Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil II/Arbeitsblatt 44/kontrolle

Übungsaufgaben

Aufgabe Referenznummer erstellen

Beweise das folgende Untergruppenkriterium. Eine nichtleere Teilmenge  $H\subseteq G$  einer Gruppe $G$ ist genau dann eine Untergruppe, wenn gilt:

$\text{ für alle }g,h\in H\text{ ist }g{h}^{-1}\in H.$

Aufgabe * Aufgabe 44.2 ändern

Es sei $G$ eine Gruppe und  $g\in G$  ein Element, und seien  $m,n\in \mathbb{Z}$  ganze Zahlen. Zeige die folgenden Potenzgesetze.

1. Es ist  $g^0=e_G$. 
2. Es ist  $g^{m+n}=g^m{g}^n$. 

Aufgabe * Aufgabe 44.3 ändern

Zeige, dass die Untergruppen von $\mathbb{Z}$ genau die Teilmengen der Form

$\mathbb{Z}d=\{kd\mid k\in \mathbb{Z}\}$

mit einer eindeutig bestimmten nicht-negativen Zahl $d$ sind.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Berechne die Ordnung der Matrix

$\left(\begin{array}{ccc}2& 4& 1\\ 3& 2& 0\\ 0& 1& 3\end{array}\right)$

über dem Körper ${𝔽}_5$.

Aufgabe * Aufgabe 44.5 ändern

Betrachte die rationalen Zahlen $(\mathbb{Q},+,0)$ als kommutative Gruppe. Es sei  $G\subseteq \mathbb{Q}$  eine endlich erzeugte Untergruppe. Zeige, dass $G$ zyklisch ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Beweise Lemma 44.7.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei $G$ eine (multiplikativ geschriebene) kommutative Gruppe und sei  $n\in \mathbb{N}$.  Zeige, dass das Potenzieren

$G⟶G,x⟼x^n,$

ein Gruppenhomomorphismus ist.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei $G$ eine kommutative Gruppe und

$\phi :G⟶H$

ein surjektiver Gruppenhomomorphismus. Zeige, dass $H$ ebenfalls kommutativ ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei $G$ eine additiv geschriebene kommutative Gruppe. Zeige, dass die Negation, also die Abbildung

$G⟶G,x⟼-x,$

ein Gruppenisomorphismus ist.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Bestimme, ob die durch die Gaußklammer gegebene Abbildung

$\mathbb{Q}⟶\mathbb{Z},q⟼\lfloor q\rfloor ,$

ein Gruppenhomomorphismus ist oder nicht.

Aufgabe Referenznummer erstellen

a) Für welche reellen Polynome  $P\in ℝ[X]$  ist die zugehörige polynomiale Abbildung

$(ℝ,0,+)⟶(ℝ,0,+),x⟼P(x),$

ein Gruppenhomomorphismus?

b) Für welche reellen Polynome  $Q\in ℝ[X]$  ist allenfalls $0$ eine Nullstelle und die zugehörige polynomiale Abbildung

$({ℝ}^{\times },1,\cdot )⟶({ℝ}^{\times },1,\cdot ),x⟼Q(x),$

ein Gruppenhomomorphismus?

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei $K$ ein Körper und sei

$M=\{\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\mid a,b,c,d\in K,ad-bc\ne 0\}$

die Menge aller invertierbaren $2\times 2$-Matrizen.

a) Zeige (ohne Bezug zur Determinante), dass $M$ mit der Matrizenmultiplikation eine Gruppe bildet.

b) Zeige (ohne Bezug zur Determinante), dass die Abbildung

$M⟶K^{\times },\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)⟼ad-bc,$

ein Gruppenhomomorphismus ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass die Abbildung

$S_n⟶{\mathrm{GL}}_n\left(ℝ\right),\pi ⟼M_{\pi },$

die einer Permutation $\pi$ auf $\{1,\dots ,n\}$ ihre Permutationsmatrix $M_{\pi }$ zuordnet, ein injektiver Gruppenhomomorphismus ist.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und  $h\in R$.  Zeige, dass die Abbildung

$R⟶R,f⟼hf,$

ein Gruppenhomomorphismus ist. Beschreibe das Bild und den Kern dieser Abbildung.

Mit dem Konzept der Restklassenbildung werden die folgenden Aufgaben bald deutlich einfacher.

Aufgabe Aufgabe 44.15 ändern

Es sei  $d\in {\mathbb{N}}_{+}$.  Wir betrachten auf

$\mathbb{Z}/(d)=\{0,1,\dots ,d-1\}$

die Verknüpfung

$a+b:=(a+b)modd=\{\begin{array}{c}a+b,\text{ falls }a+b<d,\\ a+b-d,\text{ falls }a+b\ge d.\end{array}$

Zeige, dass dadurch eine assoziative Verknüpfung auf dieser Menge definiert ist, und dass damit sogar eine Gruppe vorliegt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei  $d\in {\mathbb{N}}_{\ge 2}$.  Wir betrachten

$\mathbb{Z}/(d)=\{0,1,\dots ,d-1\}$

mit der in Aufgabe 44.15 beschriebenen Addition. Zeige, dass die Abbildung

$\psi :\mathbb{Z}/(d)⟶\mathbb{Z},r⟼r,$

kein Gruppenhomomorphismus ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme die Ordnungen sämtlicher Elemente in der Gruppe $\mathbb{Z}/(100)$.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei $G$ eine Gruppe und  $h\in G$.  Zeige, dass die Abbildung

$G⟶G,g⟼hg{h}^{-1},$

ein Gruppenautomorphismus ist.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Wir betrachten die Abbildung

${\mathrm{GL}}_2\left(ℝ\right)⟶{\mathrm{GL}}_2\left(ℝ\right),\left(\begin{array}{cc}x& y\\ z& w\end{array}\right)⟼\left(\begin{array}{cc}8x-4y+14z-7w& -28x+16y-49z+28w\\ 2x-y+4z-2w& -7x+4y-14z+8w\end{array}\right).$

Zeige, dass es sich dabei um einen inneren Automorphismus handelt.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es seien $a,b,c,d$ reelle Zahlen mit  $ad-bc=1$.  Zeige, dass die Abbildung

${\mathrm{GL}}_2\left(ℝ\right)⟶{\mathrm{GL}}_2\left(ℝ\right),\left(\begin{array}{cc}x& y\\ z& w\end{array}\right)⟼\left(\begin{array}{cc}adx-acy+bdz-bcw& -abx+a^{2}y-b^{2}z+abw\\ cdx-c^{2}y+d^{2}z-cdw& -bcx+acy-bdz+adw\end{array}\right)$

ein innerer Automorphismus ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei $M$ eine endliche Menge und  $T\subseteq M$  eine Teilmenge, und es seien $\mathrm{Perm}(T)$ und $\mathrm{Perm}(M)$ die zugehörigen Permutationsgruppen (also die Menge aller bijektiven Abbildungen auf $M$, siehe Aufgabe 3.13). Zeige, dass durch

$\mathrm{\Psi }:\mathrm{Perm}(T)⟶\mathrm{Perm}(M),\phi ⟼\tilde{\phi },$

mit

$\tilde{\phi }(x)=\{\begin{array}{c}\phi (x),\text{falls }x\in T,\\ x\text{ sonst},\end{array}$

ein injektiver Gruppenhomomorphismus gegeben ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei $G$ eine Gruppe und sei  $g\in G$  ein Element und sei

$\phi :G⟶G,h⟼hg,$

die Multiplikation mit $g$. Zeige, dass $\phi$ bijektiv ist, und dass $\phi$ genau dann ein Gruppenhomomorphismus ist, wenn  $g=e_G$  ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Gibt es Gruppenhomomorphismen

$(ℝ,+,0)⟶(ℝ,+,0),$

die nicht $ℝ$-linear sind?

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 (1+2) Punkte)Referenznummer erstellen

Es seien $G_1,\dots ,G_n$ Gruppen.

a) Definiere eine Gruppenstruktur auf dem Produkt

$G_1\times \cdots \times G_n.$

b) Es sei $H$ eine weitere Gruppe. Zeige, dass eine Abbildung

$\phi :H⟶G_1\times \cdots \times G_n,x⟼\phi (x)=({\phi }_1(x),\dots ,{\phi }_n(x)),$

genau dann ein Gruppenhomomorphismus ist, wenn alle Komponenten ${\phi }_i$ Gruppenhomomorphismen sind.

Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme die Ordnungen sämtlicher Elemente in der Gruppe $\mathbb{Z}/(12)$.

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme die Gruppenhomomorphismen von $(\mathbb{Q},+,0)$ nach $(\mathbb{Z},+,0)$.

Die folgende Aufgabe knüpft an Aufgabe 3.8 an. Zu einer reellen Zahl $x$ bezeichnet $\lfloor x\rfloor$ die größte ganze Zahl, die kleiner oder gleich $x$ ist.

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Wir betrachten

$M=\{q\in \mathbb{Q}\mid 0\le q<1\}$

mit der in Aufgabe 3.7 definierten Verknüpfung, die nach Aufgabe 3.8 eine Gruppe ist. Zeige, dass die Abbildung

$\mathbb{Q}⟶M,q⟼q-\lfloor q\rfloor ,$

ein Gruppenhomomorphismus ist.

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme für jedes  $n\in \mathbb{N}$  den Kern des Potenzierens

${ℝ}^{\times }⟶{ℝ}^{\times },z⟼z^n.$

Wann ist die Abbildung surjektiv?

Aufgabe (1 Punkt)Referenznummer erstellen

Zeige, dass es keinen Gruppenhomomorphismus

$\phi :(ℝ,0,+)⟶G$

in eine Gruppe $G$ mit der Eigenschaft gibt, dass  $r\in ℝ$  genau dann irrational ist, wenn  $\phi (r)=0$  ist.