Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Teil I/Arbeitsblatt 26

Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Bestimme den größten gemeinsamen Teiler von $X^2-1$ und $X^3-1$ sowie eine Darstellung davon.

Übungsaufgaben

Aufgabe

Bestimme den größten gemeinsamen Teiler von $X-1$ und $X-2$ sowie eine Darstellung davon.

Aufgabe

Bestimme den größten gemeinsamen Teiler von $X^4-X^3+7X^2-5X+11$ und $X^3-6X^2+4X+6$ sowie eine Darstellung davon.

Aufgabe

Bestimme in $\mathbb{Q}[X]$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler der beiden Polynome $P=X^3+2X^2+5X+2$ und $Q=X^2+4X-3$.

Aufgabe *

Bestimme in $\mathbb{Q}[X]$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler der beiden Polynome $P=X^9-1$ und $Q=X^3-1$.

Aufgabe

Bestimme in $ℝ[X]$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler der beiden Polynome $P=X^3+\pi X^2+7$ und $Q=X^2+\sqrt{7}X-\sqrt{2}$.

Aufgabe

Bestimme in ${𝔽}_5[X]$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler der beiden Polynome $P=X^4+3X^3+X^2+4X+2$ und $Q=2X^3+4X^2+X+3$.

Aufgabe *

Es sei  $n\ge 2$. 

1. Führe in $\mathbb{Q}[X]$ die Division mit Rest „$P$ durch $T$“ für die beiden Polynome $P=X^{n-1}+X^{n-2}+\cdots +X^2+X+1$ und $T=X-1$ durch.
2. Finde eine Darstellung der $1$ mit diesen beiden Polynomen.

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und sei $K[X]$ der Polynomring über $K$ und seien  $F,G\in K[X]$  zwei Polynome. Es sei  $K\subseteq L$  eine Körpererweiterung. Zeige, dass $F$ ein Teiler von $G$ in $K[X]$ genau dann ist, wenn $F$ ein Teiler von $G$ in $L[X]$ ist.

Die folgenden Aufgaben beziehen sich auf den euklidischen Algorithmus für ganze Zahlen, der völlig analog zum euklidischen Algorithmus für Polynome läuft. Zunächst begründe man, dass das Lemma von Bézout auch für ganze Zahlen gilt.

Aufgabe *

Beweise das Lemma von Bézout für ganze Zahlen $a_1,\dots ,a_n$.

Aufgabe

Die Wasserspedition „Alles im Eimer“ verfügt über $77$-, $91$- und $143$-Liter-Eimer, die allerdings keine Markierungen haben. Sie erhält den Auftrag, insgesamt genau einen Liter Wasser von der Nordsee in die Ostsee zu transportieren. Wie kann sie den Auftrag erfüllen?

Aufgabe *

Bestimme in $\mathbb{Z}$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von $1071$ und $1029$.

Aufgabe

Bestimme in $\mathbb{Z}$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von $2956$ und $2444$.

Aufgabe *

Man bestimme den größten gemeinsamen Teiler von $3146$ und $1515$ und man gebe eine Darstellung des $\mathrm{ggT}$ von $3146$ und $1515$ mittels dieser Zahlen an.

Aufgabe

Kaninchen werden bekanntlich immer zur Monatsmitte geboren, die Tragzeit beträgt einen Monat und die Geschlechtsreife erreichen sie im Alter von zwei Monaten. Jeder Wurf besteht aus genau einem Paar, und alle leben ewig.

Wir starten im Monat $1$ mit einem Paar, das einen Monat alt ist. Es sei $f_n$ die Anzahl der Kaninchenpaare im $n$-ten Monat, also  $f_1=1$,   $f_2=1$.  Beweise durch Induktion die Rekursionsformel

$f_{n+2}=f_{n+1}+f_n.$

Diese Zahlfolge nennt man die Folge der Fibonacci-Zahlen. Wie viele der $f_n$ Paare sind im $n$-ten Monat reproduktionsfähig?

Die Fibonacci-Zahlen sind somit $1,1,2,3,5,8,13,21,34,\dots$

Aufgabe

Wende auf zwei aufeinander folgende Fibonacci-Zahlen den euklidischen Algorithmus an. Welche Gesetzmäßigkeit tritt auf?

Aufgabe

Bestimme die Kerne der Potenzen $M^i$ zur Matrix

$M=\left(\begin{array}{ccccc}0& 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right).$

Aufgabe

Bestimme die Kerne der Potenzen $M^i$ zur Matrix

$M=\left(\begin{array}{ccccc}0& 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right).$

Aufgabe

Es sei

$M=\left(\begin{array}{ccc}3& 1& 7\\ 0& 3& 5\\ 0& 0& 3\end{array}\right).$

Bestimme die Kerne zu den Potenzen

${(3E_3-M)}^i.$

Aufgabe

Bestimme die Haupträume zur Matrix

$\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 2& 3\\ 0& 0& 0& 2\end{array}\right).$

Aufgabe

Es sei $\pi$ ein Zyklus der Länge $n$ und $M$ die zugehörige Permutationsmatrix, also

$M=\left(\begin{array}{ccccc}0& 0& 0& \dots & 1\\ 1& 0& 0& \dots & 0\\ 0& 1& 0& \dots & 0\\ ⋮& \ddots & \ddots & \ddots & ⋮\\ 0& 0& \dots & 1& 0\end{array}\right).$

1. Bestimme das charakteristische Polynom ${\chi }_M$ von $M$.
2. Zeige, dass  $P=X-1$  ein Teiler von ${\chi }_M$ ist und berechne die Zerlegung

   ${\chi }_M=PQ.$

3. Bestimme $P(M)$ und $Q(M)$.
4. Bestimme $\mathrm{kern}P(M)$ und $\mathrm{kern}Q(M)$.

Aufgabe *

Es sei $\phi :V\to V$ eine lineare Abbildung auf einem endlichdimensionalen $K$-Vektorraum $V$ und sei

${\chi }_{\phi }=P\cdot Q$

eine Faktorzerlegung des charakteristischen Polynoms in teilerfremde Polynome  $P,Q\in K[X]$  mit der zugehörigen direkten Summenzerlegung

$V=\mathrm{kern}P(\phi )\oplus \mathrm{kern}Q(\phi )$

in $\phi$-invarianten Untervektorräumen. Es sei  $U\subseteq V$  ein $\phi$-invarianter Untervektorraum. Zeige

$U=(U\cap \mathrm{kern}P(\phi ))\oplus (U\cap \mathrm{kern}Q(\phi )).$

Aufgabe

Zeige, dass für eine diagonalisierbare Abbildung

$\phi :V⟶V$

und jedes  $\lambda \in K$  die Gleichheit

${\mathrm{Eig}}_{\lambda }\left(\phi \right)={\mathrm{Haupt}}_{\lambda }(\phi )$

gilt.

Aufgabe

Es sei

$\phi :V⟶V$

eine trigonalisierbare Abbildung. Zeige, dass $\phi$ genau dann diagonalisierbar ist, wenn für jedes  $\lambda \in K$  die Gleichheit

${\mathrm{Eig}}_{\lambda }\left(\phi \right)={\mathrm{Haupt}}_{\lambda }(\phi )$

gilt.

Aufgabe

Es sei

$\phi :V⟶V$

ein trigonalisierbarer Endomorphismus und

$V=H_1\oplus \cdots \oplus H_m$

die direkte Summenzerlegung in Haupträume im Sinne von Satz 26.14. Zeige, dass es eine $\phi$-invariante Fahne $V_i$ derart gibt, dass in der Fahne die Untervektorräume

$H_1,H_1\oplus H_2,\dots ,H_1\oplus \cdots \oplus H_j$

für  $j=1,\dots ,m$  auftreten.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme in $ℂ[X]$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler der beiden Polynome $X^3+(2-\mathrm{i})X^2+4$ und $(3-\mathrm{i})X^2+5X-3$.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme den größten gemeinsamen Teiler von $4199,2431$ und $3553$, sowie eine Darstellung desselben als Linearkombination der gegebenen Zahlen.

Aufgabe (5 Punkte)

Wir betrachten eine digitale Uhr, die $24$ Stunden, $60$ Minuten und $60$ Sekunden anzeigt. Zur Karnevalszeit läuft sie aber nicht in Sekundenschritten, sondern addiert, ausgehend von der Nullstellung, in jedem Zählschritt immer $11$ Stunden, $11$ Minuten und $11$ Sekunden dazu. Wird bei dieser Zählweise jede mögliche digitale Anzeige erreicht? Nach wie vielen Schritten kehrt zum ersten Mal die Nullstellung zurück?

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein $K$-Vektorraum und

$\phi :V⟶V$

eine lineare Abbildung. Es sei  $P\in K[X]$  ein Polynom. Zeige, dass

$\mathrm{kern}(P(\phi ))$

ein $\phi$-invarianter Untervektorraum ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die Haupträume zur Matrix

$\left(\begin{array}{cccccc}4& 0& 0& 5& 0& 0\\ 0& 1& 3& 0& 6& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 5& 2& 7\\ 0& 0& 0& 0& 5& 1\\ 0& 0& 0& 0& 0& 5\end{array}\right).$