Kurs:Lineare Algebra/Teil I/32/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	${}\sum$
Punkte	3	3	1	0	0	5	0	0	4	3	0	5	3	0	4	0	0	0	31

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Die Hintereinanderschaltung der Abbildungen

   $F\colon L\longrightarrow M$

   und

   $G\colon M\longrightarrow N.$

2. Ein Isomorphismus zwischen ${}K$- Vektorräumen ${}V$ und ${}W$.
3. Der Spaltenrang einer ${}m\times n$- Matrix ${}M$ über einem Körper ${}K$.
4. Der Dualraum zu einem ${}K$- Vektorraum ${}V$.
5. Die adjungierte Matrix zu einer quadratischen Matrix ${}M\in \operatorname {Mat} _{n}(K)$.
6. Eine Fahne in einem ${}n$- dimensionalen ${}K$- Vektorraum ${}V$.

Lösung

1. Die Abbildung

   $G\circ F\colon L\longrightarrow N,\,x\longmapsto G(F(x)),$

   heißt die Hintereinanderschaltung der Abbildungen ${}F$ und ${}G$.

2. Ein Isomorphismus zwischen ${}V$ und ${}W$ ist eine bijektive lineare Abbildung

   $\varphi \colon V\longrightarrow W.$

3. Man nennt die Dimension des von den Spalten erzeugten Untervektorraums von ${}K^{m}$ den (Spalten-)Rang der Matrix ${}M$.
4. Unter dem Dualraum zu ${}V$ versteht man den Homomorphismenraum

   ${}{V}^{*}=\operatorname {Hom} _{K}{\left(V,K\right)}\,.$

5. Die Matrix

   $M^{\operatorname {adj} }=(b_{ij}){\text{ mit }}b_{ij}=(-1)^{i+j}\det M_{ji},$

   wobei ${}M_{ji}$ die Restmatrix zur ${}j$-ten Zeile und zur ${}i$-ten Spalte ist, heißt die adjungierte Matrix von ${}M$.

6. Eine Kette von Untervektorräumen

   $0=V_{0}\subset V_{1}\subset \ldots \subset V_{n-1}\subset V_{n}=V$

   heißt eine Fahne in ${}V$.

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die Anzahl von Basiselementen.
2. Der Satz über die Beziehung von Permutationen und Transpositionen.
3. Der Satz von der kanonischen additiven Zerlegung für eine trigonalisierbare Abbildung.

Lösung

1. Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$-Vektorraum mit einem endlichen Erzeugendensystem. Dann besitzen je zwei Basen von ${}V$ die gleiche Anzahl von Basisvektoren.
2. Jede Permutation auf einer endlichen Menge ${}M$ kann man als Produkt von Transpositionen schreiben.
3. Sei

   $\varphi \colon V\longrightarrow V$

   ein trigonalisierbarer ${}K$-Endomorphismus auf dem endlichdimensionalen ${}K$-Vektorraum ${}V$. Dann gibt es eine Zerlegung

   ${}\varphi =\varphi _{\rm {diag}}+\varphi _{\rm {nil}}\,,$

   wobei ${}\varphi _{\rm {diag}}$ diagonalisierbar, ${}\varphi _{\rm {nil}}$ nilpotent und zusätzlich

   ${}\varphi _{\rm {diag}}\circ \varphi _{\rm {nil}}=\varphi _{\rm {nil}}\circ \varphi _{\rm {diag}}\,$

   gilt.

Aufgabe (1 Punkt)

Man finde eine äquivalente Formulierung für die Aussage „Frau Maier-Sengupta hat nicht alle Tassen im Schrank“ mit Hilfe einer Existenzaussage.

Lösung

Es gibt eine Tasse, die Frau Maier-Sengupta nicht im Schrank hat.

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (5 Punkte)

Finde die komplexen Quadratwurzeln von

${}w={\frac {-5+{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}{2}}\,$

über den Ansatz

${}(a+b{\mathrm {i} })^{2}=w\,.$

Lösung

Der Ansatz

${}(a+b{\mathrm {i} })^{2}=a^{2}-b^{2}+2ab{\mathrm {i} }=w={\frac {-5+{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}{2}}\,$

führt auf die beiden reellen Gleichungen

${}a^{2}-b^{2}={\frac {-5}{2}}\,$

und

${}2ab={\frac {\sqrt {3}}{2}}\,.$

Daraus folgt direkt, dass ${}a$ und ${}b$ nicht ${}0$ sein können. Wir lösen die zweite Gleichung nach ${}b$ auf und erhalten

${}b={\frac {\sqrt {3}}{4a}}\,.$

Dies setzen wir in die erste Gleichung ein und erhalten

${}a^{2}-b^{2}=a^{2}-\left({\frac {\sqrt {3}}{4a}}\right)^{2}=a^{2}-\left({\frac {3}{16a^{2}}}\right)=-{\frac {5}{2}}\,.$

Multiplikation mit ${}a^{2}$ und umstellen ergibt

${}a^{4}+{\frac {5}{2}}a^{2}-{\frac {3}{16}}=0\,.$

Dies ist eine biquadratische Gleichung, die zugrunde liegende quadratische Gleichung ist (mit ${}y=a^{2}$)

${}y^{2}+{\frac {5}{2}}y-{\frac {3}{16}}=0\,$

mit den Lösungen

${}y_{1},y_{2}={\frac {-{\frac {5}{2}}\pm {\sqrt {{\frac {25}{4}}+{\frac {3}{4}}}}}{2}}={\frac {-{\frac {5}{2}}\pm {\sqrt {\frac {28}{4}}}}{2}}={\frac {-{\frac {5}{2}}\pm {\sqrt {7}}}{2}}=-{\frac {5}{4}}\pm {\frac {\sqrt {7}}{2}}\,.$

Dabei ist

${}y_{1}=-{\frac {5}{4}}+{\frac {\sqrt {7}}{2}}={\frac {1}{4}}{\left(-5+2{\sqrt {7}}\right)}\,$

positiv und besitzt die reellen Quadratwurzeln

${}a_{1},a_{2}=\pm {\frac {1}{2}}{\sqrt {-5+2{\sqrt {7}}}}\,$

und somit sind die komplexen Quadratwurzeln von ${}w$ gleich

${}z_{1}={\frac {1}{2}}{\sqrt {-5+2{\sqrt {7}}}}+{\frac {\sqrt {3}}{2{\sqrt {-5+2{\sqrt {7}}}}}}{\mathrm {i} }\,$

und

${}z_{2}=-{\frac {1}{2}}{\sqrt {-5+2{\sqrt {7}}}}-{\frac {\sqrt {3}}{2{\sqrt {-5+2{\sqrt {7}}}}}}{\mathrm {i} }\,.$

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (4 (3+1) Punkte)

1. Zeige durch Induktion über ${}n$, dass die Determinante einer ${}n\times n$-Matrix, deren sämtliche Einträge ganze Zahlen sind, ebenfalls eine ganze Zahl ist.
2. Man gebe ein Beispiel für eine Matrix, deren sämtliche Einträge positive natürliche Zahlen sind und deren Determinante negativ ist.

Lösung

1. Die Aussage ist offenbar richtig für ${}n=1$. Zum Induktionsschluss ziehen wir die induktive Definition der Determinante heran, es ist

   ${}\det M=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+1}a_{i1}\det M_{i}\,.$

   Nach Induktionsvoraussetzung sind die ${}\det M_{i}$ ganzzahlig, nach Voraussetzung sind die ${}a_{i1}$ ganzzahlig, und damit ist auch diese Summe ganzzahlig.

2. Es ist

   ${}\det {\begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}}=1-4=-3\,.$

Aufgabe (3 Punkte)

Löse das folgende lineare Gleichungssystem über dem Körper ${}\mathbb {Z} /(7)$.

${}{\begin{pmatrix}3&5\\2&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}4\\6\end{pmatrix}}\,.$

Lösung

Das inverse Element zu ${}3$ in ${}\mathbb {Z} /(7)$ ist ${}5$, somit ist in ${}II'=II-2\cdot 5I=II+4I$ die Variable ${}x$ eliminiert. Dies ergibt

${}0=1\,$

und dies hat keine Lösung.

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (5 (4+1) Punkte)

Es seien ${}M,N$ quadratische Matrizen über einem Körper ${}K$, die zueinander in der Beziehung

${}N=BMB^{-1}\,$

mit einer invertierbaren Matrix ${}B$ stehen. Zeige, dass die Eigenwerte von ${}M$ mit den Eigenwerten zu ${}N$ übereinstimmen, und zwar

1. direkt,
2. mit Hilfe des charakteristischen Polynoms.

Lösung

1. Es sei ${}\lambda$ ein Eigenwert zu ${}M$. Dann gibt es ein von ${}0$ verschiedenes Koordinatentupel ${}{\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}$ mit

   ${}M{\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}=\lambda {\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}\,.$

   Es sei

   ${}{\begin{pmatrix}x'_{1}\\\vdots \\x'_{n}\end{pmatrix}}=B{\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}\,,$

   was ebenfalls nicht ${}0$ ist. Dann ist

   ${}{\begin{aligned}N{\begin{pmatrix}x'_{1}\\\vdots \\x'_{n}\end{pmatrix}}&=(BMB^{-1}){\begin{pmatrix}x'_{1}\\\vdots \\x'_{n}\end{pmatrix}}\\&=(BMB^{-1})B{\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}\\&=BM{\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}\\&=B\lambda {\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}\\&=\lambda B{\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}\\&=\lambda {\begin{pmatrix}x'_{1}\\\vdots \\x'_{n}\end{pmatrix}},\end{aligned}}$

   d.h. ${}\lambda$ ist auch ein Eigenwert von ${}N$. Wegen

   ${}M=B^{-1}NB\,$

   ist die Situation symmetrisch, daher sind Eigenwerte von ${}N$ auch Eigenwerte von ${}M$.

2. Aufgrund des Determinantenmultiplikationssatzes besitzen ${}M$ und ${}N$ das gleiche charakteristische Polynom. Da die Eigenwerte genau die Nullstellen des charakteristischen Polynoms sind, stimmen die Eigenwerte überein.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die Eigenwerte, Eigenvektoren und Eigenräume zu einer ebenen Drehung ${}{\begin{pmatrix}\operatorname {cos} \,\alpha &-\operatorname {sin} \,\alpha \\\operatorname {sin} \,\alpha &\operatorname {cos} \,\alpha \end{pmatrix}}$ zu einem Drehwinkel ${}\alpha$, ${}0\leq \alpha <2\pi$, über ${}\mathbb {R}$.

Lösung

Bei ${}\alpha =0$ liegt die Identität vor, dafür ist ${}1$ der einzige Eigenwert, jeder Vektor ${}\neq 0$ ist ein Eigenvektor und der Eigenraum zum Eigenwert ${}1$ ist ${}\mathbb {R} ^{2}$. Alle anderen Eigenräume sind der Nullraum.

Bei ${}\alpha =\pi$ liegt die Halbdrehung vor, also die Punktspiegelung bzw. die Streckung mit dem Faktor ${}-1$. Dafür ist ${}-1$ der einzige Eigenwert, jeder Vektor ${}\neq 0$ ist ein Eigenvektor und der Eigenraum zum Eigenwert ${}-1$ ist ${}\mathbb {R} ^{2}$. Alle anderen Eigenräume sind der Nullraum.

Bei allen anderen Drehwinkeln wird keine Gerade auf sich selbst abgebildet, sodass diese Drehungen keine Eigenwerte und keine Eigenvektoren besitzen und alle Eigenräume der Nullraum sind.

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die inverse Matrix zur Matrix

${\begin{pmatrix}{\frac {t}{t^{2}-1}}&{\frac {1}{t^{3}}}\\{\frac {t^{2}-4}{t}}&{\frac {t-1}{t+1}}\end{pmatrix}}$

(über dem Körper der rationalen Funktionen ${}\mathbb {R} (t)$).

Lösung

Für eine invertierbare ${}2\times 2$-Matrix ${}{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$ ist die inverse Matrix generell gleich

${\frac {1}{ad-bc}}{\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}}.$

Im vorliegenden Fall ist die Determinante gleich

${}{\begin{aligned}{\frac {t}{t^{2}-1}}\cdot {\frac {t-1}{t+1}}-{\frac {1}{t^{3}}}\cdot {\frac {t^{2}-4}{t}}&={\frac {t}{(t+1)^{2}}}-{\frac {t^{2}-4}{t^{4}}}\\&={\frac {t^{5}-(t+1)^{2}(t^{2}-4)}{(t+1)^{2}t^{4}}}\\&={\frac {t^{5}-t^{4}-2t^{3}+3t^{2}+8t+4}{t^{6}+2t^{5}+t^{4}}}.\end{aligned}}$

Somit ist die inverse Matrix gleich

${\frac {t^{6}+2t^{5}+t^{4}}{t^{5}-t^{4}-2t^{3}+3t^{2}+8t+4}}{\begin{pmatrix}{\frac {t-1}{t+1}}&-{\frac {1}{t^{3}}}\\-{\frac {t^{2}-4}{t}}&{\frac {t}{t^{2}-1}}\end{pmatrix}}.$

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung