Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil I/Arbeitsblatt 12/kontrolle
- Die Pausenaufgabe
Aufgabe Aufgabe 12.1 ändern
Zeige, dass die Elementarmatrizen invertierbar sind. Wie sehen die inversen Matrizen zu den Elementarmatrizen aus?
- Übungsaufgaben
Aufgabe Referenznummer erstellen
Zeige, dass eine invertierbare Matrix weder eine Nullzeile noch eine Nullspalte besitzt.
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Es sei eine - Matrix derart, dass es -Matrizen mit und mit gibt. Zeige und dass invertierbar ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Aufgabe * Aufgabe 12.5 ändern
Es sei ein Körper und es seien und Vektorräume über der Dimension bzw. . Es sei
eine lineare Abbildung, die bezüglich zweier Basen durch die Matrix beschrieben werde. Zeige, dass genau dann surjektiv ist, wenn die Spalten der Matrix ein Erzeugendensystem von bilden.
Aufgabe Aufgabe 12.6 ändern
Es sei ein Körper und eine - Matrix mit Einträgen in . Zeige, dass die Multiplikation mit - Elementarmatrizen von links mit folgende Wirkung haben.
- Vertauschen der -ten und der -ten Zeile von .
- Multiplikation der -ten Zeile von mit .
- Addition des -fachen der -ten Zeile von zur -ten Zeile ().
Aufgabe Referenznummer erstellen
Beschreibe die Wirkungsweise, wenn man eine Matrix mit einer Elementarmatrix von rechts multipliziert.
Aufgabe * Referenznummer erstellen
- Überführe die Matrixgleichung
in ein lineares Gleichungssystem.
- Löse dieses lineare Gleichungssystem.
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Aufgabe Referenznummer erstellen
Bestimme die inverse Matrix zu
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Bestimme die inverse Matrix zu
Aufgabe Referenznummer erstellen
Bestimme die inverse Matrix zu
Aufgabe Referenznummer erstellen
Bestimme die inverse Matrix zur komplexen Matrix
Aufgabe * Referenznummer erstellen
a) Bestimme, ob die komplexe Matrix
invertierbar ist.
b) Finde eine Lösung für das inhomogene lineare Gleichungssystem
Aufgabe Referenznummer erstellen
Führe für die Matrix
das Invertierungsverfahren durch bis sich herausstellt, dass die Matrix nicht invertierbar ist.
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Aufgabe Referenznummer erstellen
Bestimme explizit den Spaltenrang und den Zeilenrang der Matrix
Beschreibe lineare Abhängigkeiten (falls solche existieren) zwischen den Zeilen als auch zwischen den Spalten der Matrix.
Aufgabe Aufgabe 12.18 ändern
Zeige, dass sich bei elementaren Zeilenumformungen der Spaltenrang nicht ändert.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei eine - Matrix und die zugehörige lineare Abbildung. Zeige, dass genau dann surjektiv ist, wenn es eine -Matrix mit gibt.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei eine - Matrix und eine invertierbare -Matrix. Zeige, dass für den Spaltenrang die Gleichung
gilt.
Unter einer Blockmatrix versteht man eine - Matrix der Form
wobei eine -Matrix, eine -Matrix, eine -Matrix und eine -Matrix ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei eine Blockmatrix der Form
gegeben. Zeige, dass der Rang von gleich der Summe der Ränge von und von ist.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Bestimme die inverse Matrix zu
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Bestimme die inverse Matrix zur komplexen Matrix
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Aufgabe (3 Punkte)Aufgabe 12.28 ändern
Es sei ein Körper und es seien und Vektorräume über der Dimension bzw. . Es sei
eine lineare Abbildung, die bezüglich zweier Basen durch die Matrix beschrieben werde. Zeige, dass
gilt.
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