Kurs:Lineare Algebra/Teil I/20/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Punkte 3 3 1 4 4 4 2 6 8 4 3 7 6 2 2 5 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Der Durchschnitt zu einer Mengenfamilie , , in einer Grundmenge .
  2. Die Umkehrabbildung zu einer bijektiven Abbildung .
  3. Die Determinante einer -Matrix .
  4. Der Eigenraum zu und einem Endomorphismus

    auf einem -Vektorraum .

  5. Eine nilpotente lineare Abbildung

    auf dem -Vektorraum .

  6. Ein affines Erzeugendensystem eines affinen Unterraumes in einem affinen Raum .


Lösung

  1. Man nennt

    den Durchschnitt der Mengenfamilie.

  2. Die Abbildung

    die jedes Element auf das eindeutig bestimmte Element mit abbildet, heißt die Umkehrabbildung zu .

  3. Zu sei diejenige -Matrix, die entsteht, wenn man in die erste Spalte und die -te Zeile weglässt. Dann definiert man rekursiv die Determinante von durch
  4. Man nennt

    den Eigenraum von zum Wert .

  5. Die lineare Abbildung

    heißt nilpotent, wenn es eine natürliche Zahl derart gibt, dass die -te Hintereinanderschaltung

    ist.

  6. Eine Familie von Punkten , , heißt affines Erzeugendensystem von , wenn der kleinste affine Unterraum von ist, der alle Punkte umfasst.


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Basisergänzungssatz.
  2. Der Satz über die Verknüpfung linearer Abbildungen
  3. Der Satz von der kanonischen additiven Zerlegung für eine trigonalisierbare Abbildung.


Lösung

  1. Es sei ein Körper und ein endlichdimensionaler -Vektorraum der Dimension . Es seien

    linear unabhängige Vektoren in . Dann gibt es Vektoren

    derart, dass

    eine Basis

    von bilden.
  2. Es sei ein Körper und seien Vektorräume über . Es seien

    lineare Abbildungen. Dann ist auch die Verknüpfung

    eine lineare Abbildung.

  3. Sei

    ein trigonalisierbarer -Endomorphismus auf dem endlichdimensionalen -Vektorraum . Dann gibt es eine Zerlegung

    wobei diagonalisierbar, nilpotent und zusätzlich

    gilt.


Aufgabe (1 Punkt)

Negiere die Aussage „Martina findet alle Jungs im Kurs außer Markus zuckersüß“ durch eine Aussage, in der eine Existenzaussage und eine Oder-Verknüpfung vorkommen.


Lösung

Martina findet Markus zuckersüß oder es gibt im Kurs einen von Markus verschiedenen Jungen, den sie nicht zuckersüß findet.


Aufgabe (4 (2+2) Punkte)

Wir betrachten das kommutative Diagramm

von Mengen und Abbildungen, d.h. es gilt

Es seien und bijektiv.

  1. Zeige, dass genau dann injektiv ist, wenn injektiv ist.
  2. Zeige, dass genau dann surjektiv ist, wenn surjektiv ist.


Lösung

  1. Sei injektiv, es ist zu zeigen, dass auch injektiv ist. Aufgrund der Kommutativität des Diagramms und der Bijektivität von ist

    Somit ist als Verknüpfung von drei injektiven Abbildungen wieder injektiv. Wenn man im Diagramm und durch ihre Umkehrabbildungen ersetzt, so sieht man, dass auch die andere Implikation gilt.

  2. Sei surjektiv, es ist zu zeigen, dass auch surjektiv ist. Aufgrund der Kommutativität des Diagramms und der Bijektivität von ist

    Somit ist als Verknüpfung von drei surjektiven Abbildungen wieder surjektiv. Wenn man im Diagramm und durch ihre Umkehrabbildungen ersetzt, so sieht man, dass auch die andere Implikation gilt.


Aufgabe (4 Punkte)

Löse das inhomogene Gleichungssystem


Lösung

Wir eliminieren zuerst die Variable , indem wir die erste Gleichung von der vierten Gleichung abziehen. Dies führt auf

Nun eliminieren wir die Variable , indem wir (bezogen auf das vorhergehende System) und ausrechnen. Dies führt, nachdem wir die neue erste Gleichung durch sieben teilen, auf

Mit ergibt sich

und

Rückwärts gelesen ergibt sich

und


Aufgabe (4 Punkte)

Es seien -Matrizen und gegeben. Das Produkt ergibt sich mit der üblichen Multiplikationsregel „Zeile x Spalte“, bei der man insgesamt Multiplikationen im Körper ausführen muss. Wir beschreiben, wie man diese Matrixmultiplikation mit nur Multiplikationen (aber mit mehr Additionen) durchführen kann. Wir setzen

Zeige, dass für die Koeffizienten der Produktmatrix

die Gleichungen

gelten.


Lösung

Es ist

gelten.


Aufgabe (2 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für einen Körper , eine kommutative Gruppe und eine Abbildung

derart, dass diese Struktur alle Vektorraumaxiome außer

erfüllt.


Lösung

Es sei ein beliebiger Körper. Wir betrachten die „Skalarmultiplikation“

die jedes Paar auf abbildet. Dann ist

und somit ist das letzte Vektorraumaxiom nicht erfüllt. Alle anderen Vektorraumaxiome sind hingegen erfüllt, da jeweils auf beiden Seiten stets steht.


Aufgabe (6 Punkte)

Wir betrachten die letzte Ziffer im kleinen Einmaleins (ohne die Zehnerreihe) als eine Familie von Tupeln der Länge , also die Zeilenvektoren in der Matrix

Welche Dimension besitzt der durch diese Tupel aufgespannte Untervektorraum des ?


Lösung

Die Zeilen der Matrix seien mit bezeichnet. Es ist

und

Somit tragen die achte und die neunte Zeile nichts zur Vektorraumdimension bei, da sie in dem von den ersten sieben Zeilen erzeugten Untervektorraum liegen. Ferner zeigen diese Gleichungen, dass man die siebte Zeile durch die Zeile

und die sechste Zeile (durch und damit) durch

ersetzen kann. Wir berechnen

und bezeichnen hinfort die mit multiplizierten Vektoren mit . Es ist

In der Reihenfolge

sind diese Vektoren in oberer Dreiecksgestalt und somit ist die Dimension gleich .


Aufgabe (8 Punkte)

Beweise den Festlegungssatz für lineare Abbildungen.


Lösung

Da sein soll und eine lineare Abbildung für jede Linearkombination die Eigenschaft

erfüllt, und jeder Vektor sich als eine solche Linearkombination schreiben lässt, kann es maximal nur eine solche lineare Abbildung geben.
Wir definieren nun umgekehrt eine Abbildung

indem wir jeden Vektor mit der gegebenen Basis als

schreiben (wobei ist für fast alle ) und

ansetzen. Da die Darstellung von als eine solche Linearkombination eindeutig ist, ist diese Abbildung wohldefiniert.
Zur Linearität. Für zwei Vektoren und gilt


Die Verträglichkeit mit der skalaren Multiplikation ergibt sich ähnlich, siehe Aufgabe *****.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

Finde Elementarmatrizen derart, dass die Einheitsmatrix ist.


Lösung

Wir multiplizieren die gegebene Matrix nacheinander mit Elementarmatrizen, bis sich die Einheitsmatrix ergibt. Es ist

Somit ist insgesamt


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei das Bild der Abbildung

Skizziere die Bilder von unter den Projektionen auf die verschiedenen Koordinatenebenen.


Lösung Projektionen/t t^2 t^3/Skizziere/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (7 Punkte)


Lösung

Wir fixieren die Matrix . Es sei zunächst . Dann ist nach Satz 16.11 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)) die Matrix nicht invertierbar und damit ist auch nicht invertierbar und somit wiederum . Sei nun invertierbar. In diesem Fall betrachten wir die wohldefinierte Abbildung

Wir wollen zeigen, dass diese Abbildung gleich der Abbildung ist, indem wir die die Determinante charakterisierenden Eigenschaften nachweisen und Satz 17.3 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)) anwenden. Wenn die Zeilen von sind, so ergibt sich , indem man auf die Zeilen die Determinante anwendet und mit multipliziert. Daher folgt die Multilinearität und die alternierende Eigenschaft aus Aufgabe 16.28 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)). Wenn man mit startet, so ist und daher ist



Aufgabe (6 (1+1+1+2+1) Punkte)

Wir betrachten die durch die Wertetabelle

gegebene Abbildung von in sich selbst.

  1. Erstelle eine Wertetabelle für .
  2. Erstelle eine Wertetabelle für .
  3. Begründe, dass sämtliche iterierten Hintereinanderschaltungen bijektiv sind.
  4. Bestimme für jedes das minimale mit der Eigenschaft, dass

    ist.

  5. Bestimme das minimale mit der Eigenschaft, dass

    für alle ist.


Lösung

  1. Es ist
  2. Es ist
  3. Aus der Wertetabelle kann man unmittelbar entnehmen, dass bijektiv ist. Nach Fakt *****  (3) sind dann sämtliche Hintereinanderschaltungen der Abbildung mit sich selbst wieder bijektiv.
  4. Die Abbildungsvorschrift bewirkt

    und

    Für ist also und für ist .

  5. Bei sind nach Teil (4) die Zahlen wieder an ihrer Stelle, aber auch sind an ihrer Stelle, da ein Vielfaches von ist.


Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme für das Polynom

den Grad, den Leitkoeffizienten, den Leitterm und den Koeffizienten zu .


Lösung

Der Grad ist , der Leitkoeffizient ist , der Leitterm ist und der Koeffizient zu ist .


Aufgabe (2 Punkte)

Es sei eine -Matrix über einem Körper . Zeige, dass genau dann trigonalisierbar ist, wenn einen Eigenvektor besitzt.


Lösung

Wenn trigonalisierbar ist, so zerfällt das charakteristische Polynom zu in Linearfaktoren und hat somit insbesondere Nullstellen, welche wiederum Eigenwerte sind, wozu auch Eigenvektoren gehören. Wenn umgekehrt einen Eigenvektor besitzt, so auch einen Eigenwert und damit besitzt das charakteristische Polynom eine Nullstelle, sagen wir . Dies bedeutet, dass das charakteristische Polynom von geteilt wird. Es ist also

Da das charakteristische Polynom den Grad besitzt, muss der andere Faktor ebenfalls ein Linearfaktor sein. Somit zerfällt das charakteristische Polynom in Linearfaktoren und ist trigonalisierbar.


Aufgabe (5 Punkte)

Wir betrachten die drei Ebenen im , die durch die folgenden Gleichungen beschrieben werden.

Bestimme sämtliche Punkte .


Lösung

Wir betrachten das lineare Gleichungssystem

Die Lösungsmenge dieses linearen Gleichungssystems ist . Es ist gleich

und gleich

Subtraktion dieser beiden Gleichungen ergibt

also

Somit ist

und

Es ist also

Der Durchschnitt wird durch das lineare Gleichungssystem

beschrieben. Die Lösungsmenge ist

Für

ergibt sich dabei der einzige Punkt aus . Somit ist insgesamt