Kurs:Lineare Algebra/Teil I/32/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	${}\sum$
Punkte	3	3	1	2	0	3	2	5	4	3	4	2	6	5	3	0	4	12	62

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Das Komplement zu einer Teilmenge ${}T$ in einer Menge ${}M$.
2. Eine Verknüpfung ${}\circ$ auf einer Menge ${}M$.
3. Eine lineare Abbildung

   $\varphi \colon V\longrightarrow W$

   zwischen den ${}K$-Vektorräumen ${}V$ und ${}W$.

4. Die Determinante einer ${}n\times n$- Matrix ${}M$.
5. Ein gemeinsamer Teiler der Polynome ${}P_{1},\ldots ,P_{n}\in K[X]$ über einem Körper ${}K$.
6. Eine baryzentrische Kombination in einem affinen Raum ${}E$.

Lösung

1. Es heißt

   ${}M\setminus T={\left\{x\in M\mid x\not \in T\right\}}\,$

   das Komplement von ${}T$.

2. Eine Verknüpfung ${}\circ$ auf einer Menge ${}M$ ist eine Abbildung

   $\circ \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto x\circ y.$

3. Eine Abbildung

   $\varphi \colon V\longrightarrow W$

   heißt lineare Abbildung, wenn die beiden folgenden Eigenschaften erfüllt sind.

   1. ${}\varphi (u+v)=\varphi (u)+\varphi (v)$ für alle ${}u,v\in V$.
   2. ${}\varphi (sv)=s\varphi (v)$ für alle ${}s\in K$ und ${}v\in V$.
4. Zu ${}i\in {\{1,\ldots ,n\}}$ sei ${}M_{i}$ diejenige ${}(n-1)\times (n-1)$-Matrix, die entsteht, wenn man in ${}M$ die erste Spalte und die ${}i$-te Zeile weglässt. Dann definiert man rekursiv die Determinante von ${}M$ durch

   $\det M={\begin{cases}a_{11}\,,&{\text{falls }}n=1\,,\\\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+1}a_{i1}\det M_{i}&{\text{ für }}n\geq 2\,.\end{cases}}$

5. Ein Polynom ${}T\in K[X]$ heißt gemeinsamer Teiler der gegebenen Polynome, wenn ${}T$ jedes ${}P_{i}$ teilt.
6. Zu einer Familie ${}P_{i}$, ${}i\in I$, von Punkten in ${}E$ und einem Zahltupel ${}a_{i}$, ${}i\in I$, mit

   ${}\sum _{i\in I}a_{i}=1\,$

   heißt die Summe ${}\sum _{i\in I}a_{i}P_{i}$ baryzentrische Kombination der ${}P_{i}$.

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die Anzahl von Basiselementen.
2. Der Satz über die Beziehung von Permutationen und Transpositionen.
3. Der Satz von der kanonischen additiven Zerlegung für eine trigonalisierbare Abbildung.

Lösung

1. Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$-Vektorraum mit einem endlichen Erzeugendensystem. Dann besitzen je zwei Basen von ${}V$ die gleiche Anzahl von Basisvektoren.
2. Jede Permutation auf einer endlichen Menge ${}M$ kann man als Produkt von Transpositionen schreiben.
3. Sei

   $\varphi \colon V\longrightarrow V$

   ein trigonalisierbarer ${}K$-Endomorphismus auf dem endlichdimensionalen ${}K$-Vektorraum ${}V$. Dann gibt es eine Zerlegung

   ${}\varphi =\varphi _{\rm {diag}}+\varphi _{\rm {nil}}\,,$

   wobei ${}\varphi _{\rm {diag}}$ diagonalisierbar, ${}\varphi _{\rm {nil}}$ nilpotent und zusätzlich

   ${}\varphi _{\rm {diag}}\circ \varphi _{\rm {nil}}=\varphi _{\rm {nil}}\circ \varphi _{\rm {diag}}\,$

   gilt.

Aufgabe (1 Punkt)

Man finde eine äquivalente Formulierung für die Aussage „Frau Maier-Sengupta hat nicht alle Tassen im Schrank“ mit Hilfe einer Existenzaussage.

Lösung

Es gibt eine Tasse, die Frau Maier-Sengupta nicht im Schrank hat.

Aufgabe (2 Punkte)

Die Biologin Hertha McGillen ist eine renommierte Forscherin über fliegende Fische. Zur Beobachtung hat ihr Team eine Drohne entwickelt, die sowohl oberhalb als auch unterhalb des Meeresspiegels fliegen kann. Bei einem Einsatz startet die Drohne vom Ausgangspunkt auf dem Schiff, der vier Meter oberhalb des Meeresspiegels liegt. Sie steigt zunächst drei Meter in die Höhe, fliegt dann elf Meter nach unten, dann einen Meter nach oben, dann zwei Meter nach unten, dann sechs Meter nach oben, dann fünf Meter nach unten, dann drei Meter nach oben, dann vier Meter nach unten, dann reißt der Funkkontakt ab.

Wie hoch bzw. tief ist die Drohne insgesamt von ihrem Ausgangspunkt aus geflogen und auf welcher Höhe unter- oder oberhalb des Meeresspiegels brach der Kontakt ab? Wie oft ist die Drohne ein- und wie oft aufgetaucht?

Lösung

Die Höhenpositionen der Drohne sind bezogen auf den Meeresspiegel der Reihe nach

$4,\,4+3=7,\,7-11=-4,\,-4+1=-3,\,-3-2=-5,$

$-5+6=1,\,1-5=-4,\,-4+3=-1,\,-1-4=-5.$

Der Kontakt brach also ${}5$ Meter unterhalb des Meeresspiegels ab und insgesamt ist die Drohne ${}9$ Meter tief geflogen. Sie ist zweimal eingetaucht und einmal aufgetaucht.

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (3 Punkte)

Löse das folgende lineare Gleichungssystem über dem Körper ${}\mathbb {Z} /(7)$.

${}{\begin{pmatrix}3&5\\2&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}4\\6\end{pmatrix}}\,.$

Lösung

Das inverse Element zu ${}3$ in ${}\mathbb {Z} /(7)$ ist ${}5$, somit ist in ${}II'=II-2\cdot 5I=II+4I$ die Variable ${}x$ eliminiert. Dies ergibt

${}0=1\,$

und dies hat keine Lösung.

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die Punktrichtungsform für die durch die Gleichung

${}5x-8y=6\,$

im ${}\mathbb {Q} ^{2}$ gegebene Gerade.

Lösung

Es ist ${}{\begin{pmatrix}0\\{\frac {-3}{4}}\end{pmatrix}}$ eine Lösung der Gleichung, die wir als Aufpunkt nehmen können. Der Vektor ${}{\begin{pmatrix}8\\5\end{pmatrix}}$ ist eine Lösung der zugehörigen homogenen Gleichung. Somit ist

${\left\{{\begin{pmatrix}0\\-{\frac {3}{4}}\end{pmatrix}}+t{\begin{pmatrix}8\\5\end{pmatrix}}\mid t\in \mathbb {Q} \right\}}$

eine Beschreibung der Geraden in Punktrichtungsform.

Aufgabe (5 Punkte)

Finde die komplexen Quadratwurzeln von

${}w={\frac {-5+{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}{2}}\,$

über den Ansatz

${}(a+b{\mathrm {i} })^{2}=w\,.$

Lösung

Der Ansatz

${}(a+b{\mathrm {i} })^{2}=a^{2}-b^{2}+2ab{\mathrm {i} }=w={\frac {-5+{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}{2}}\,$

führt auf die beiden reellen Gleichungen

${}a^{2}-b^{2}={\frac {-5}{2}}\,$

und

${}2ab={\frac {\sqrt {3}}{2}}\,.$

Daraus folgt direkt, dass ${}a$ und ${}b$ nicht ${}0$ sein können. Wir lösen die zweite Gleichung nach ${}b$ auf und erhalten

${}b={\frac {\sqrt {3}}{4a}}\,.$

Dies setzen wir in die erste Gleichung ein und erhalten

${}a^{2}-b^{2}=a^{2}-\left({\frac {\sqrt {3}}{4a}}\right)^{2}=a^{2}-\left({\frac {3}{16a^{2}}}\right)=-{\frac {5}{2}}\,.$

Multiplikation mit ${}a^{2}$ und umstellen ergibt

${}a^{4}+{\frac {5}{2}}a^{2}-{\frac {3}{16}}=0\,.$

Dies ist eine biquadratische Gleichung, die zugrunde liegende quadratische Gleichung ist (mit ${}y=a^{2}$)

${}y^{2}+{\frac {5}{2}}y-{\frac {3}{16}}=0\,$

mit den Lösungen

${}y_{1},y_{2}={\frac {-{\frac {5}{2}}\pm {\sqrt {{\frac {25}{4}}+{\frac {3}{4}}}}}{2}}={\frac {-{\frac {5}{2}}\pm {\sqrt {\frac {28}{4}}}}{2}}={\frac {-{\frac {5}{2}}\pm {\sqrt {7}}}{2}}=-{\frac {5}{4}}\pm {\frac {\sqrt {7}}{2}}\,.$

Dabei ist

${}y_{1}=-{\frac {5}{4}}+{\frac {\sqrt {7}}{2}}={\frac {1}{4}}{\left(-5+2{\sqrt {7}}\right)}\,$

positiv und besitzt die reellen Quadratwurzeln

${}a_{1},a_{2}=\pm {\frac {1}{2}}{\sqrt {-5+2{\sqrt {7}}}}\,$

und somit sind die komplexen Quadratwurzeln von ${}w$ gleich

${}z_{1}={\frac {1}{2}}{\sqrt {-5+2{\sqrt {7}}}}+{\frac {\sqrt {3}}{2{\sqrt {-5+2{\sqrt {7}}}}}}{\mathrm {i} }\,$

und

${}z_{2}=-{\frac {1}{2}}{\sqrt {-5+2{\sqrt {7}}}}-{\frac {\sqrt {3}}{2{\sqrt {-5+2{\sqrt {7}}}}}}{\mathrm {i} }\,.$

Aufgabe (4 (1+3) Punkte)

Wir betrachten im ${}\mathbb {R} ^{2}$ die Standardbasis

${}{\mathfrak {u}}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\,$

und die Basis

${}{\mathfrak {v}}={\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}-2\\3\end{pmatrix}}\,.$

a) Bestimme die Übergangsmatrix ${}M_{\mathfrak {u}}^{\mathfrak {v}}$.

b) Bestimme die Übergangsmatrix ${}M_{\mathfrak {v}}^{\mathfrak {u}}$.

Lösung Basiswechsel/R^2/Standard und 12,-23/Aufgabe/Lösung

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}A$ eine ${}m\times n$- Matrix und ${}B$ eine ${}n\times m$-Matrix über ${}K$. Zeige

${}\operatorname {Spur} {\left(A\circ B\right)}=\operatorname {Spur} {\left(B\circ A\right)}\,.$

Lösung

Es ist

${}A={\left(a_{ij}\right)}_{1\leq i\leq m,1\leq j\leq n}\,$

und

${}B={\left(b_{rs}\right)}_{1\leq r\leq n,1\leq s\leq m}\,.$

Für die Spur sind nur die Diagonalelemente von ${}C=AB$ bzw. von ${}D=BA$ relevant. Es ist

${}c_{ii}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}b_{ji}\,$

und somit

${}\operatorname {Spur} {\left(AB\right)}=\sum _{i=1}^{m}c_{ii}=\sum _{i=1}^{m}{\left(\sum _{j=1}^{n}a_{ij}b_{ji}\right)}=\sum _{1\leq i\leq m,\,1\leq j\leq n}a_{ij}b_{ji}\,.$

Entsprechend ist

${}d_{rr}=\sum _{s=1}^{m}b_{rs}a_{sr}\,$

und daher

${}\operatorname {Spur} {\left(BA\right)}=\sum _{r=1}^{n}d_{rr}=\sum _{r=1}^{n}{\left(\sum _{s=1}^{m}b_{rs}a_{sr}\right)}=\sum _{1\leq s\leq m,\,1\leq r\leq n}a_{sr}b_{rs}\,,$

was mit der Spur von ${}AB$ übereinstimmt.

Aufgabe (4 (3+1) Punkte)

1. Zeige durch Induktion über ${}n$, dass die Determinante einer ${}n\times n$-Matrix, deren sämtliche Einträge ganze Zahlen sind, ebenfalls eine ganze Zahl ist.
2. Man gebe ein Beispiel für eine Matrix, deren sämtliche Einträge positive natürliche Zahlen sind und deren Determinante negativ ist.

Lösung

1. Die Aussage ist offenbar richtig für ${}n=1$. Zum Induktionsschluss ziehen wir die induktive Definition der Determinante heran, es ist

   ${}\det M=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+1}a_{i1}\det M_{i}\,.$

   Nach Induktionsvoraussetzung sind die ${}\det M_{i}$ ganzzahlig, nach Voraussetzung sind die ${}a_{i1}$ ganzzahlig, und damit ist auch diese Summe ganzzahlig.

2. Es ist

   ${}\det {\begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}}=1-4=-3\,.$

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme das Signum der im Bild gezeigten Permutation (die linke Hand repräsentiere den Definitionsbereich, die rechte Hand den Wertebereich. Der linke Daumen geht auf den kleinen Finger).

Lösung

Die Wertetabelle für die gezeigte Permutation ${}\pi$ ist

Finger links	${}D$	${}Z$	${}M$	${}R$	${}K$
Finger rechts	${}K$	${}D$	${}Z$	${}M$	${}R$

Das Signum kann man mit einer beliebigen Durchnummerierung bestimmen, als Wertetabelle nehmen wir

${}x$	${}1$	${}2$	${}3$	${}4$	${}5$
${}\pi (x)$	${}5$	${}1$	${}2$	${}3$	${}4$

Die Fehlstände sind

$(1,2),(1,3),(1,4),(1,5).$

Das Signum ist also ${}1$, die Permutation ist also gerade.

Aufgabe (6 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}n$ verschiedene Elemente ${}a_{1},\ldots ,a_{n}\in K$ und ${}n$ Elemente ${}b_{1},\ldots ,b_{n}\in K$ gegeben. Zeige, dass es ein eindeutiges Polynom ${}P\in K[X]$ vom Grad ${}\leq n-1$ derart gibt, dass ${}P(a_{i})=b_{i}$ für alle ${}i$ ist.

Lösung

Wir beweisen die Existenz und betrachten zuerst die Situation, wo ${}b_{j}=0$ ist für alle ${}j\neq i$ für ein festes ${}i$. Dann ist

$(X-a_{1})\cdots (X-a_{i-1})(X-a_{i+1})\cdots (X-a_{n})$

ein Polynom vom Grad ${}n-1$, das an den Stellen ${}a_{1},\ldots ,a_{i-1},a_{i+1},\ldots ,a_{n}$ den Wert ${}0$ hat. Das Polynom

${\frac {b_{i}}{(a_{i}-a_{1})\cdots (a_{i}-a_{i-1})(a_{i}-a_{i+1})\cdots (a_{i}-a_{n})}}(X-a_{1})\cdots (X-a_{i-1})(X-a_{i+1})\cdots (X-a_{n})$

hat an diesen Stellen ebenfalls eine Nullstelle, zusätzlich aber noch bei ${}a_{i}$ den Wert ${}b_{i}$. Nennen wir dieses Polynom ${}P_{i}$. Dann ist

${}P=P_{1}+P_{2}+\cdots +P_{n}\,$

das gesuchte Polynom. An der Stelle ${}a_{i}$ gilt ja

${}P_{j}(a_{i})=0\,$

für ${}j\neq i$ und ${}P_{i}(a_{i})=b_{i}$.

Die Eindeutigkeit folgt aus Korollar 19.9 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)).

Aufgabe (5 (4+1) Punkte)

Es seien ${}M,N$ quadratische Matrizen über einem Körper ${}K$, die zueinander in der Beziehung

${}N=BMB^{-1}\,$

mit einer invertierbaren Matrix ${}B$ stehen. Zeige, dass die Eigenwerte von ${}M$ mit den Eigenwerten zu ${}N$ übereinstimmen, und zwar

1. direkt,
2. mit Hilfe des charakteristischen Polynoms.

Lösung

1. Es sei ${}\lambda$ ein Eigenwert zu ${}M$. Dann gibt es ein von ${}0$ verschiedenes Koordinatentupel ${}{\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}$ mit

   ${}M{\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}=\lambda {\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}\,.$

   Es sei

   ${}{\begin{pmatrix}x'_{1}\\\vdots \\x'_{n}\end{pmatrix}}=B{\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}\,,$

   was ebenfalls nicht ${}0$ ist. Dann ist

   ${}{\begin{aligned}N{\begin{pmatrix}x'_{1}\\\vdots \\x'_{n}\end{pmatrix}}&=(BMB^{-1}){\begin{pmatrix}x'_{1}\\\vdots \\x'_{n}\end{pmatrix}}\\&=(BMB^{-1})B{\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}\\&=BM{\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}\\&=B\lambda {\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}\\&=\lambda B{\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}\\&=\lambda {\begin{pmatrix}x'_{1}\\\vdots \\x'_{n}\end{pmatrix}},\end{aligned}}$

   d.h. ${}\lambda$ ist auch ein Eigenwert von ${}N$. Wegen

   ${}M=B^{-1}NB\,$

   ist die Situation symmetrisch, daher sind Eigenwerte von ${}N$ auch Eigenwerte von ${}M$.

2. Aufgrund des Determinantenmultiplikationssatzes besitzen ${}M$ und ${}N$ das gleiche charakteristische Polynom. Da die Eigenwerte genau die Nullstellen des charakteristischen Polynoms sind, stimmen die Eigenwerte überein.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die Eigenwerte, Eigenvektoren und Eigenräume zu einer ebenen Drehung ${}{\begin{pmatrix}\operatorname {cos} \,\alpha &-\operatorname {sin} \,\alpha \\\operatorname {sin} \,\alpha &\operatorname {cos} \,\alpha \end{pmatrix}}$ zu einem Drehwinkel ${}\alpha$, ${}0\leq \alpha <2\pi$, über ${}\mathbb {R}$.

Lösung

Bei ${}\alpha =0$ liegt die Identität vor, dafür ist ${}1$ der einzige Eigenwert, jeder Vektor ${}\neq 0$ ist ein Eigenvektor und der Eigenraum zum Eigenwert ${}1$ ist ${}\mathbb {R} ^{2}$. Alle anderen Eigenräume sind der Nullraum.

Bei ${}\alpha =\pi$ liegt die Halbdrehung vor, also die Punktspiegelung bzw. die Streckung mit dem Faktor ${}-1$. Dafür ist ${}-1$ der einzige Eigenwert, jeder Vektor ${}\neq 0$ ist ein Eigenvektor und der Eigenraum zum Eigenwert ${}-1$ ist ${}\mathbb {R} ^{2}$. Alle anderen Eigenräume sind der Nullraum.

Bei allen anderen Drehwinkeln wird keine Gerade auf sich selbst abgebildet, sodass diese Drehungen keine Eigenwerte und keine Eigenvektoren besitzen und alle Eigenräume der Nullraum sind.

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die inverse Matrix zur Matrix

${\begin{pmatrix}{\frac {t}{t^{2}-1}}&{\frac {1}{t^{3}}}\\{\frac {t^{2}-4}{t}}&{\frac {t-1}{t+1}}\end{pmatrix}}$

(über dem Körper der rationalen Funktionen ${}\mathbb {R} (t)$).

Lösung

Für eine invertierbare ${}2\times 2$-Matrix ${}{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$ ist die inverse Matrix generell gleich

${\frac {1}{ad-bc}}{\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}}.$

Im vorliegenden Fall ist die Determinante gleich

${}{\begin{aligned}{\frac {t}{t^{2}-1}}\cdot {\frac {t-1}{t+1}}-{\frac {1}{t^{3}}}\cdot {\frac {t^{2}-4}{t}}&={\frac {t}{(t+1)^{2}}}-{\frac {t^{2}-4}{t^{4}}}\\&={\frac {t^{5}-(t+1)^{2}(t^{2}-4)}{(t+1)^{2}t^{4}}}\\&={\frac {t^{5}-t^{4}-2t^{3}+3t^{2}+8t+4}{t^{6}+2t^{5}+t^{4}}}.\end{aligned}}$

Somit ist die inverse Matrix gleich

${\frac {t^{6}+2t^{5}+t^{4}}{t^{5}-t^{4}-2t^{3}+3t^{2}+8t+4}}{\begin{pmatrix}{\frac {t-1}{t+1}}&-{\frac {1}{t^{3}}}\\-{\frac {t^{2}-4}{t}}&{\frac {t}{t^{2}-1}}\end{pmatrix}}.$

Aufgabe (12 Punkte)

Beweise den Satz über die Charakterisierungen von trigonalisierbaren Abbildungen.

Lösung

Von (1) nach (2). Es sei ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Basis, bezüglich der die beschreibende Matrix zu ${}\varphi$ obere Dreiecksgestalt besitzt. Dann folgt durch direkte Interpretation der Matrix, dass die Untervektorräume

${}V_{i}:=\langle v_{1},\ldots ,v_{i}\rangle \,$

${}\varphi$- invariant sind und somit eine invariante Fahne vorliegt.

Von (2) nach (1). Es sei

${}0=V_{0}\subset V_{1}\subset \ldots \subset V_{n-1}\subset V_{n}=V\,$

eine ${}\varphi$- invariante Fahne. Aufgrund des Basisergänzungssatzes gibt es eine Basis ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ von ${}V$ mit

${}V_{i}=\langle v_{1},\ldots ,v_{i}\rangle \,.$

Da die Fahne invariant ist, gilt

${}\varphi (v_{i})=b_{1i}v_{1}+b_{2i}v_{2}+\cdots +b_{ii}v_{i}\,.$

Bezüglich dieser Basis besitzt die beschreibende Matrix zu ${}\varphi$ obere Dreiecksgestalt.

Von (1) nach (3). Das charakteristische Polynom von ${}\varphi$ ist gleich dem charakteristischen Polynom ${}\chi _{M}$, wobei ${}M$ eine beschreibende Matrix bezüglich einer beliebigen Basis ist. Wir können also annehmen, dass ${}M$ eine obere Dreiecksmatrix ist. Dann ist nach Lemma 16.4 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) das charakteristische Polynom das Produkt der Linearfaktoren zu den Diagonaleinträgen.

Aus (3) folgt (4), da das Minimalpolynom nach Korollar 24.3 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) ein Teiler des charakteristischen Polynoms ist.

Von (4) nach (2). Wir beweisen die Aussage durch Induktion nach ${}n$, wobei die Fälle

${}n=0,1\,$

klar sind. Nach Voraussetzung und nach Korollar 24.3 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) und Satz 23.2 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) besitzt ${}\varphi$ einen Eigenwert. Nach Lemma 25.4 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) gibt es einen ${}(n-1)$-dimensionalen Untervektorraum

${}V_{n-1}\subset V\,,$

der ${}\varphi$- invariant ist. Nach Korollar 25.6 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) ist das Minimalpolynom der Einschränkung ${}\varphi {|}_{V_{n-1}}$ ein Teiler des Minimalpolynoms von ${}\varphi$ und zerfällt daher wie dieses in Linearfaktoren. Nach Induktionsvoraussetzung gibt es eine ${}\varphi {|}_{V_{n-1}}$-invariante Fahne

${}V_{1}\subset V_{2}\subset \ldots \subset V_{n-2}\subset V_{n-1}\,,$

und somit ist dies auch eine ${}\varphi$-invariante Fahne.