Kurs:Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)/Vorlesung 15

Zu einem Maßraum ${}X$ gibt es den Vektorraum der auf ${}X$ definierten messbaren ${}{\mathbb {K} }$-wertigen Funktionen und darin den Untervektorraum der integrierbaren Funktionen. Wenn ${}X$ ein topologischer oder ein metrischer Raum ist, so gibt es den Raum der stetigen Funktionen auf ${}X$, die bezüglich der Borel-Mengen auch messbar sind, aber ohne weiteres nicht integrierbar sind. In den folgenden Vorlesungen werden wir versuchen zu verstehen, wie diese Funktionsklassen zusammenhängen und insbesondere, welche Approximationseigenschaften gelten. Um präzise von Approximation sprechen zu können, werden wir die angesprochenen Funktionenräume mit Normen bzw. Metriken versehen. Da messbare Funktionen, die außerhalb einer Nullmenge die Nullfunktion sind, zwar nicht selbst die Nullfunktion sind, aber doch für viele Fragen so behandelt werden können, ist es wichtig, auch die Konzepte Halbmetrik und Halbnorm zur Verfügung zu haben.

Beispiel

Zu einer Menge ${}M$ kann man den reellen Vektorraum ${}V$ aller Funktionen ${}f\colon M\rightarrow \mathbb {R}$ betrachten. Ein wichtiger Konvergenzbegriff ist die punktweise Konvergenz. Wenn man den Untervektorraum der beschränkten reellwertigen Funktionen betrachtet, so kann man diesen Untervektorraum mit der Supremumsnorm versehen, die durch

${}\Vert {f}\Vert ={\operatorname {sup} \,(\vert {f(x)}\vert ,x\in M)}\,$

definiert ist. Die Konvergenz einer Funktionenfolge bezüglich der Supremumsnorm bedeutet dann die gleichmäßige Konvergenz der Funktionenfolge, siehe Aufgabe 55.13 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)). Diese Konvergenz ist stärker als die punktweise Konvergenz.

Die konstanten Funktionen und die Funktionen mit nur endlich vielen Werten

(bzw. die einfachen Funktionen im Falle eines Messraumes) bilden besonders einfache Untervektorräume des Funktionenraumes zu ${}M$. Wenn ${}M$ ein topologischer Raum ist, so kann man die Untervektorräume der stetigen Funktionen oder der stetigen beschränkten Funktionen betrachten. Wenn ${}M$ ein Maßraum ist, so kann man den Untervektorraum der messbaren oder den Untervektorraum der integrierbaren Funktionen betrachten. In all diesen Situationen kann man Approximamtionseigenschaften und Konvergenzfragen untersuchen. Resultate in diese Richtung sind Lemma 8.11, Satz 10.3, Satz 10.9.

Beispiel

Es sei ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein ${}\sigma$- endlicher Maßraum und ${}V$ der Vektorraum der integrierbaren Funktionen auf ${}M$. Dann ist es naheliegend, durch ${}\int _{M}\vert {f}\vert d\mu$ eine „Norm“ auf diesem Raum zu definieren. Allerdings ist dies keine Norm im Sinne der Definition, da das Integral einer nichtnegativen Funktion gleich ${}0$ sein kann, ohne dass die Funktion selbst die Nullfunktion ist.

Halbmetriken

Definition

Es sei ${}M$ eine Menge. Eine Abbildung ${}d\colon M\times M\rightarrow \mathbb {R}$ heißt Halbmetrik, wenn für alle ${}x,y,z\in M$ die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

1. Für ${}x=y$ ist ${}d{\left(x,y\right)}=0$.
2. ${}d{\left(x,y\right)}=d{\left(y,x\right)}$ (Symmetrie), und
3. ${}d{\left(x,y\right)}\leq d{\left(x,z\right)}+d{\left(z,y\right)}$ (Dreiecksungleichung).

Wegen

${}0=d(x,x)\leq d(x,y)+d(y,x)=2d(x,y)\,$

gilt dabei stets ${}d(x,y)\geq 0$, diese Semipositivität muss man also nicht eigens fordern.

Definition

Es sei ${}M$ eine Menge mit einer Halbmetrik ${}d$. Eine Teilmenge ${}U\subseteq M$ heißt offen, wenn für jedes ${}x\in U$ ein ${}\epsilon >0$ mit

${}U{\left(x,\epsilon \right)}\subseteq U\,$

existiert.

Lemma

Es sei ${}M$ eine Menge, die mit einer Halbmetrik versehen sei.

Dann ist ${}M$ ein topologischer Raum.

Beweis

Siehe Aufgabe 15.1.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}M$ eine Menge, die mit einer Halbmetrik ${}d$ versehen sei. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Durch ${}x\sim y$, falls ${}d(x,y)=0$, ist eine Äquivalenzrelation auf ${}M$ gegeben.
2. Die Halbmetrik induziert eine Metrik auf der Quotientenmenge ${}M/\sim$.
3. Die Quotientenabbildung ${}M\rightarrow M/\sim$ ist stetig.
4. Die offenen Mengen von ${}M$ sind genau die Urbilder der offenen Mengen des metrischen Raumes ${}M/\sim$.

Beweis

1. Die Symmetrie und die Reflexivität sind direkt klar. Bei ${}x\sim y$ und ${}y\sim z$, also ${}d(x,y)=0=d(y,z)$, folgt aus der Dreiecksabschätzung ${}d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)$ sofort ${}d(x,z)=0$, also ${}x\sim z$.
2. Wir müssen zeigen, dass durch

   ${}{\tilde {d}}([x],[y]):=d(x,y)\,$

   eine wohldefinierte Metrik definiert ist. Seien ${}x\sim x'$ und ${}y\sim y'$, also ${}d(x,x')=0$ und ${}d(y,y')=0$. Dann ist nach der Dreiecksabschätzung

   ${}d(x,y)\leq d(x,x')+d(x',y')+d(y',y)=d(x',y')\,$

   und ebenso ${}d(x',y')\leq d(x,y)$, also ${}d(x',y')=d(x,y)$, was die Wohldefiniertheit von ${}{\tilde {d}}$ bedeutet. Die Symmetrie, die Semipositivität und die Dreiecksabschätzung von ${}d$ übertragen sich direkt auf ${}{\tilde {d}}$. Aus ${}{\tilde {d}}([x],[y])=0$ folgt direkt ${}d(x,y)=0$, also ${}x\sim y$ und damit ${}[x]=[y]$.

3. Sei ${}U\subseteq M/\sim$ offen und sei ${}V$ das Urbild davon. Sei ${}x\in V$ ein Punkt. Nach Voraussetzung gibt es ein ${}\epsilon >0$ mit ${}U{\left([x],\epsilon \right)}\subseteq U$ in ${}M/\sim$. Daraus folgt direkt ${}U{\left(x,\epsilon \right)}\subseteq V$, da ${}U{\left(x,\epsilon \right)}$ das Urbild von ${}U{\left([x],\epsilon \right)}$ ist.
4. Dies ergibt sich, da äquivalente Punkte in ${}M$ die gleichen offenen Ballumgebungen besitzen.

$\Box$

Die Stetigkeit einer Abbildung zwischen Räumen, die mit Halbmetriken versehen sind, kann man wie im metrischen Fall durch ein ${}\epsilon -\delta$-Kriterium ausdrücken, siehe Aufgabe 15.4 und Aufgabe 15.5.

Vektorräume mit Halbnormen

Definition

Es sei ${}V$ ein ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum. Eine Abbildung

$\Vert {-}\Vert \colon V\longrightarrow \mathbb {R} ,\,v\longmapsto \Vert {v}\Vert ,$

heißt Halbnorm, wenn die folgenden Eigenschaften für alle ${}v,w\in V$ gelten.

1. Es ist ${}\Vert {v}\Vert \geq 0$ für alle ${}v\in V$.
2. Es ist ${}\Vert {0}\Vert =0$.
3. Für ${}\lambda \in {\mathbb {K} }$ und ${}v\in V$ gilt

   ${}\Vert {\lambda v}\Vert =\vert {\lambda }\vert \cdot \Vert {v}\Vert \,.$

4. Für ${}v,w\in V$ gilt

   ${}\Vert {v+w}\Vert \leq \Vert {v}\Vert +\Vert {w}\Vert \,.$

Definition

Auf einem ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum ${}V$ mit einer Halbnorm ${}\Vert {-}\Vert$ definiert man die zugehörige Halbmetrik durch

${}d(v,w):=\Vert {v-w}\Vert \,.$

Definition

Ein ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum ${}V$ heißt topologischer Vektorraum, wenn auf ihm eine Topologie derart festgelegt ist, dass sowohl die Addition

$+\colon V\times V\longrightarrow V$

als auch die Skalarmultiplikation

$\cdot \colon {\mathbb {K} }\times V\longrightarrow V$

stetig sind.

Lemma

Zu einem ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum ${}V$ mit einer Halbnorm ${}\Vert {-}\Vert$ ist die zugehörige Halbmetrik

in der Tat eine Halbmetrik.

Ein mit einer Halbnorm versehener ${}{\mathbb {K} }$-Vektorraum ist ein topologischer Vektorraum.

Beweis

1. Es ist ${}d{\left(u,v\right)}=\Vert {u-v}\Vert \geq 0$.
2. Es ist

   ${}{\begin{aligned}d{\left(u,v\right)}&=\Vert {u-v}\Vert \\&=\Vert {-1(v-u)}\Vert \\&=\vert {-1}\vert \cdot \Vert {v-u}\Vert \\&=d{\left(v,u\right)}.\end{aligned}}$

3. Für beliebiges ${}w\in V$ ist nach der Definition einer Halbnorm

   ${}{\begin{aligned}d{\left(u,v\right)}&=\Vert {u-v}\Vert \\&\leq \Vert {u-w}\Vert +\Vert {w-v}\Vert \\&=d{\left(u,w\right)}+d{\left(w,v\right)}.\end{aligned}}$

Zum Nachweis der Stetigkeit der Addition sei ${}(u,v)\in V\times V$ fixiert und ${}\epsilon >0$ vorgegeben. Es sei

${}(u',v')\in U{\left(u,{\frac {\epsilon }{2}}\right)}\times U{\left(v,{\frac {\epsilon }{2}}\right)}\,,$

hierbei ist die Produktmenge links eine offene Umgebung von ${}(u,v)$. Hier gilt

${}{\begin{aligned}\Vert {u'+v'-(u+v)}\Vert &\leq \Vert {u'-u}\Vert +\Vert {v'-v}\Vert \\&<{\frac {\epsilon }{2}}+{\frac {\epsilon }{2}}\\&=\epsilon .\end{aligned}}$

Zum Nachweis der Stetigkeit der Skalarmultiplikation sei ${}(s,v)\in {\mathbb {K} }\times V$ fixiert und ${}\epsilon >0$ vorgegeben, das wir als ${}\leq 1$ annehmen. Es sei ${}D=\Vert {v}\Vert$ und

${}C=\operatorname {max} \left(D,\,\vert {s}\vert \,,1\right)\,.$

Es sei ${}(t,u)\in U{\left(s,{\frac {\epsilon }{4C}}\right)}\times U{\left(v,{\frac {\epsilon }{4C}}\right)}$. Dann ist

${}{\begin{aligned}\Vert {tu-sv}\Vert &\leq \Vert {tu-su}\Vert +\Vert {su-sv}\Vert \\&=\vert {t-s}\vert \Vert {u}\Vert +\vert {s}\vert \Vert {u-v}\Vert \\&\leq {\frac {\epsilon }{4C}}{\left(C+{\frac {\epsilon }{4C}}\right)}+C{\frac {\epsilon }{4C}}\\&\leq {\frac {\epsilon }{4}}+{\frac {\epsilon }{4}}+{\frac {\epsilon }{4}}\\&<\epsilon .\end{aligned}}$

$\Box$

Lemma

Es sei ${}V$ ein ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum mit einer Halbnorm ${}\Vert {-}\Vert$. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Die Menge der Vektoren ${}{\left\{v\in V\mid \Vert {v}\Vert =0\right\}}$ ist ein Untervektorraum ${}Z$ von ${}V$.
2. Die Halbnorm induziert auf dem Restklassenraum ${}V/Z$ eine Norm.

Beweis

1. Folgt direkt aus der Verträglichkeit der Halbnorm mit der Skalarmultiplikation und aus der Dreiecksabschätzung.
2. Für ${}z\in Z$ ist

   ${}\Vert {v+z}\Vert \leq \Vert {v}\Vert +\Vert {z}\Vert =\Vert {v}\Vert \,$

   und ebenso

   ${}\Vert {v}\Vert \leq \Vert {v+z}\Vert +\Vert {-z}\Vert =\Vert {v+z}\Vert +\Vert {z}\Vert =\Vert {v+z}\Vert \,,$

   also ist

   ${}\Vert {v}\Vert =\Vert {v+z}\Vert \,.$

   Die Halbnorm induziert also eine wohldefinierte Abbildung auf dem Restklassenraum ${}V/Z$. Dabei bleiben alle Eigenschaften einer Halbnorm erhalten. Ferner gilt ${}\Vert {[v]}\Vert =0$ genau dann, wenn ${}v\in Z$ ist, also ${}[v]=0$ in ${}V/Z$. Daher liegt eine Norm vor.

$\Box$

Die folgende Aussage charakterisiert stetige lineare Abbildungen zwischen normierten Vektorräumen, man könnte sie auch für lineare Abbildungen zwischen Vektorräumen formulieren, die mit einer Halbnorm versehen sind. Für endlichdimensionale Vektorräume (entscheidend ist der Ausgangsraum) liegt nach Satz 34.10 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) oder allgemeiner Satz 52.17 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) stets Stetigkeit vor, die Aussage ist also für unendlichdimensionale Vektorräume relevant.

Satz

Es seien ${}V$ und ${}W$ normierte ${}{\mathbb {K} }$- Vektorräume und

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

eine lineare Abbildung. Dann sind folgende Eigenschaft äquivalent.

1. ${}\varphi$ ist stetig.
2. ${}\varphi$ ist stetig im Nullpunkt.
3. Die Menge

   ${\left\{\varphi (v)\mid v\in V,\,\Vert {v}\Vert =1\right\}}$

   ist beschränkt.

Beweis

Von (1) nach (2) ist klar. Von (2) nach (3). Es gibt insbesondere für ${}\epsilon =1$ ein ${}\delta >0$ derart, dass aus

${}\Vert {v}\Vert \leq \delta \,$

die Abschätzung

${}\Vert {\varphi (v)}\Vert \leq 1\,$

folgt. Aus

${}\Vert {v}\Vert \leq 1\,$

folgt dann wegen der skalaren Verträglichkeit

${}\Vert {\varphi (v)}\Vert \leq {\frac {1}{\delta }}\,.$

Von (3) nach (1). Es sei ${}C$ eine obere Schranke für die Norm der Werte auf der Einssphäre. Sei ${}v\in V$ gegeben. Es ist

${}{\begin{aligned}d(\varphi (v),\varphi (w))&=\Vert {\varphi (v)-\varphi (w)}\Vert \\&=\Vert {\varphi (v-w)}\Vert \\&=\Vert {v-w}\Vert \cdot \Vert {\varphi {\left({\frac {(v-w)}{\Vert {v-w}\Vert }}\right)}}\Vert \\&\leq \Vert {v-w}\Vert \cdot C.\end{aligned}}$

Zu ${}\epsilon >0$ kann man also

${}\delta :=\epsilon /C\,$

wählen.

$\Box$

Separable Räume

Lemma

Ein metrischer Raum

besitzt genau dann eine abzählbare Basis der Topologie, wenn er eine abzählbare dichte Teilmenge besitzt.

Beweis

Siehe Aufgabe 15.13.

$\Box$

Definition

Ein normierter ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum heißt separabel, wenn seine Topologie eine abzählbare Basis besitzt.

Lemma

Für einen normierten ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum ${}V$ sind folgende Aussagen äquivalent.

1. ${}V$ ist separabel.
2. ${}V$ besitzt eine abzählbare dichte Teilmenge.
3. ${}V$ besitzt einen dichten Untervektorraum mit abzählbarer Dimension.

Beweis

Die Äquivalenz von (1) und (2) ergibt sich aus Lemma 15.13. Wenn (2) erfüllt ist, so besitzt natürlich der durch eine abzählbare dichte Punktmenge erzeugte Untervektorraum ${}U$ eine abzählbare Basis und ${}U$ ist dicht. Es sei (3) erfüllt mit

${}U=\langle v_{n},\,n\in \mathbb {N} \rangle \,$

und dicht. Wir nehmen ${}{\mathbb {K} }=\mathbb {R}$ an und behaupten, dass der ${}\mathbb {Q}$-Vektorraum ${}T=\bigoplus _{n\in \mathbb {N} }\mathbb {Q} v_{n}$, der nach Lemma 10.10 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) abzählbar ist, eine dichte Teilmenge von ${}V$ ist. Es sei dazu ${}Q\in U{\left(Q,\epsilon \right)}\subseteq V$ eine offene Umgebung eines Punktes ${}Q\in V$. Es gibt dann ein Element

${}u=\sum _{n\in E}a_{n}v_{n}\in U\,$

mit ${}E\subseteq \mathbb {N}$ endlich mit ${}m$ Elementen und ${}d{\left(Q,u\right)}=\delta <\epsilon$. Es sei ${}S$ eine obere Schranke für ${}\Vert {v_{n}}\Vert$, ${}n\in E$. Wenn man in ${}u$ die reellen Koeffizienten ${}a_{n}$ durch rationale Koeffizienten ${}b_{n}$ mit

${}\vert {b_{n}-a_{n}}\vert <{\frac {\epsilon -\delta }{mS}}\,$

ersetzt, so erhält man das Element ${}\sum _{n\in E}b_{n}v_{n}\in T$ innerhalb von ${}U{\left(Q,\epsilon \right)}$. Es ist ja

${}{\begin{aligned}\Vert {Q-\sum _{n\in E}b_{n}v_{n}}\Vert &\leq \Vert {Q-\sum _{n\in E}a_{n}v_{n}}\Vert +\Vert {\sum _{n\in E}b_{n}v_{n}-\sum _{n\in E}a_{n}v_{n}}\Vert \\&\leq \delta +\sum _{n\in E}\vert {b_{n}-a_{n}}\vert \Vert {v_{n}}\Vert \\&<\delta +\epsilon -\delta \\&=\epsilon .\end{aligned}}$

$\Box$

Wenn ein dichter Untervektorraum mit abzählbarer Dimension vorliegt, so gibt es davon eine Basis der Form ${}f_{1},f_{2},\ldots$. In vielen Beispielen, insbesondere, wenn ein separabler Hilbertraum vorliegt, lässt sich eine solche „dichte Basis“ des Gesamtraumes explizit angeben, siehe beispielsweise Satz 23.6, Satz 24.2 und Satz 24.8.

Definition

Ein normierter ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum, der mit der zugehörigen Metrik ein vollständiger metrischer Raum ist, heißt Banachraum.

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