Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil I/Arbeitsblatt 28/kontrolle

Aus Wikiversity



Die Pausenaufgabe

Aufgabe Referenznummer erstellen

Betrachte die Matrix

und die drei Zerlegungen

und

Welche ist (sind) die kanonische additive Zerlegung im Sinne von Satz 28.1 (und bezüglich welcher Basis)?




Übungsaufgaben

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei

Zeige, dass mit jeder anderen -Matrix genau dann kommutiert, wenn alle Diagonaleinträge übereinstimmen.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Beschreibe die direkte Summenzerlegung der bezüglich der Haupträume aus dem Beweis zu Satz 28.1.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Eine lineare Abbildung

werde bezüglich der Standardbasis durch die Matrix

beschrieben. Finde eine Basis, bezüglich der durch die Matrix

beschrieben wird.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Eine lineare Abbildung

werde bezüglich der Standardbasis durch die Matrix

beschrieben. Finde eine Basis, bezüglich der durch die Matrix

beschrieben wird.


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Bestimme zur reellen Matrix

die jordansche Normalform. (Es muss keine Basis angegeben werden, bezüglich der jordansche Normalform vorliegt.)


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei eine nilpotente - Jordanmatrix. Zeige, dass die Kerne eine Fahne in bilden.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei eine - Jordanmatrix zum Eigenwert . Bestimme das Minimalpolynom von .


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei eine - Matrix mit den Jordanblöcken , wobei die Diagonaleinträge konstant gleich seien. Bestimme das Minimalpolynom von .


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei eine Matrix in jordanscher Normalform, wobei nur ein Eigenwert auftrete. Zeige, dass die Anzahl der Jordanblöcke in gleich der Dimension des Eigenraumes ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass das Produkt von zwei Matrizen in jordanscher Normalform nicht in jordanscher Normalform sein muss.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei eine - Matrix in jordanscher Normalform und es sei die zugehörige Diagonalmatrix. Zeige, dass die kanonische additive Zerlegung im Sinne von Satz 28.1 gleich

ist.


Aufgabe Aufgabe 28.3 ändern

Es sei eine trigonalisierbare lineare Abbildung mit der kanonischen additiven Zerlegung

im Sinne von Satz 28.1. Zeige, dass die Eigenwerte von und von übereinstimmen. Gilt dies auch für ihre algebraische Vielfachheit, gilt dies für ihre geometrische Vielfachheit?


Aufgabe * Aufgabe 28.14 ändern

Es sei

mit . Zeige durch Induktion, dass

ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Die Matrix

beschreibt eine Vierteldrehung in der reellen Ebene. Diagonalisiere diese Matrix über den komplexen Zahlen.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei eine lineare Abbildung auf einem endlichdimensionalen - Vektorraum . Zeige, dass genau dann endliche Ordnung besitzt, wenn das Minimalpolynom von ein Teiler von für ein ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei eine lineare Abbildung auf einem endlichdimensionalen - Vektorraum mit endlicher Ordnung. Zeige, dass das charakteristische Polynom von ein Polynom der Form teilt. Zeige, dass das charakteristische Polynome im Allgemeinen nicht ein Polynom der Form teilt.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei eine lineare Abbildung auf einem endlichdimensionalen - Vektorraum mit endlicher Ordnung. Zeige, dass das charakteristische Polynom von ein Polynom der Form teilt.


Man sagt, dass ein Körper positive Charakteristik besitzt, wenn für eine positive natürliche Zahl die Gleichung gilt. Die Körper haben diese Eigenschaft nicht, man sagt, dass sie Charakteristik haben. Endliche Körper haben positive Charakteristik, und zwar ist die Charakteristik immer eine Primzahl.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ein Körper mit positiver Charakteristik . Zeige, dass die Matrix

die endliche Ordnung besitzt.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Eine lineare Abbildung

werde bezüglich der Standardbasis durch die Matrix

beschrieben. Finde eine Basis, bezüglich der durch die Matrix

beschrieben wird.


Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme eine Basis, bezüglich der die durch

gegebene lineare Abbildung jordansche Normalform besitzt.


Aufgabe (2 Punkte)Aufgabe 28.21 ändern

Es sei eine Jordanmatrix zum Eigenwert . Zeige, dass der Eigenraum von zum Eigenwert eindimensional ist und dass es keine weiteren Eigenvektoren gibt.


Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei

ein Endomorphismus, der bezüglich einer geeigneten Basis durch eine - Jordanmatrix beschrieben wird. Zeige, dass es keine direkte Summenzerlegung

in - invariante Untervektorräume gibt.


Aufgabe (8 (4+2+2) Punkte)Referenznummer erstellen

Es seien und ein Körper der Charakteristik fixiert. Zu einer nilpotenten -Matrix sei durch

definiert.

a) Zeige, dass für vertauschbare nilpotente Matrizen die Gleichheit

gilt.

b) Zeige, dass für eine nilpotente Matrix die Matrix invertierbar ist.

c) Zeige, dass für eine nilpotente Matrix die Matrix unipotent ist.


<< | Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil I | >>

PDF-Version dieses Arbeitsblattes

Zur Vorlesung (PDF)