Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Teil I/Arbeitsblatt 27

Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Zeige, dass die Matrix

$\left(\begin{array}{cc}-2& 4\\ -1& 2\end{array}\right)$

nilpotent ist.

Übungsaufgaben

Aufgabe *

Zeige, dass die komplexe Matrix

$\left(\begin{array}{cc}1& \mathrm{i}\\ \mathrm{i}& -1\end{array}\right)$

nilpotent ist.

Aufgabe

Wir betrachten die Matrix

$M=\left(\begin{array}{ccccc}0& a& b& c& d\\ 0& 0& e& f& g\\ 0& 0& 0& h& i\\ 0& 0& 0& 0& j\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$

über einem Körper $K$. Zeige, dass die fünfte Potenz von $M$ gleich $0$ ist, also

$M^5=MMMMM=0.$

Aufgabe *

Es seien  $A=\left(a_{ij}\right)$  und  $B=\left(b_{ij}\right)$  quadratische Matrizen der Länge $n$. Es gelte  $a_{ij}=0$  für  $j\le i+d$  und  $b_{ij}=0$  für  $j\le i+e$  für gewisse  $d,e\in \mathbb{Z}$.  Zeige, dass die Einträge $c_{ij}$ des Produktes $AB$ die Bedingung  $c_{ij}=0$  für  $j\le i+d+e+1$  erfüllen.

Aufgabe

Es sei

$D:ℝ[X{]}_{\le m}⟶ℝ[X{]}_{\le m}$

die Einschränkung des Ableitungsoperators $P\mapsto P^{\prime }$ auf die Polynome vom Grad $\le m$. Zeige, dass $D$ nilpotent ist. Zeige ebenfalls, dass

$D:ℝ[X]⟶ℝ[X]$

nicht nilpotent ist.

Aufgabe

Es sei $V$ ein $K$-Vektorraum und

$\phi :V⟶V$

eine injektive lineare Abbildung. Zeige, dass $\phi$ nicht nilpotent ist.

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum. Es sei

$\phi :V⟶V$

eine nilpotente lineare Abbildung. Zeige, dass  ${\phi }^n=0$  ist, wobei $n$ die Dimension von $V$ bezeichnet.

Aufgabe *

Es sei $K$ ein Körper und es sei $V$ ein $K$-Vektorraum. Es sei

$\phi :V⟶V$

eine nilpotente lineare Abbildung. Zeige, dass $0$ der einzige Eigenwert von $\phi$ ist.

Aufgabe *

Es sei $K$ ein Körper und es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum. Es sei

$\phi :V⟶V$

eine nilpotente lineare Abbildung, die auch diagonalisierbar sei. Zeige

$\phi =0.$

Aufgabe *

Es sei $K$ ein Körper und es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum. Es sei

$\phi :V⟶V$

eine nilpotente lineare Abbildung. Was ist die Determinante von $\phi$?

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum. Es sei

$\phi :V⟶V$

eine nilpotente lineare Abbildung. Was ist die Spur von $\phi$?

Aufgabe *

Es sei $K$ ein Körper.

a) Charakterisiere die nilpotenten $2\times 2$-Matrizen

$\left(\begin{array}{cc}x& y\\ z& w\end{array}\right)$

über $K$ mithilfe von zwei Gleichungen in den Variablen $x,y,z,w$.

b) Sind die Gleichungen linear?

Aufgabe *

a) Es sei $M$ eine $2\times 2$-Matrix, die trigonalisierbar, aber weder diagonalisierbar noch invertierbar ist. Zeige, dass $M$ nilpotent ist.

b) Man gebe ein Beispiel einer $3\times 3$-Matrix $M$, die trigonalisierbar, aber weder diagonalisierbar noch invertierbar, noch nilpotent ist.

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine lineare Abbildung $\phi :K^3\to K^3$, die trigonalisierbar ist, deren Spur und Determinante gleich $0$ ist, und die nicht nilpotent ist.

Aufgabe

Zeige, dass die im Beweis zu Lemma 27.11 konstruierten Untervektorräume $U_i$ im Allgemeinen nicht $\phi$-invariant sind.

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum. Es sei

$\phi :V⟶V$

eine nilpotente lineare Abbildung. Der Kern von $\phi$ sei eindimensional. Es sei

$V_i=\mathrm{kern}{\phi }^i$

und $s$ die minimale Zahl mit

${\phi }^s=0.$

1. Zeige, dass alle $V_i$, $1\le i\le s$, eine direkte Zerlegung

   $V_i=V_{i-1}\oplus U_i$

   mit $U_i$ eindimensional haben.

2. Zeige, dass die Einschränkungen

   $\phi :U_i⟶V_{i-1}$

   für  $1<i<s$  bijektiv sind.

3. Zeige, dass $s$ mit der Dimension von $V$ übereinstimmt.

Aufgabe

Es sei

$\phi :V⟶V$

ein nilpotenter Endomorphismus auf einem endlichdimensionalen $K$-Vektorraum $V$. Es sei

$V_i:=\mathrm{kern}{\phi }^i.$

Zeige, dass für die Dimensionsprünge die Beziehung

${\dim }_K\left(V_i\right)-{\dim }_K\left(V_{i-1}\right)\ge {\dim }_K\left(V_{i+1}\right)-{\dim }_K\left(V_i\right)$

gilt.

Aufgabe

Zeige, dass es eine Familie von (bis zu) $2^{n-1}$ verschiedenen $n\times n$-Matrizen mit der Eigenschaft gibt, dass jeder nilpotente Endomorphismus auf einem $n$-dimensionalen Vektorraum $V$ durch eine der Matrizen beschrieben werden kann.

Aufgabe

Zeige, dass sich jeder nilpotente Endomorphismus auf einem vierdimensionalen Raum auf genau eine der folgenden Gestalten bringen lässt.

$\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right).$

Aufgabe

Es sei $v_1,\dots ,v_6$ eine Basis des $K$-Vektorraumes $V$ und $\phi :V\to V$ eine lineare Abbildung, die durch

$v_1,v_2\mapsto v_4,v_3,v_5\mapsto v_6,v_4\mapsto 0,v_6\mapsto v_2$

festgelegt ist.

1. Begründe, warum $\phi$ nilpotent ist.
2. Bestimme das minimale $s$ mit  ${\phi }^s=0$. 
3. Bestimme den Kern von $\phi$.
4. Finde eine Basis von $V$, bezüglich der $\phi$ jordansche Normalform hat.

Die folgende Aufgabe verallgemeinert das Konzept, bei dem einer Permutation eine Permutationsmatrix zugeordnet wird.

Aufgabe

Wir betrachten auf der Menge

$S=\{1,\dots ,n,\ast \}$

die Menge der Abbildungen

$B=\{\pi :S\to S\mid \pi (\ast )=\ast \}.$

Zu  $\pi \in B$  assoziieren wir (bei einem fixierten Körper $K$) die lineare Abbildung

${\phi }_{\pi }:K^n⟶K^n,$

die durch

${\phi }_{\pi }(e_i)=\{\begin{array}{c}{e}_{\pi (i)},\text{ falls }\pi (i)\ne \ast ,\\ 0,\text{ falls }\pi (i)=\ast ,\end{array}$

festgelegt ist. Mit $M_{\pi }$ bezeichnen wir die zugehörige Matrix bezüglich der Standardbasis.

a) Erstelle die Matrix $M_{\pi }$ bei  $n=4$  für die folgenden $\pi$:

(1)

$x$	$1$	$2$	$3$	$4$	$\ast$
$\pi (x)$	$2$	$\ast$	$3$	$\ast$	$\ast$

(2)

$x$	$1$	$2$	$3$	$4$	$\ast$
$\pi (x)$	$\ast$	$1$	$2$	$3$	$\ast$

(3)

$x$	$1$	$2$	$3$	$4$	$\ast$
$\pi (x)$	$\ast$	$\ast$	$\ast$	$\ast$	$\ast$

(4)

$x$	$1$	$2$	$3$	$4$	$\ast$
$\pi (x)$	$2$	$2$	$2$	$2$	$\ast$

b) Welche Eigenschaften gelten für die Spalten und für die Zeilen von $M_{\pi }$?
c) Für welche $\pi$ ist $M_{\pi }$ bijektiv?
d) Für welche $\pi$ ist $M_{\pi }$ nilpotent?
e) Welche Dimension besitzt der Kern von $M_{\pi }$?
f) Zeige

$M_{\pi \circ \rho }=M_{\pi }\circ M_{\rho }.$

g) Zeige, dass jede nilpotente $n\times n$-Matrix $M$ ähnlich zu einer Matrix der Form $M_{\pi }$ ist.

Aufgabe

Es sei $V$ ein $K$-Vektorraum und

$\phi :V⟶V$

eine nilpotente lineare Abbildung. Es sei

$\psi :V⟶V$

eine weitere lineare Abbildung mit

$\psi \circ \phi =\phi \circ \psi .$

Zeige, dass $\psi \circ \phi$ ebenfalls nilpotent ist.

Aufgabe *

Man gebe ein Beispiel für zwei nilpotente lineare Abbildungen

$\phi ,\psi :K^2⟶K^2$

derart, dass weder $\phi \circ \psi$ noch $\phi +\psi$ nilpotent sind.

Aufgabe

Es sei  $a\in ℝ$  eine reelle Zahl mit  $|a|<1$.  Bekanntlich ist

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}^n=0.$

Ist die lineare Abbildung

$ℝ⟶ℝ,x⟼ax$

nilpotent?

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei $M$ eine $2\times 2$-Matrix über einem Körper $K$. Zeige, dass $M$ genau dann nilpotent ist, wenn sowohl die Determinante als auch die Spur von $M$ gleich $0$ ist.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei $\phi :V\to V$ eine lineare Abbildung und es sei  $V=U\oplus W$  die direkte Summe aus $\phi$-invarianten Untervektorräumen. Zeige, dass $\phi$ genau dann nilpotent ist, wenn $\phi {|}_U$ und $\phi {|}_W$ nilpotent sind.

Aufgabe (5 (1+1+1+2) Punkte)

Es sei $v_1,\dots ,v_7$ eine Basis des $ℝ$-Vektorraumes $V$ und $\phi :V\to V$ eine lineare Abbildung, die durch

$v_3,v_2\mapsto v_5,v_5\mapsto 4v_6,v_1,v_4\mapsto 0,v_6\mapsto 5v_4,v_7\mapsto 3v_2$

festgelegt ist.

1. Begründe, warum $\phi$ nilpotent ist.
2. Bestimme das minimale $s$ mit  ${\phi }^s=0$. 
3. Bestimme den Kern von $\phi$.
4. Finde eine Basis von $V$, bezüglich der $\phi$ jordansche Normalform hat.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei $V$ ein $K$-Vektorraum mit einer Basis $v_n$, $n\in {\mathbb{N}}_{+}$. Es sei

$\phi :V⟶V$

diejenige lineare Abbildung, die durch

$\phi (v_1)=0$

und

$\phi (v_n)=v_{n-1}$

für alle  $n\ge 2$  festgelegt ist. Ist $\phi$ nilpotent?

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum und

$\phi :V⟶V$

nilpotent. Zeige, dass

$\psi :=\mathrm{Id}+\phi$

bijektiv ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei $V$ ein $K$-Vektorraum und

$\phi ,\psi :V⟶V$

nilpotente lineare Abbildungen, die

$\phi \circ \psi =\psi \circ \phi$

erfüllen. Zeige, dass dann auch $\psi +\phi$ nilpotent ist.