Kurs:Körper- und Galoistheorie/8/Klausur mit Lösungen

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen



Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
Punkte 3 3 0 0 0 4 0 0 5 5 0 3 0 3 4 0 4 3 37




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine endliche Körpererweiterung .
  2. Ein Hauptideal in einem kommutativen Ring .
  3. Der Kern eines Gruppenhomomorphismus
  4. Eine separable Körpererweiterung .
  5. Ein aus einer Teilmenge einer Ebene konstruierbarer Punkt .
  6. Eine Transzendenzbasis für eine Körpererweiterung .


Lösung

  1. Eine Körpererweiterung heißt endlich, wenn ein endlichdimensionaler Vektorraum über ist.
  2. Ein Ideal in einem kommutativen Ring der Form

    heißt Hauptideal.

  3. Man nennt das Urbild des neutralen Elementes unter einem Gruppenhomomorphismus den Kern von .
  4. Eine endliche Körpererweiterung heißt separabel, wenn für jedes Element das Minimalpolynom separabel ist.
  5. Ein Punkt heißt aus konstruierbar, wenn es eine Folge von Punkten

    derart gibt, dass jeweils aus in einem Schritt konstruierbar ist.

  6. Man sagt, dass die Familie eine Transzendenzbasis von über ist, wenn die algebraisch unabhängig sind und eine algebraische Körpererweiterung ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über den Kern eines Ringhomomorphismus.
  2. Der Satz über die Charakterisierung von endlichen Galoiserweiterungen.
  3. Der Satz über die Koeffizienten der Kreisteilungspolynome.


Lösung

  1. Der Kern zu einem Ringhomomorphismus ist ein Ideal.
  2. Sei eine endliche Körpererweiterung und sei die Galoisgruppe. Dann sind folgende Eigenschaften äquivalent.
    1. Die Körpererweiterung ist eine Galoiserweiterung.
    2. Es ist .
    3. Die Körpererweiterung ist normal und separabel.
    4. ist Zerfällungskörper eines separablen Polynoms .
  3. Die Koeffizienten der Kreisteilungspolynome liegen in .


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (4 Punkte)

Beweise das Kernkriterium für die Injektivität eines Gruppenhomomorphismus


Lösung

Wenn injektiv ist, so darf auf jedes Element höchstens ein Element aus gehen. Da auf geschickt wird, darf kein weiteres Element auf gehen, d.h. . Sei umgekehrt dies der Fall und sei angenommen, dass beide auf geschickt werden. Dann ist

und damit ist , also nach Voraussetzung und damit .


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (5 Punkte)

Sei ein Körper der Charakteristik und sei eine endliche Körpererweiterung vom Grad und sei eine -Basis von . Zeige, dass dann


Lösung

Sei angenommen, dass die Diskriminante ist. Das bedeutet, dass das durch die Matrix definierte lineare Gleichungssystem eine nicht-triviale Lösung besitzt. Es ist also

für alle . Sei . Dann ist für jedes

Da eine Einheit in ist, ist auch , , eine Basis und es folgt, dass die Spur auf dieser Basis und somit überall den Wert hat. Dies ist aber in Charakteristik wegen Lemma 8.8 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019))  (2) nicht möglich.


Aufgabe (5 Punkte)

Finde ein primitives Element in und in . Man gebe ferner ein Element der Ordnung und ein Element der Ordnung in an. Gibt es Elemente der Ordnung und der Ordnung auch in ?


Lösung

In betrachten wir das Element . Die Ordnung von ist ein Teiler von . Es ist und , so dass die Ordnung ist, also ist primitiv.

Wir betrachten in . Dieser Ring hat Einheiten, also ist die Ordnung von ein Teiler von . Andererseits folgt aus , dass auch ist. Dann muss ein Vielfaches von sein. An möglichen Ordnungen bleiben also oder . Es ist . Also ist die Ordnung und ist primitiv modulo .

Damit hat die Ordnung und hat die Ordnung .

ist ein Körper und die Einheitengruppe ist zyklisch der Ordnung . Daher gibt es dort Elemente der Ordnung , aber nicht der Ordnung .


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei und der Zerfällungskörper zu . Zeige, dass die komplexe Konjugation den Körper in sich überführt, also ein Element in der Galoisgruppe definiert.


Lösung

Es seien die komplexen Nullstellen von , die den Zerfällungskörper erzeugen. Ein beliebiges Element ist ein polynomialer Ausdruck in den mit Koeffizienten aus . Für die komplexe Konjugation gilt dabei

da rationalen Zahlen auf sich abgebildet werden. Wegen

ist mit auch eine Nullstelle von . Daher ist stets und somit auch . Die komplexe Konjugation von gehört also wieder zu .


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (3 Punkte)

Sei . Zeige, dass die eulersche Funktion die Gleichheit

für erfüllt.


Lösung

Es sei

die kanonische Primfaktorzerlegung von mit verschiedene Primfaktoren. Dann ist

nach Lemma 19.7 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)). Entsprechend ist


Aufgabe (4 Punkte)

Realisiere die folgenden Gruppen als Galoisgruppe einer geeigneten Körpererweiterung .

  1. ,
  2. ,
  3. ,
  4. .


Lösung

Wir verwenden die Kreisteilungskörper , deren Galoisgruppe gleich ist.

  1. Der Kreisteilungskörper besitzt die Galoisgruppe .
  2. Der Kreisteilungskörper besitzt die Galoisgruppe .
  3. Der Kreisteilungskörper besitzt die Galoisgruppe .
  4. Der Kreisteilungskörper besitzt die Galoisgruppe . Es sei der Kern des surjektiven Gruppenhomomorphismus

    Dann ist nach Satz 17.5 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)) eine Galoiserweiterung mit der Restklassengruppe als Galoisgruppe.


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (4 Punkte)

Skizziere, wie man zu einer quadratischen Gleichung

mit aus den gegebenen Parametern die reellen Lösungen der Gleichung mit Zirkel und Lineal konstruieren kann.


Lösung

Quadratische Gleichung Geometrische Loesung.png

Die Parameter seien als Punkte der -Achse gegeben. Wir tragen die Punkte auf der -Achse und ebenso auf der -Achse ein. Die Verbindungsgerade zu den Punkten und sei mit bezeichnet, ihre Gleichung ist

(diese Gleichung ist auch bei zu nehmen). Man konstruiert nun die Zahl gemäß Lemma 24.10 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)). Damit kann man auch den Kreis mit dem Nullpunkt als Mittelpunkt und diesem Radius konstruieren, die zugehörige Kreisgleichung ist

Es sei ein Schnittpunkt der Geraden und des Kreises. Dann ist

Nach dem Satz von Vieta (genauer der Umkehrung) sind und die Lösungen der quadratischen Gleichung.


Aufgabe (3 Punkte)

Beweise die Klassengleichung.


Lösung

Die Konjugationsklassen sind Äquivalenzklassen, daher bilden sie eine Zerlegung von . Die Summe der Anzahl der Elemente in den Konjugationsklassen ist daher gleich der Ordnung von . Die einelementigen Konjugationsklassen entsprechen dabei den Elementen im Zentrum der Gruppe.