Kurs:Lineare Algebra/Teil II/9/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	${}\sum$
Punkte	3	3	5	5	4	2	3	3	4	3	3	2	6	3	2	8	59

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Das Kreuzprodukt zu zwei Vektoren ${}x,y\in K^{3}$.
2. Die Hypotenuse in einem rechtwinkligen Dreieck.
3. Die positive Definitheit einer symmetrischen Bilinearform auf einem reellen Vektorraum ${}V$.
4. Die Ordnung eines Elements ${}g\in G$ in einer Gruppe ${}G$.
5. Eine beschränkte Teilmenge ${}T\subseteq M$ in einem metrischen Raum ${}(M,d)$.
6. Das Tensorprodukt zu einer Familie von ${}K$- Vektorräumen ${}V_{1},\ldots ,V_{n}$.

Lösung

1. Auf dem ${}K^{3}$ wird durch

   ${}x\times y={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\y_{3}\end{pmatrix}}:={\begin{pmatrix}x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2}\\-x_{1}y_{3}+x_{3}y_{1}\\x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}\end{pmatrix}}\,$

   das Kreuzprodukt erklärt.

2. Unter der Hypotenuse versteht man die Seite eines rechtwinkligen Dreiecks, die dem rechten Winkel gegenüber liegt.
3. Die Bilinearform heißt positiv definit, wenn ${}\left\langle v,v\right\rangle >0$ für alle ${}v\in V$, ${}v\neq 0$ ist.
4. Man nennt die kleinste positive Zahl ${}n$ mit ${}g^{n}=e_{G}$ die Ordnung von ${}g$. Wenn alle positiven Potenzen von ${}g$ vom neutralen Element verschieden sind, so setzt man ${}\operatorname {ord} \,(g)=\infty$.
5. Die Teilmenge ${}T$ heißt beschränkt, wenn es eine reelle Zahl ${}b$ mit

   $d{\left(x,y\right)}\leq b{\text{ für alle }}x,y\in T$

   gibt.

6. Es sei ${}F$ der von sämtlichen Symbolen ${}(v_{1},\ldots ,v_{n})$ (mit $v_{i}\in V_{i}$) erzeugte ${}K$-Vektorraum (wir schreiben die Basiselemente als $e_{(v_{1},\ldots ,v_{n})}$). Es sei ${}U\subseteq F$ der von allen Elementen der Form
   1. ${}re_{(v_{1},\ldots ,v_{i-1},v_{i},v_{i+1},\ldots ,v_{n})}-e_{(v_{1},\ldots ,v_{i-1},rv_{i},v_{i+1},\ldots ,v_{n})}$,
   2. ${}e_{(v_{1},\ldots ,v_{i-1},u+w,v_{i+1},\ldots ,v_{n})}-e_{(v_{1},\ldots ,v_{i-1},u,v_{i+1},\ldots ,v_{n})}-e_{(v_{1},\ldots ,v_{i-1},w,v_{i+1},\ldots ,v_{n})}$,

   erzeugte ${}K$-Untervektorraum von ${}F$. Dann nennt man den Restklassenraum ${}F/U$ das Tensorprodukt der ${}V_{i}$, ${}i\in {\{1,\ldots ,n\}}$. Es wird mit

   $V_{1}\otimes _{K}V_{2}\otimes _{K}\cdots \otimes _{K}V_{n}$

   bezeichnet.

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Die Abschätzung von Cauchy-Schwarz (oder Ungleichung von Cauchy-Schwarz).
2. Das Injektivitätskriterium für einen Gruppenhomomorphismus

   $\varphi \colon G\longrightarrow H.$

3. Der Satz über Tensorprodukte von Dualräumen.

Lösung

1. Es sei ${}V$ ein Vektorraum über ${}{\mathbb {K} }$ mit einem Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$ und der zugehörigen Norm ${}\Vert {-}\Vert$. Dann gilt die Abschätzung

   ${}\vert {\left\langle v,w\right\rangle }\vert \leq \Vert {v}\Vert \cdot \Vert {w}\Vert \,$

   für alle ${}v,w\in V$.
2. Ein Gruppenhomomorphismus ${}\varphi :G\rightarrow H$ ist genau dann injektiv, wenn der Kern von ${}\varphi$ trivial ist.
3. Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}V_{1},\ldots ,V_{n}$ endlichdimensionale Vektorräume über ${}K$. Dann gibt es eine natürliche Isomorphie

   $V_{1}^{*}\otimes _{}\cdots \otimes _{}V_{n}^{*}\longrightarrow {\left(V_{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}V_{n}\right)}^{*},\,f_{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}f_{n}\longmapsto {\left(v_{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}v_{n}\mapsto f_{1}(v_{1})\cdots f_{n}(v_{n})\right)}.$

Aufgabe (5 Punkte)

Beweise die Cauchy-Schwarzsche Abschätzung.

Lösung

Bei ${}w=0$ ist die Aussage richtig. Es sei also ${}w\neq 0$ und damit auch ${}\Vert {w}\Vert \neq 0$. Damit hat man die Abschätzungen

${}{\begin{aligned}0&\leq \left\langle v-{\frac {\left\langle v,w\right\rangle }{\Vert {w}\Vert ^{2}}}w,v-{\frac {\left\langle v,w\right\rangle }{\Vert {w}\Vert ^{2}}}w\right\rangle \\&=\left\langle v,v\right\rangle -{\frac {\left\langle v,w\right\rangle }{\Vert {w}\Vert ^{2}}}\left\langle w,v\right\rangle -{\frac {\overline {\left\langle v,w\right\rangle }}{\Vert {w}\Vert ^{2}}}\left\langle v,w\right\rangle +{\frac {\left\langle v,w\right\rangle {\overline {\left\langle v,w\right\rangle }}}{\Vert {w}\Vert ^{4}}}\left\langle w,w\right\rangle \\&=\left\langle v,v\right\rangle -{\frac {\left\langle v,w\right\rangle }{\Vert {w}\Vert ^{2}}}{\overline {\left\langle v,w\right\rangle }}-{\frac {\overline {\left\langle v,w\right\rangle }}{\Vert {w}\Vert ^{2}}}\left\langle v,w\right\rangle +{\frac {\left\langle v,w\right\rangle {\overline {\left\langle v,w\right\rangle }}}{\Vert {w}\Vert ^{2}}}\\&=\left\langle v,v\right\rangle -{\frac {\left\langle v,w\right\rangle {\overline {\left\langle v,w\right\rangle }}}{\Vert {w}\Vert ^{2}}}\\&=\left\langle v,v\right\rangle -{\frac {\vert {\left\langle v,w\right\rangle }\vert ^{2}}{\Vert {w}\Vert ^{2}}}.\end{aligned}}$

Multiplikation mit ${}\Vert {w}\Vert ^{2}$ und Wurzelziehen ergibt das Resultat.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}V$ ein euklidischer Vektorraum der Dimension ${}n$. Zeige, dass eine Vektorfamilie ${}u_{1},\ldots ,u_{n}\in V$ genau dann eine Orthonormalbasis von ${}V$ ist, wenn die zugehörige lineare Abbildung

$\mathbb {R} ^{n}\longrightarrow V,\,e_{i}\longmapsto u_{i},$

eine Isometrie zwischen ${}\mathbb {R} ^{n}$ und ${}V$ ist.

Lösung

Es sei

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow V$

die durch ${}e_{i}\mapsto \varphi (e_{i})=u_{i}$ gegebene lineare Abbildung. Wenn ${}\varphi$ eine Isometrie ist, so ist

${}\left\langle u_{i},u_{j}\right\rangle =\left\langle \varphi (e_{i}),\varphi (e_{j})\right\rangle =\left\langle e_{i},e_{j}\right\rangle =\delta _{ij}\,,$

also haben die Bildvektoren die Norm ${}1$ und stehen senkrecht aufeinander. Da es ${}n$ Vektoren sind und ${}V$ ${}n$-dimensional ist, liegt eine Basis und somit eine Orthonormalbasis vor.

Es sei umgekehrt ${}\varphi (e_{i})$ eine Orthonormalbasis. Dann gilt für beliebige Vektoren ${}v=\sum _{i=1}^{n}a_{i}e_{i}$ und ${}w=\sum _{i=1}^{n}b_{i}e_{i}$ einerseits

${}\left\langle v,w\right\rangle =\left\langle \sum _{i=1}^{n}a_{i}e_{i},\sum _{i=1}^{n}b_{i}e_{i}\right\rangle =\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\,$

und andererseits

${}{\begin{aligned}\left\langle \varphi (v),\varphi (w)\right\rangle &=\left\langle \varphi (\sum _{i=1}^{n}a_{i}e_{i}),\varphi (\sum _{i=1}^{n}b_{i}e_{i})\right\rangle \\&=\left\langle \sum _{i=1}^{n}a_{i}\varphi (e_{i}),\sum _{i=1}^{n}b_{i}\varphi (e_{i})\right\rangle \\&=\left\langle \sum _{i=1}^{n}a_{i}u_{i},\sum _{i=1}^{n}b_{i}u_{i}\right\rangle \\&=\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}.\end{aligned}}$

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme den Abstand zwischen dem Punkt ${}{\begin{pmatrix}4\\-9\end{pmatrix}}$ und der durch

${}6x-7y=5\,$

gegebenen Geraden und den Lotfußpunkt des Punktes auf der Geraden.

Lösung Punkt in Ebene/Gerade/Abstand/Lotfußpunkt/3/Aufgabe/Lösung

Aufgabe (2 Punkte)

Beweise elementargeometrisch den Sinussatz, also die Aussage, dass in einem nichtausgearteten Dreieck die Gleichheiten

${}{\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}\,$

gelten, wobei ${}a,b,c$ die Seitenlängen gegenüber den Ecken mit den Winkeln ${}\alpha ,\beta ,\gamma$ sind.

Lösung

Es sei ${}h$ die Länge der Höhe durch ${}C$. Es gilt dann

${}h=a\sin \beta =b\sin \alpha \,,$

da jeweils rechtwinklige Dreiecke vorliegen mit der Dreiecksseite als Hypotenuse und der Höhe als gegenüberliegender Kathete zum Winkel. Somit ist

${}{\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}\,,$

und dies stimmt entsprechend auch mit ${}{\frac {c}{\sin \gamma }}$ überein.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die Schnittpunkte des Einheitskreises mit der Standardparabel.

Lösung

Die Standardparabel ist durch die Gleichung

${}y=x^{2}\,$

und der Einheitskreis ist durch die Gleichung

${}x^{2}+y^{2}=1\,$

gegeben. Die Schnittpunkte müssen beide Gleichungen simultan erfüllen. Wir ersetzen mit der ersten Gleichung ${}x^{2}$ in der zweiten Gleichung und erhalten

${}y^{2}+y-1=0\,.$

Also ist

${}y={\frac {-1\pm {\sqrt {1+4}}}{2}}={\frac {-1\pm {\sqrt {5}}}{2}}\,.$

Für das negative Vorzeichen ergibt sich keine Quadratwurzel, also ist

${}y={\frac {-1+{\sqrt {5}}}{2}}\,$

und

${}x=\pm {\sqrt {\frac {-1+{\sqrt {5}}}{2}}}\,.$

Die beiden Schnittpunkte sind also ${}\left(-{\sqrt {\frac {-1+{\sqrt {5}}}{2}}},\,{\frac {-1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)$ und ${}\left({\sqrt {\frac {-1+{\sqrt {5}}}{2}}},\,{\frac {-1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)$.

Aufgabe (3 Punkte)

Was versteht man in der Mathematik unter Klassifikation? Welche Ergebnisse aus der linearen Algebra kann man als Klassifikationsergebnisse auffassen?

Lösung Klassifikation/Erläuterung/Lineare Algebra/Beispiel/Aufgabe/Lösung

Aufgabe (4 Punkte)

Beweise den Satz über das Verhalten der Gramschen Matrizen zu einer Bilinearform bei einem Basiswechsel.

Lösung

Es ist

${}{\begin{aligned}\left\langle w_{r},w_{s}\right\rangle &=\left\langle \sum _{i=1}^{n}a_{ir}v_{i},\sum _{k=1}^{n}a_{ks}v_{k}\right\rangle \\&=\sum _{1\leq i,k\leq n}a_{ir}a_{ks}\left\langle v_{i},v_{k}\right\rangle \\&=\sum _{1\leq i\leq n}a_{ir}{\left(\sum _{1\leq k\leq n}a_{ks}\left\langle v_{i},v_{k}\right\rangle \right)}\\&=\sum _{1\leq i\leq n}a_{ir}{\left(G\circ A\right)}_{is}\\&={\left({A^{\text{tr}}}\circ {\left(G\circ A\right)}\right)}_{rs}.\end{aligned}}$

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}X^{2}+(3-2{\mathrm {i} })X-6{\mathrm {i} }$ das charakteristische Polynom eines normalen Endomorphismus ${}\varphi \colon {\mathbb {C} }^{2}\rightarrow {\mathbb {C} }^{2}$. Bestimme das charakteristische Polynom des adjungierten Endomorphismus ${}{\hat {\varphi }}$.

Lösung

Es ist

${}X^{2}+(3-2{\mathrm {i} })X-6{\mathrm {i} }=(X-2{\mathrm {i} })(X+3)\,,$

somit besitzt ${}\varphi$ die Eigenwerte ${}2{\mathrm {i} }$ und ${}-3$. Die Eigenwerte des adjungierten Operators sind also nach Fakt ***** gleich ${}-2{\mathrm {i} }$ und ${}-3$. Das charakteristische Polynom von ${}{\hat {\varphi }}$ ist daher

${}(X+2{\mathrm {i} })(X+3)=X^{2}+{\left(2{\mathrm {i} }+3\right)}+6{\mathrm {i} }\,.$

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass im Polynomring ${}K[X,Y]$ über einem Körper ${}K$ das Ideal ${}(X,Y)$ kein Hauptideal ist.

Lösung

Nehmen wir an, dass

${}(X,Y)=(F)\,$

mit einem Polynom ${}F\in K[X,Y]$ ist. Dann ist insbesondere ${}X=GF$ und ${}Y=HF$. Betrachtet man die erste Gleichung als Gleichung in ${}(K[Y])[X]$, so ergibt sich, dass ${}F$ zu ${}X$ assoziiert oder eine Einheit ist. Unter Berücksichtigung der zweiten Gleichung folgt, dass ${}F$ eine Einheit sein muss. In diesem Fall ist aber

${}(X,Y)\subset (F)=K[X,Y]\,,$

da keine Linearkombination von ${}X$ und ${}Y$ gleich ${}1$ ist.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ein eindimensionaler Untervektorraum ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ gegeben. Skizziere die Äquivalenzklassen zur zugehörigen Äquivalenzrelation und erläutere darin das Problem der Wohldefiniertheit der Addition auf der Quotientenmenge ${}\mathbb {R} ^{2}/U$.

Lösung Restklassengruppe/Wohldefiniertheit/Untervektorraum im R^2/Aufgabe/Lösung

Aufgabe (6 Punkte)

Beweise den Homomorphiesatz für Gruppen.

Lösung

Wir zeigen zuerst die Eindeutigkeit. Für jedes Element ${}u\in Q$ gibt es mindestens ein ${}g\in G$ mit ${}\psi (g)=u$. Wegen der Kommutativität des Diagramms muss

${}{\tilde {\varphi }}(u)=\varphi (g)\,$

gelten. Das bedeutet, dass es maximal ein ${}{\tilde {\varphi }}$ geben kann.
Wir haben zu zeigen, dass durch diese Bedingung eine wohldefinierte Abbildung gegeben ist. Es seien also ${}g,g'\in G$ zwei Urbilder von ${}u$. Dann ist

${}\psi {\left(g'g^{-1}\right)}=uu^{-1}=e_{Q}\,$

und somit ist ${}g'g^{-1}\in \operatorname {kern} \psi \subseteq \operatorname {kern} \varphi$. Daher ist ${}\varphi (g)=\varphi (g')$. Die Abbildung ist also wohldefiniert. Seien ${}u,v\in Q$ und seien ${}g,h\in G$ Urbilder davon. Dann ist ${}gh$ ein Urbild von ${}uv$ und daher ist

${}{\tilde {\varphi }}(uv)=\varphi (gh)=\varphi (g)\varphi (h)={\tilde {\varphi }}(u){\tilde {\varphi }}(v)\,.$

D.h. ${}{\tilde {\varphi }}$ ist ein Gruppenhomomorphismus.

Aufgabe (3 (2+1) Punkte)

Wir betrachten im ${}\mathbb {R} ^{3}$ die drei Vektoren

${\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\2\\-2\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}x\\5\\7\end{pmatrix}}.$

a) Wie muss man ${}x$ wählen, damit diese drei Vektoren die Standardorientierung des ${}\mathbb {R} ^{3}$ repräsentieren?

b) Wie muss man ${}x$ wählen, damit diese drei Vektoren die der Standardorientierung entgegengesetzte Orientierung repräsentieren?

Lösung

a) Die Vektoren repräsentieren die Standardorientierung genau dann, wenn ihre Determinante positiv ist. Diese ist

${}\det {\begin{pmatrix}1&0&x\\2&2&5\\3&-2&7\end{pmatrix}}=14-4x-6x+10=-10x+24\,,$

und dies ist positiv genau dann, wenn ${}x<2,4$ ist.

b) Die entgegengesetzte Orientierung liegt genau dann vor, wenn die Determinante negativ ist, und dies ist genau bei ${}x>2,4$ der Fall.

Aufgabe (2 Punkte)

Es seien

${}S\subseteq T\subseteq \mathbb {R} ^{3}\,$

Teilmengen mit den zugehörigen eigentlichen Symmetriegruppen ${}H$ und ${}G$. Zeige, dass es im Allgemeinen keine Inklusionsbeziehung zwischen diesen Gruppen gibt.

Lösung

Wir betrachten zuerst

${}S=\{0\}\subseteq W=T\subseteq \mathbb {R} ^{3}\,,$

wobei ${}W$ den Standardwürfel bezeichne. Die Symmetriegruppe von ${}S$ ist die volle Isometriegruppe des Raumes und nicht in der endlichen Würfelgruppe enthalten.

Es sei nun

${}S=W\subseteq \mathbb {R} ^{3}=T\,.$

Der Gesamtraum besitzt wieder die volle Isometriegruppe des Raumes als Symmetriegruppe, die nicht in der Würfelgruppe enthalten ist.

Aufgabe (8 (3+2+3) Punkte)

Auf den Eckpunkten eines Würfels leben Flöhe. Innerhalb einer Zeiteinheit springt ein Floh mit der Wahrscheinlichkeit ${}{\frac {1}{5}}$ zu einem der benachbarten (durch eine Würfelkante verbundenen) Eckpunkte und bleibt ansonsten an seinem Eckpunkt sitzen.

1. Erstelle die stochastische Matrix, die diesen Vorgang beschreibt.
2. Bestimme die Eigenverteilung dieses Vorgangs.
3. Mit welcher Wahrscheinlichkeit befindet sich ein Floh nach drei Zeiteinheiten im gegenüberliegenden Eckpunkt seines Ausgangseckpunktes?

Lösung

Wir verwenden die Bezeichnung der Würfelecken wie skizziert.

1. An jedem Eckpunkt liegen ${}3$ Kanten und somit ${}3$ benachbarte Punkte an. Die Wahrscheinlichkeit, am Eckpunkt zu verweilen, ist demnach

   ${}1-3\cdot {\frac {1}{5}}={\frac {2}{5}}\,.$

   Die stochastische Matrix ist

   ${\begin{pmatrix}{\frac {2}{5}}&{\frac {1}{5}}&0&{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{5}}&0&0&0\\{\frac {1}{5}}&{\frac {2}{5}}&{\frac {1}{5}}&0&0&{\frac {1}{5}}&0&0\\0&{\frac {1}{5}}&{\frac {2}{5}}&{\frac {1}{5}}&0&0&{\frac {1}{5}}&0\\{\frac {1}{5}}&0&{\frac {1}{5}}&{\frac {2}{5}}&0&0&0&{\frac {1}{5}}\\{\frac {1}{5}}&0&0&0&{\frac {2}{5}}&{\frac {1}{5}}&0&{\frac {1}{5}}\\0&{\frac {1}{5}}&0&0&{\frac {1}{5}}&{\frac {2}{5}}&{\frac {1}{5}}&0\\0&0&{\frac {1}{5}}&0&0&{\frac {1}{5}}&{\frac {2}{5}}&{\frac {1}{5}}\\0&0&0&{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{5}}&0&{\frac {1}{5}}&{\frac {2}{5}}\end{pmatrix}}$

2. DIe Matrix ist zugleich zeilenstochastisch, deshalb ist die stationäre Verteilung gleich

   ${\begin{pmatrix}{\frac {1}{8}}\\{\frac {1}{8}}\\{\frac {1}{8}}\\{\frac {1}{8}}\\{\frac {1}{8}}\\{\frac {1}{8}}\\{\frac {1}{8}}\\{\frac {1}{8}}\end{pmatrix}}.$

3. Nach drei Zeiteinheiten kann ein Floh nur dann in die gegenüberliegende Ecke wechseln, wenn er dreimal Sprünge in die richtige Richtung macht. Für den ersten Sprung gibt es ${}3$ Möglichkeiten, und wenn diese fixiert ist gibt es jeweils ${}2$ Möglichkeiten und im dritten Schritt nur noch eine Möglichkeit. Deshalb gibt es sechs Pfade, um zum gegenüberliegenden Eck zu gelangen. Jeder Pfad hat die Wahrscheinlichkeit

   ${}{\left({\frac {1}{5}}\right)}^{3}={\frac {1}{125}}\,,$

   also ist die Gesamtwahrscheinlichkeit gleich

   ${}6{\frac {1}{125}}={\frac {6}{125}}\,.$