Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil II/Vorlesung 57

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Lineare Abbildungen bei Körperwechsel

Definition  

Zu einer linearen Abbildung

zwischen -Vektorräumen und und einer Körpererweiterung heißt die -lineare Abbildung

die durch Körperwechsel gewonnene lineare Abbildung.

Diese Abbildung ist nicht nur -linear, sondern, wie in Proposition 56.13  (3) gezeigt wurde, auch -linear.



Lemma  

Es sei ein Körper und sei ein -dimensionaler -Vektorraum mit einer Basis und sei ein -dimensionaler -Vektorraum mit einer Basis . Es sei

eine lineare Abbildung mit der beschreibenden Matrix . Es sei eine Körpererweiterung.

Dann wird die durch den Körperwechsel gewonnene lineare Abbildung

bezüglich der Basen von und von ebenfalls durch die Matrix , aufgefasst über , beschrieben.

Beweis  

Wegen Lemma 56.14 liegen in der Tat Basen vor. Das Basiselement von wird unter auf

abgebildet. Somit wird das Basiselement von unter auf

Die Koeffizienten konstituieren also die beschreibende Matrix von .



Das Dachprodukt

Unter den multilinearen Abbildungen spielen die alternierenden Abbildungen eine besondere Rolle, das wichtigste Beispiel ist die Determinante. Wir führen hier eine Konstruktion für das sogenannte Dachprodukt durch, dass für die alternierenden Abbildungen eine ähnliche Rolle spielt wie das Tensorprodukt für die multilinearen Abbildungen.

Wir erinnern an alternierende Abbildungen.


Es sei ein Körper, und seien -Vektorräume und sei . Eine multilineare Abbildung

heißt alternierend, wenn folgendes gilt: Falls in zwei Einträge übereinstimmen, also für ein Paar , so ist



Konstruktion  

Es sei ein Körper, ein -Vektorraum und . Wir konstruieren das sogenannte -te Dachprodukt von mit sich selbst, geschrieben . Dazu betrachten wir die Menge aller Symbole der Form

und die zugehörige Menge der . Wir betrachten den Vektorraum

das ist die Menge aller (endlichen) Summen

die bilden eine Basis. Dies ist mit der natürlichen Addition und der natürlichen Skalarmultiplikation ein Vektorraum, und zwar ein Untervektorraum des Abbildungsraumes (es handelt sich bei um die Menge derjenigen Vektoren, die für fast alle Elemente den Wert haben). In betrachten wir den Untervektorraum , der von den folgenden Elementen erzeugt wird (die man die Standardrelationen des Dachprodukts nennt).

für beliebige .

für beliebige und .

für und beliebige .

Dabei ist der Leitgedanke, die Regeln, die für eine alternierende multilineare Abbildung gelten müssen, dadurch zu erzwingen, dass man die obigen Relationen zu macht. Der erste Typ repräsentiert die Additivität in jedem Argument, die zweite die Verträglichkeit mit der skalaren Multiplikation, die dritte die alternierende Eigenschaft.

Man setzt nun

d.h. man bildet den Restklassenraum von modulo dem Unterraum .

Die Elemente bilden dabei ein Erzeugendensystem von . Die Restklasse von modulo bezeichnen wir mit[1]

Die Standardrelationen werden dann zu den Rechenregeln[2]

und


Definition  

Es sei ein Körper und ein -Vektorraum. Man nennt den (in Konstruktion 57.3 konstruierten) -Vektorraum die -te äußere Potenz (oder das -te Dachprodukt) von . Die Abbildung

nennt man die universelle alternierende Abbildung.



Rechenregeln für das Dachprodukt



Lemma  

Es sei ein Körper und ein -Vektorraum. Dann gelten für die äußeren Potenzen folgende Aussagen.

  1. Die Elemente der Form mit bilden ein Erzeugendensystem von .
  2. Die Abbildung

    ist multilinear und alternierend.

  3. Es ist
  4. Seien gegeben und seien

    für . Dann ist

Beweis  

(1) folgt direkt aus der Konstruktion.
(2). Es liegt die zusammengesetzte Abbildung

vor, wobei auf und dies auf die Restklasse abgebildet wird. Dabei sichert die Definition des Unterraums , dass jeweils die Eigenschaften einer multilinearen alternierenden Abbildung erfüllt sind.

(3) gilt nach Lemma 16.8 für jede alternierende Abbildung.
(4). Die erste Gleichung gilt nach Lemma 16.6 für jede multilineare Abbildung. Wenn sich in dem Indextupel ein Eintrag wiederholt, so ist wegen alternierend. Wir müssen also nur noch Tupel betrachten, wo alle Einträge verschieden sind. Diese können nach Umordnen auf die Form gebracht werden. Bei einem fixierten aufsteigenden Indextupel ist die Summe über alle dazu permutierten Indextupel gleich





Korollar  

Es sei ein Körper und ein -Vektorraum der Dimension . Es seien und Vektoren in , die miteinander in der Beziehung

stehen, wobei eine -Matrix bezeichnet.

Dann gilt in die Beziehung

Beweis  

Mit ist und mit der transponierten Matrix ist . Damit sind wir in der Notation von Lemma 57.5  (4) und es gilt

da dann sein muss. Daher folgt die Aussage aus der Leibniz-Formel für die Determinante.




Die universelle Eigenschaft des Dachproduktes

Die folgende Aussage beschreibt die universelle Eigenschaft des Dachproduktes.



Satz  

Es sei ein Körper, ein -Vektorraum und . Es sei

eine alternierende multilineare Abbildung in einen weiteren -Vektorraum .

Dann gibt es eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung

derart, dass das Diagramm

kommutiert.

Beweis  

Wir verwenden die Notation aus Konstruktion 57.3. Durch die Zuordnung

wird nach Satz 10.9 eine -lineare Abbildung

definiert. Da multilinear und alternierend ist, wird unter der Untervektorraum auf abgebildet. Nach Satz 48.4 gibt es daher eine -lineare Abbildung

die mit verträglich ist.
Die Eindeutigkeit ergibt sich daraus, dass die ein Erzeugendensystem von bilden und diese auf abgebildet werden müssen.


Es bezeichne die Menge aller alternierenden Abbildungen von nach . Diese Menge kann man mit einer natürlichen -Vektorraumstruktur versehen, siehe Aufgabe 16.26.



Korollar  

Es sei ein Körper, ein -Vektorraum und .

Dann gibt es eine natürliche Isomorphie

Beweis  

Die Abbildung ist einfach die Verknüpfung , wobei die kanonische Abbildung bezeichnet. Die Linearität der Zuordnung ergibt sich aus den linearen Strukturen des Dualraumes und des Raumes der alternierenden Formen. Die Bijektivität der Abbildung folgt aus Satz 57.7, angewendet auf .




Satz  

Es sei ein Körper und ein -Vektorraum und .

Dann gibt es eine kanonische surjektive lineare Abbildung

Beweis  

Dies ergibt sich aus der alternierenden Abbildung

gemäß Lemma 55.4  (2). Die Surjektivität beruht darauf, dass das Erzeugendensystem im Bild liegt.


Wenn endlichdimensional ist, so ergibt sich aus der vorstehenden Aussage und Korollar 55.13, dass das Dachprodukt endliche Dimension besitzt. Diese werden wir in der letzten Vorlesung bestimmen.



Fußnoten
  1. Es ist nicht einfach, sich unter den Ausdrücken bzw. etwas vorzustellen. Wichtiger als die „Bedeutung“ dieser Symbole ist ihr Transformationsverhalten und die Rechenregeln, die dafür gelten. Erst der operative Umgang mit diesen Symbolen lässt die Bedeutung entstehen. Wenn man aber eine ungefähre Vorstellung haben möchte, so kann man sagen, dass das von den Vektoren erzeugte „orientierte“ Parallelotop in repräsentiert. Das Dachprodukt besteht dann aus Linearkombinationen von solchen Parallelotopen.

  2. Es gilt die Klammerungskonvention „Dachprodukt vor Punktrechnung“, d.h. der Ausdruck ist als zu lesen. Es gelten aber ohnehin die Gleichheiten


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