Lösung
- Es sei
ein
Körper
und
ein
Unterkörper
von
. Dann heißt die Inklusion
heißt eine Körpererweiterung.
- Ein Ideal ist eine nichtleere Teilmenge
, für die die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind:
- Für alle
ist auch
.
- Für alle
und
ist auch
.
- Die
Körpererweiterung
heißt algebraisch, wenn jedes Element
algebraisch
über
ist.
- Der Index ist die Anzahl der
(Links- oder Rechts-)Nebenklassen
von
in
.
- Die
-te iterierte Kommutatoruntergruppe wird induktiv durch
-
definiert.
- Ein Kreis
heißt aus
elementar konstruierbar, wenn es zwei Punkte
,
,
derart gibt, dass der Kreis mit dem Mittelpunkt
und durch den Punkt
gleich
ist.
Formuliere die folgenden Sätze.
- Der Satz über die Summe der Einheitswurzeln.
- Der
Satz von Artin
über Fixkörper.
- Das Austauschlemma für Transzendenzbasen.
Lösung
- Für jede
-te
Einheitswurzel
gilt
-

- Es sei
ein
Körper und sei
eine
endliche
Untergruppe
der
Automorphismengruppe
von
. Es sei
.
Dann ist
-

- Es sei
ein Grundkörper und
eine
Körpererweiterung
mit
endlichen Transzendenzbasen
und
.
Dann gibt es zu jedem Element
der ersten Transzendenzbasis ein Element
der zweiten Transzendenzbasis derart, dass
ebenfalls eine Transzendenzbasis ist.
Lösung /Aufgabe/Lösung
Zeige, dass das Polynom
-
über
irreduzibel
ist.
Lösung
Nach
Aufgabe 3.14 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019))
genügt es zu zeigen, dass
keine rationale Nullstelle besitzt. Nehmen wir an, dass
-

eine Nullstelle ist mit
in gekürzter Darstellung. Es gilt dann
-

bzw.
-

Wenn eine Primzahl
die Zahl
teilt, folgt daraus, dass auch
von
geteilt wird, was der Gekürztheit widerspricht. Wegen
ist auch
.
Also muss
eine Einheit sein. Wenn
von einer Primzahl
geteilt wird, so wäre auch
ein Vielfaches von
. Also ist auch
eine Einheit. Die verbleibenden Möglichkeiten
, also
,
sind keine Nullstelle des Polynoms, wie Einsetzen zeigt.
Lösung
Beweise den Homomorphiesatz für Gruppen.
Lösung
Wir zeigen zuerst die Eindeutigkeit. Für jedes Element
gibt es mindestens ein
mit
.
Wegen der Kommutativität des Diagramms muss
-

gelten. Das bedeutet, dass es maximal ein
geben kann.
Wir haben zu zeigen, dass durch diese Bedingung eine wohldefinierte Abbildung gegeben ist. Es seien also
zwei Urbilder von
. Dann ist
-

und somit ist
.
Daher ist
.
Die Abbildung ist also wohldefiniert. Seien
und seien
Urbilder davon. Dann ist
ein Urbild von
und daher ist
-

D.h.
ist ein Gruppenhomomorphismus.
Erstelle die Multiplikationsmatrix zum Element
in der kubischen Körpererweiterung
-
![{\displaystyle {}\mathbb {Q} =\mathbb {Q} [X]/{\left(X^{3}+5X^{2}-7X+6\right)}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a032bf3d26f1b5a2129b1ac6804c091b125510d)
Lösung
Es ist

und

Die beschreibende Matrix ist also
-
Lösung /Aufgabe/Lösung
Lösung
- Wenn
ein Nichtquadrat ist, so besitzt das Polynom
keine Nullstelle und ist daher irreduzibel. Nach
Fakt *****
ist somit
ein Körper mit
Elementen, also ein Modell des eindeutig bestimmten Körpers
.
- Dies folgt unmittelbar aus Teil (1), da es in jedem endlichen Körper ungerader Charakteristik Nichtquadrate gibt und somit die sukzessiven quadratischen Erweiterungen durch die Aufnahme einer Quadratwurzel beschrieben werden kann.
- In
ist
-

- Nehmen wir an, dass
ein Quadrat ist. Jedes Element in
besitzt eine eindeutige Darstellung der Form
mit
. Also wäre
-

Somit ist
und
sind Einheiten. Aus
folgt
-

Da bei
die
ein Quadrat ist, wäre also
ein Quadrat im Widerspruch zur Voraussetzung.
- Wir beweisen die Aussage, dass
-
ein Körper und dass darin die Restklasse von
kein Quadrat ist, durch Induktion über
. Für
ergibt sich die Aussage aus Teil (1) und (4). Es sei die Aussage nun für ein
bewiesen. Es ist
-
![{\displaystyle {}{\mathbb {F} }_{p^{2^{n}}}\cong {\mathbb {F} }_{p}[Y]/(Y^{2^{n}}-a)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca3e0a563643e8bda0634b186c3781ba3019dfaf)
und, da
kein Quadrat darin ist, ist
-
![{\displaystyle {}({\mathbb {F} }_{p}[Y]/(Y^{2^{n}}-a))[Z]/{\left(Z^{2}-y\right)}={\mathbb {F} }_{{\left(p^{2^{n}}\right)}^{2}}={\mathbb {F} }_{p^{2^{n+1}}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14b3e30505c7a1dcc5d959f9b88b466215bd1a76)
ein Körper mit
Elementen. Wir betrachten den Restklassenring
-
Durch
-
ist ein Einsetzungshomomorphismus gegeben, der den Homomorphismus
-
induziert. Dieser ist injektiv, da links ein Körper steht. Durch
-
ist ein Einsetzungshomomorphismus gegeben, der den Homomorphismus
-
induziert. Dieser ist surjektiv, da
im Bild ist und injektiv, da links ein Körper steht. Also ist
ein Körper. Da die Restklasse von
dabei
entspricht, ist sie kein Quadrat nach Teil (4).
Beweise den Satz über einfache Körpererweiterungen und Zwischenkörper.
Lösung
Wenn
ein
endlicher Körper
ist, so ist auch
endlich und die Voraussetzung über die endlich vielen Zwischenkörper ist automatisch erfüllt. In diesem Fall ist aber auch nach
Satz 9.6 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019))
die Körpererweiterung einfach. Wir können also annehmen, dass
unendlich ist. Es sei zunächst vorausgesetzt, dass es in
nur endlich viele Zwischenkörper gibt. Sei
.
Jeder von
verschiedene Zwischenkörper
,
,
ist ein maximal
-dimensionaler
-
Untervektorraum
von
und daher gibt es eine von
verschiedene
-
lineare Abbildung
-
mit
.
Zu
gehört ein lineares Polynom
(in
Variablen)
mit der entsprechenden Eigenschaft. Das Polynom
ist dann auf der Vereinigung aller Zwischenkörper
gleich
. Da
unendlich ist, gibt es aber nach
Aufgabe 13.26 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019))
auch Elemente
mit
.
Der von einem solchen Element
über
erzeugte Körper muss gleich
sein, da er nach Konstruktion in keinem anderen Zwischenkörper liegt.
Es sei nun
-
![{\displaystyle {}L=K(x)=K[x]=K[X]/(F)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/479e0dcad8277cb3441c04c6ace0b80459fe5079)
eine einfache Körpererweiterung mit dem
Minimalpolynom
. Für jeden Zwischenkörper
,
,
ist
und das Minimalpolynom
von
über
ist in
und insbesondere in
ein Teiler von
. Nach
Lemma 13.12 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019))
besteht die Beziehung
,
wobei die
die Koeffizienten von
sind. Da
in
nur endlich viele
(normierte)
Teiler besitzt, gibt es nur endlich viele Zwischenkörper.
Lösung /Aufgabe/Lösung
Man gebe ein Beispiel für Zwischenkörper
-

in einem
Kreisteilungskörper
, die beide die gleichen
-ten Einheitswurzeln enthalten, aber verschieden sind.
Lösung
Lösung /Aufgabe/Lösung
Lösung /Aufgabe/Lösung
Lösung
Der Abstand der beiden Punkte ist
-

Die Kreisgleichung ist somit
-
Lösung /Aufgabe/Lösung
Zeige, dass man aus dem Einheitskreis
-

als Startmenge den gesamten
mit Zirkel und Lineal konstruieren
kann.
Lösung
Insbesondere gehören die Punkte
zur Startmenge. Insbesondere lassen sich die
- und die
-Achse
(als Geraden)
konstruieren. Somit lässt sich auch
konstruieren und damit auch
. Zu jeder reellen Zahl
gehört der Punkt
zum Einheitskreis. Die zur
-Achse parallele Gerade durch diesen Punkt ist konstruierbar und schneidet die
-Achse im Punkt
. Somit ist jeder Punkt des Einheitsintervalles konstruierbar. Da man jede reelle Zahl
als
-

mit
und
schreiben kann, und mit zwei Zahlen auch deren Summe konstruierbar ist, lassen sich überhaupt alle reellen Zahlen aus dem Einheitskreis konstruieren. Mit dem Zirkel lässt sich jede reelle Zahl auf die
-Achse umschlagen. Somit lässt sich wie im Beweis zu
Lemma 24.7 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019))
überhaupt jeder Punkt konstruieren.
Es seien
und
Körpererweiterungen.
Es sei
eine
algebraisch unabhängig
über
und
algebraisch unabhängig über
. Zeige, dass die Familie
-

algebraisch unabhängig über
ist.
Lösung
Wir betrachten ein Polynom
mit
-

und müssen zeigen, dass es sich um das Nullpolynom handelt. Wir schreiben in Multiindexschreibweise
-

Wenn wir die Variablen
durch
ersetzen, so erhalten wir ein Polynom
-
![{\displaystyle {}P{\left(f_{1},\ldots ,f_{r}\right)}\in K{\left(f_{1},\ldots ,f_{r}\right)}[Y_{1},\ldots ,Y_{s}]\subseteq L[Y_{1},\ldots ,Y_{s}]\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8503d4bbd3eed7b93f541eacb800da6a328c13a3)
das, wenn man die
durch
ersetzt,
ergibt. Da die
algebraisch unabhängig über
sind, folgt, dass
das Nullpolynom ist. Das bedeutet für jedes
, dass
-

ist. Da die
algebraisch unabhängig über
sind, folgt, dass für jedes
die Polynome
die Nullpolynome sind. Dies bedeutet
für alle Paare
, also ist
das Nullpolynom.