auch konstruieren und damit auch . Zu jeder reellen Zahl gehört der Punkt zum Einheitskreis. Die zur -Achse parallele Gerade durch diesen Punkt ist konstruierbar und schneidet die -Achse im Punkt . Somit ist jeder Punkt des Einheitsintervalles konstruierbar. Da man jede reelle Zahl als

mit und schreiben kann, und mit zwei Zahlen auch deren Summe konstruierbar ist, lassen sich überhaupt alle reellen Zahlen aus dem Einheitskreis konstruieren. Mit dem Zirkel lässt sich jede reelle Zahl auf die -Achse umschlagen. Somit lässt sich wie im Beweis zu Lemma 24.7 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)) überhaupt jeder Punkt konstruieren.


Aufgabe (5 Punkte)

Es seien und Körpererweiterungen. Es sei eine algebraisch unabhängig über und algebraisch unabhängig über . Zeige, dass die Familie

algebraisch unabhängig über ist.


Lösung

Wir betrachten ein Polynom mit

und müssen zeigen, dass es sich um das Nullpolynom handelt. Wir schreiben in Multiindexschreibweise

Wenn wir die Variablen durch ersetzen, so erhalten wir ein Polynom

das, wenn man die durch ersetzt, ergibt. Da die algebraisch unabhängig über sind, folgt, dass das Nullpolynom ist. Das bedeutet für jedes , dass

ist. Da die algebraisch unabhängig über sind, folgt, dass für jedes die Polynome die Nullpolynome sind. Dies bedeutet für alle Paare , also ist das Nullpolynom.