Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Teil I/Arbeitsblatt 27

Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Zeige, dass die Matrix

${\begin{pmatrix}-2&4\\-1&2\end{pmatrix}}$

nilpotent ist.

Übungsaufgaben

Aufgabe

Zeige, dass die komplexe Matrix

${\begin{pmatrix}1&{\mathrm {i} }\\{\mathrm {i} }&-1\end{pmatrix}}$

nilpotent ist.

Aufgabe

Wir betrachten die Matrix

${}M={\begin{pmatrix}0&a&b&c&d\\0&0&e&f&g\\0&0&0&h&i\\0&0&0&0&j\\0&0&0&0&0\end{pmatrix}}\,$

über einem Körper ${}K$. Zeige, dass die fünfte Potenz von ${}M$ gleich ${}0$ ist, also

${}M^{5}=MMMMM=0\,.$

Aufgabe *

Es seien ${}A={\left(a_{ij}\right)}$ und ${}B={\left(b_{ij}\right)}$ quadratische Matrizen der Länge ${}n$. Es gelte ${}a_{ij}=0$ für ${}j\leq i+d$ und ${}b_{ij}=0$ für ${}j\leq i+e$ für gewisse ${}d,e\in \mathbb {Z}$. Zeige, dass die Einträge ${}c_{ij}$ des Produktes ${}AB$ die Bedingung ${}c_{ij}=0$ für ${}j\leq i+d+e+1$ erfüllen.

Aufgabe

Es sei

$D\colon \mathbb {R} [X]_{\geq m}\longrightarrow \mathbb {R} [X]_{\geq m}$

die Einschränkung des Ableitungsoperators ${}P\mapsto P'$ auf die Polynome vom Grad ${}\leq m$. Zeige, dass ${}D$ nilpotent ist. Zeige ebenfalls, dass

$D\colon \mathbb {R} [X]\longrightarrow \mathbb {R} [X]$

nicht nilpotent ist.

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum und

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine injektive lineare Abbildung. Zeige, dass ${}\varphi$ nicht nilpotent ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine nilpotente lineare Abbildung. Zeige, dass ${}\varphi ^{n}=0$ ist, wobei ${}n$ die Dimension von ${}V$ bezeichnet.

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine nilpotente lineare Abbildung. Zeige, dass ${}0$ der einzige Eigenwert von ${}\varphi$ ist.

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine nilpotente lineare Abbildung, die auch diagonalisierbar sei. Zeige

${}\varphi =0\,.$

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine nilpotente lineare Abbildung. Was ist die Determinante von ${}\varphi$?

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine nilpotente lineare Abbildung. Was ist die Spur von ${}\varphi$?

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein Körper.

a) Charakterisiere die nilpotenten ${}2\times 2$- Matrizen

${\begin{pmatrix}x&y\\z&w\end{pmatrix}}$

über ${}K$ mit Hilfe von zwei Gleichungen in den Variablen ${}x,y,z,w$.

b) Sind die Gleichungen linear?

Aufgabe *

a) Es sei ${}M$ eine ${}2\times 2$- Matrix, die trigonalisierbar, aber weder diagonalisierbar noch invertierbar ist. Zeige, dass ${}M$ nilpotent ist.

b) Man gebe ein Beispiel einer ${}3\times 3$- Matrix ${}M$, die trigonalisierbar, aber weder diagonalisierbar noch invertierbar, noch nilpotent ist.

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine lineare Abbildung ${}\varphi \colon K^{3}\rightarrow K^{3}$, die trigonalisierbar ist, deren Spur und Determinante gleich ${}0$ ist, und die nicht nilpotent ist.

Aufgabe

Zeige, dass die im Beweis zu Lemma 27.11 konstruierten Untervektorräume ${}U_{i}$ im Allgemeinen nicht ${}\varphi$- invariant sind.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine nilpotente lineare Abbildung. Der Kern von ${}\varphi$ sei eindimensional. Es sei

${}V_{i}=\operatorname {kern} \varphi ^{i}\,$

und ${}s$ die minimale Zahl mit

${}\varphi ^{s}=0\,.$

1. Zeige, dass alle ${}V_{i}$, ${}1\leq i\leq s$, eine direkte Zerlegung

   ${}V_{i}=V_{i-1}\oplus U_{i}\,$

   mit ${}U_{i}$ eindimensional haben.

2. Zeige, dass die Einschränkungen

   $\varphi \colon U_{i}\longrightarrow V_{i-1}$

   für ${}1<i<s$ bijektiv sind.

3. Zeige, dass ${}s$ mit der Dimension von ${}V$ übereinstimmt.

Aufgabe

Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

ein nilpotenter Endomorphismus auf einem endlichdimensionalen ${}K$- Vektorraum ${}V$. Es sei

${}V_{i}:=\operatorname {kern} \varphi ^{i}\,.$

Zeige, dass für die Dimensionsprünge die Beziehung

${}\dim _{K}{\left(V_{i}\right)}-\dim _{K}{\left(V_{i}-1\right)}\geq \dim _{K}{\left(V_{i+1}\right)}-\dim _{K}{\left(V_{i}\right)}\,$

gilt.

Aufgabe

Zeige, dass es eine Familie von (bis zu) ${}2^{n-1}$ verschiedenen ${}n\times n$- Matrizen mit der Eigenschaft gibt, dass jeder nilpotente Endomorphismus auf einem ${}n$-dimensionalen Vektorraum ${}V$ durch eine der Matrizen beschrieben werden kann.

Aufgabe

Zeige, dass sich jeder nilpotente Endomorphismus auf einem vierdimensionalen Raum auf genau eine der folgenden Gestalten bringen lässt.

${\begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0&1&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\end{pmatrix}}.$

Aufgabe

Es sei ${}v_{1},\ldots ,v_{6}$ eine Basis des ${}K$- Vektorraumes ${}V$ und ${}\varphi \colon V\rightarrow V$ eine lineare Abbildung, die durch

$v_{1},v_{2}\mapsto v_{4},\,v_{3},v_{5}\mapsto v_{6},\,v_{4}\mapsto 0,\,v_{6}\mapsto v_{2}$

festgelegt ist.

1. Begründe, warum ${}\varphi$ nilpotent ist.
2. Bestimme das minimale ${}s$ mit ${}\varphi ^{s}=0$.
3. Bestimme den Kern von ${}\varphi$.
4. Finde eine Basis von ${}V$, bezüglich der ${}\varphi$ jordansche Normalform hat.

Die folgende Aufgabe verallgemeinert das Konzept, bei dem einer Permutation eine Permutationsmatrix zugeordnet wird.

Aufgabe

Wir betrachten auf der Menge

${}S=\{1,\ldots ,n,*\}\,$

die Menge der Abbildungen

${}B={\left\{\pi :S\rightarrow S\mid \pi (*)=*\right\}}\,.$

Zu ${}\pi \in B$ assoziieren wir (bei einem fixierten Körper ${}K$) die lineare Abbildung

$\varphi _{\pi }\colon K^{n}\longrightarrow K^{n},$

die durch

${}\varphi _{\pi }(e_{i})={\begin{cases}e_{\pi (i)},{\text{ falls }}\pi (i)\neq *\,,\\0,{\text{ falls }}\pi (i)=*\,,\end{cases}}\,$

festgelegt ist. Mit ${}M_{\pi }$ bezeichnen wir die zugehörige Matrix bezüglich der Standardbasis.

a) Erstelle die Matrix ${}M_{\pi }$ bei ${}n=4$ für die folgenden ${}\pi$:

(1)

${}x$	${}1$	${}2$	${}3$	${}4$	${}*$
${}\pi (x)$	${}2$	${}*$	${}3$	${}*$	${}*$

(2)

${}x$	${}1$	${}2$	${}3$	${}4$	${}*$
${}\pi (x)$	${}*$	${}1$	${}2$	${}3$	${}*$

(3)

${}x$	${}1$	${}2$	${}3$	${}4$	${}*$
${}\pi (x)$	${}*$	${}*$	${}*$	${}*$	${}*$

(4)

${}x$	${}1$	${}2$	${}3$	${}4$	${}*$
${}\pi (x)$	${}2$	${}2$	${}2$	${}2$	${}*$

b) Welche Eigenschaften gelten für die Spalten und für die Zeilen von ${}M_{\pi }$?
c) Für welche ${}\pi$ ist ${}M_{\pi }$ bijektiv?
d) Für welche ${}\pi$ ist ${}M_{\pi }$ nilpotent?
e) Welche Dimension besitzt der Kern von ${}M_{\pi }$?
f) Zeige

${}M_{\pi \circ \rho }=M_{\pi }\circ M_{\rho }\,.$

g) Zeige, dass jede nilpotente ${}n\times n$-Matrix ${}M$ ähnlich zu einer Matrix der Form ${}M_{\pi }$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum und

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine nilpotente lineare Abbildung. Es sei

$\psi \colon V\longrightarrow V$

eine weitere lineare Abbildung mit

${}\psi \circ \varphi =\varphi \circ \psi \,.$

Zeige, dass ${}\psi \circ \varphi$ ebenfalls nilpotent ist.

Aufgabe *

Man gebe ein Beispiel für zwei nilpotente lineare Abbildungen

$\varphi ,\psi \colon K^{2}\longrightarrow K^{2}$

derart, dass weder ${}\varphi \circ \psi$ noch ${}\varphi +\psi$ nilpotent sind.

Aufgabe

Es sei ${}a\in \mathbb {R}$ eine reelle Zahl mit ${}\vert {a}\vert <1$. Bekanntlich ist

${}\lim _{n\rightarrow \infty }a^{n}=0\,.$

Ist die lineare Abbildung

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto ax$

nilpotent?

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}M$ eine ${}2\times 2$- Matrix über einem Körper ${}K$. Zeige, dass ${}M$ genau dann nilpotent ist, wenn sowohl die Determinante als auch die Spur von ${}M$ gleich ${}0$ ist.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}\varphi \colon V\rightarrow V$ eine lineare Abbildung und es sei ${}V=U\oplus W$ die direkte Summe aus ${}\varphi$- invarianten Untervektorräumen. Zeige, dass ${}\varphi$ genau dann nilpotent ist, wenn ${}\varphi {|}_{U}$ und ${}\varphi {|}_{W}$ nilpotent sind.

Aufgabe (5 (1+1+1+2) Punkte)

Es sei ${}v_{1},\ldots ,v_{7}$ eine Basis des ${}\mathbb {R}$- Vektorraumes ${}V$ und ${}\varphi \colon V\rightarrow V$ eine lineare Abbildung, die durch

$v_{3},v_{2}\mapsto v_{5},\,v_{5}\mapsto 4v_{6},\,v_{1},v_{4}\mapsto 0,\,v_{6}\mapsto 5v_{4},\,v_{7}\mapsto 3v_{2}$

festgelegt ist.

1. Begründe, warum ${}\varphi$ nilpotent ist.
2. Bestimme das minimale ${}s$ mit ${}\varphi ^{s}=0$.
3. Bestimme den Kern von ${}\varphi$.
4. Finde eine Basis von ${}V$, bezüglich der ${}\varphi$ jordansche Normalform hat.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum mit einer Basis ${}v_{n}$, ${}n\in \mathbb {N} _{+}$. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

diejenige lineare Abbildung, die durch

${}\varphi (v_{1})=0\,$

und

${}\varphi (v_{n})=v_{n-1}\,$

für alle ${}n\geq 2$ festgelegt ist. Ist ${}\varphi$ nilpotent?

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum und

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

nilpotent. Zeige, dass

${}\psi :=\operatorname {Id} +\varphi \,$

bijektiv ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum und

$\varphi ,\psi \colon V\longrightarrow V$

nilpotente lineare Abbildungen, die

${}\varphi \circ \psi =\psi \circ \varphi \,$

erfüllen. Zeige, dass dann auch ${}\psi +\varphi$ nilpotent ist.