Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil I/Vorlesung 22

Der Satz von Bolzano-Weierstraß

Karl Weierstraß (1815-1897)

Satz

Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine beschränkte Folge von reellen Zahlen.

Dann besitzt die Folge eine konvergente Teilfolge.

Beweis

Die Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ sei durch

${}a_{0}\leq x_{n}\leq b_{0}\,$

beschränkt. Wir definieren zuerst induktiv eine Intervallhalbierung derart, dass in den Intervallen unendlich viele Folgenglieder liegen. Das Startintervall ist  ${}I_{0}:=[a_{0},b_{0}]$.  Es sei das ${}k$-te Intervall ${}I_{k}$ bereits konstruiert. Wir betrachten die beiden Hälften

$[a_{k},{\frac {a_{k}+b_{k}}{2}}]\,\,{\text{ und }}\,\,[{\frac {a_{k}+b_{k}}{2}},b_{k}].$

In mindestens einer der Hälften liegen unendlich viele Folgenglieder, und wir wählen als Intervall ${}I_{k+1}$ eine Hälfte mit unendlich vielen Gliedern. Da sich bei diesem Verfahren die Intervalllängen mit jedem Schritt halbieren, liegt eine Intervallschachtelung vor. Als Teilfolge wählen wir nun ein beliebiges Element

${}x_{n_{k}}\in I_{k}\,$

mit  ${}n_{k}>n_{k-1}$.  Dies ist möglich, da es in diesen Intervallen unendlich viele Folgenglieder gibt. Diese Teilfolge konvergiert nach Aufgabe ***** gegen die durch die Intervallschachtelung bestimmte Zahl ${}x$.

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Kompaktheit

Definition

Eine Teilmenge  ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{m}$  heißt kompakt, wenn sie abgeschlossen und beschränkt ist.

Satz

Es sei  ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{m}$  eine Teilmenge.

Dann ist ${}T$ genau dann kompakt, wenn jede Folge in ${}T$ eine in ${}T$ konvergente Teilfolge besitzt.

Beweis

Wenn ${}T$ nicht beschränkt ist, so gibt es zu jeder natürlichen Zahl  ${}n\in \mathbb {N}$  ein  ${}x_{n}\in T$  mit  ${}d{\left(x_{n},0\right)}\geq n$.  Diese Folge kann keine konvergente Teilfolge besitzen. Wenn ${}T$ nicht abgeschlossen ist, so gibt es nach Satz 19.16 eine Folge  ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\in T$,  die gegen ein ${}x\in \mathbb {R} ^{m},\,x\not \in T$, konvergiert. Jede Teilfolge davon konvergiert ebenfalls gegen ${}x$, sodass es keine in ${}T$ konvergente Teilfolge geben kann.

Es sei nun ${}T$ abgeschlossen und beschränkt, und sei eine Folge  ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\in T$  vorgegeben. Für diese Folge ist insbesondere jede Komponentenfolge ${}{\left(x_{in}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ beschränkt. Wir betrachten die erste Komponente  ${}i=1$.  Nach dem Satz von Bolzano-Weierstrass gibt es eine Teilfolge ${}{\left(x_{n_{j}}\right)}_{j\in \mathbb {N} }$ derart, dass die erste Komponente dieser Folge konvergiert. Aus dieser Teilfolge wählen wir nun eine weitere Teilfolge derart, dass auch die zweite Komponentenfolge konvergiert. Insgesamt erhält man durch dieses Verfahren eine Teilfolge, wo jede Komponentenfolge konvergiert. Nach Lemma 19.13 konvergiert dann die gesamte Teilfolge in ${}\mathbb {R} ^{m}$. Da ${}T$ abgeschlossen ist, liegt nach Satz 19.16 der Grenzwert in ${}T$.

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Satz

Es sei  ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$  eine kompakte Teilmenge und

$f\colon T\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}$

eine stetige Abbildung.

Dann ist auch das Bild ${}f(T)$ kompakt.

Beweis

Es sei  ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\in f(T)$  eine Folge, wobei wir  ${}y_{n}=f(x_{n})$  mit  ${}x_{n}\in T$  schreiben können. Da ${}T$ kompakt ist, gibt es nach Satz 22.3 eine konvergente Teilfolge ${}x_{n_{i}},\,i\in \mathbb {N}$, die gegen ein  ${}x\in T$  konvergiert. Aufgrund der Stetigkeit konvergiert auch die Bildfolge  ${}y_{n_{i}}=f(x_{n_{i}})$  gegen ${}f(x)$. Damit ist eine konvergente Teilfolge gefunden und ${}f(T)$ ist kompakt nach Satz 22.3.

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Definition

Es sei ${}M$ eine Menge und

$f\colon M\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion. Man sagt, dass ${}f$ in einem Punkt  ${}x\in M$  das Maximum annimmt, wenn

$f(x)\geq f(x'){\text{ für alle }}x'\in M{\text{ gilt}},$

und dass ${}f$ das Minimum annimmt, wenn

$f(x)\leq f(x'){\text{ für alle }}x'\in M{\text{ gilt}}.$

Ein lokales, aber kein globales Maximum der Höhenfunktion ${}h:S^{2}\rightarrow \mathbb {R}$ auf der Erdsphäre ${}S^{2}$.

Die gemeinsame Bezeichnung für ein Maximum oder ein Minimum ist Extremum. In der vorstehenden Definition spricht man auch von globalem Maximum, da darin Bezug auf sämtliche Elemente der Definitionsmenge genommen wird. Interessiert man sich nur für das Verhalten in einer offenen, eventuell kleinen Umgebung, so gelangt man zum Begriff des lokalen Maximums.

Definition

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum und

$f\colon M\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion. Man sagt, dass ${}f$ in einem Punkt  ${}x\in M$  ein lokales Maximum besitzt, wenn es ein  ${}\epsilon >0$  derart gibt, dass für alle ${}x'\in M$ mit ${}d(x,x')\leq \epsilon$ die Abschätzung

${}f(x)\geq f(x')\,$

gilt. Man sagt, dass ${}f$ in  ${}x\in M$  ein lokales Minimum besitzt, wenn es ein  ${}\epsilon >0$  derart gibt, dass für alle ${}x'\in M$ mit ${}d(x,x')\leq \epsilon$ die Abschätzung

${}f(x)\leq f(x')\,$

gilt.

Satz

Es sei  ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$  eine nichtleere kompakte Teilmenge und sei

$f\colon T\longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetige Funktion.

Dann gibt es ein  ${}x\in T$  mit

$f(x)\geq f(x'){\text{ für alle }}x'\in T.$

D.h., dass die Funktion ihr Maximum (und ihr Minimum) annimmt.

Beweis

Aufgrund von Satz 22.4 ist ${}f(T)$ kompakt, also abgeschlossen und beschränkt. Insbesondere ist  ${}f(T)\leq M$  für eine reelle Zahl ${}M$. Wegen  ${}T\neq \emptyset$  besitzt ${}f(T)$ wegen Satz 8.9 ein Supremum ${}s$ in ${}\mathbb {R}$, das wegen der Abgeschlossenheit nach Korollar 19.18 zu ${}f(T)$ gehört, also das Maximum von ${}f(T)$ ist. Daher gibt es auch ein  ${}x\in T$  mit  ${}f(x)=s$. 

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Beispiel

Wir gehen davon aus, dass die Temperatur stetig vom Ort abhängt, d.h. die Temperatur (zu einem bestimmten Zeitpunkt) ist eine stetige Funktion

$f\colon G\longrightarrow \mathbb {R} ,$

wobei ${}G\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ eine Teilmenge ist. Es hängt dann von topologischen Eigenschaften des Gebietes, für das man sich interessiert, ab, ob es einen wärmsten

(oder kältesten) Punkt in ${}G$ gibt. Bei ${}G=\mathbb {R} ^{3}$ (dem naiven unbeschränkten Weltall) muss es keinen wärmsten Punkt geben, z. B. wenn es eine unendliche Folge von zunehmend heißeren Sonnen gibt. Auf der Erdoberfläche gibt es hingegen einen wärmsten Punkt, da die Erdoberfäche kompakt ist. Das Gleiche gilt für die gesamte Erdkugel einschließlich der Erdoberfläche. Für das Erdinnere, also die Erdkugel ohne die Erdoberfläche, muss es keinen kältesten Punkt geben, da die Erde zum Rand hin zunehmend kälter werden könnte.

Korollar

Es sei  ${}P\in {\mathbb {K} }[X]$  ein Polynom.

Dann gibt es ein  ${}w\in {\mathbb {K} }$  mit

${}\vert {P(z)}\vert \geq \vert {P(w)}\vert \,$

für alle  ${}z\in {\mathbb {K} }$. 

D.h. das Minimum des Betrags eines Polynoms wird angenommen.

Beweis

Es sei

${}P(z)=a_{n}z^{n}+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots +a_{1}z+a_{0}\,$

(mit ${}a_{n}\neq 0$). Wir setzen  ${}a:={\max {\left(\vert {a_{i}}\vert ,i=0,\ldots ,n-1\right)}}$  und  ${}r:={\max {\left({\frac {na+\vert {a_{0}}\vert +1}{\vert {a_{n}}\vert }},1\right)}}$.  Bei  ${}n=0$  ist die Aussage klar, sei also  ${}n\geq 1$.  Für ${}z$ mit  ${}\vert {z}\vert \geq r$  gelten die Abschätzungen

${}{\begin{aligned}\vert {P(z)}\vert &\geq \vert {a_{n}z^{n}}\vert -\vert {\sum _{i=0}^{n-1}a_{i}z^{i}}\vert \\&\geq \vert {a_{n}}\vert \vert {z}\vert ^{n}-\sum _{i=0}^{n-1}\vert {a_{i}}\vert \vert {z}\vert ^{i}\\&\geq \vert {a_{n}}\vert \vert {z}\vert ^{n}-\sum _{i=0}^{n-1}a\vert {z}\vert ^{n-1}\\&\geq \vert {z}\vert ^{n-1}(\vert {a_{n}}\vert \vert {z}\vert -na)\\&\geq \vert {a_{0}}\vert +1\\&>\vert {a_{0}}\vert .\end{aligned}}$

Auf der kompakten Menge ${}B(0,r)$ nimmt die stetige Funktion ${}z\mapsto \vert {P(z)}\vert$ nach Satz 22.7 ihr Minimum an, d.h. es gibt ein  ${}w\in B(0,r)$  mit  ${}\vert {P(z)}\vert \geq \vert {P(w)}\vert$  für alle  ${}z\in B(0,r)$.  Wegen  ${}\vert {a_{0}}\vert =\vert {P(0)}\vert \geq \vert {P(w)}\vert$  und der Überlegung für ${}z$ mit  ${}\vert {z}\vert \geq r$  ergibt sich, dass im Punkt ${}w$ überhaupt das Minimum der Funktion angenommen wird.

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Bei ${}{\mathbb {K} }={\mathbb {C} }$ besitzt das Minimum des Betrags eines nichtkonstanten Polynoms stets den Wert ${}0$ - dies ist der Inhalt des Fundamentalsatzes der Algebra, und das vorstehende Lemma ist eine Vorstufe zu seinem Beweis.

Gleichmäßige Stetigkeit

Die Funktion

$f\colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} _{+},\,x\longmapsto 1/x,$

ist stetig. In jedem Punkt ${}x\in \mathbb {R} _{+}$ gibt es zu jedem ${}\epsilon >0$ ein ${}\delta >0$ mit ${}f(U{\left(x,\delta \right)})\subseteq U{\left(f(x),\epsilon \right)}$. Dabei hängt das ${}\delta$ nicht nur von der Zielgenauigkeit ${}\epsilon$, sondern auch von ${}x$ ab. Je kleiner ${}x$ wird, desto steiler wird der Funktionsgraph und desto kleiner muss ${}\delta$ gewählt werden, damit das Bild der ${}\delta$-Umgebung innerhalb der ${}\epsilon$-Umgebung von ${}f(x)$ landet. Es gibt natürlich auch Funktionen, bei denen man zu jedem ${}\epsilon$ ein ${}\delta$ findet, dass für alle ${}x$ die Stetigkeitseigenschaft sichert.

Definition

Es sei

$f\colon L\longrightarrow M,\,x\longmapsto f(x),$

eine Abbildung zwischen den metrischen Räumen ${}L$ und ${}M$. Dann heißt ${}f$ gleichmäßig stetig, wenn es zu jedem  ${}\epsilon >0$  ein  ${}\delta >0$  mit folgender Eigenschaft gibt: Für alle  ${}x,x'\in L$  mit  ${}d{\left(x,x'\right)}\leq \delta$  ist  ${}d{\left(f(x),f(x')\right)}\leq \epsilon$. 

Satz

Es sei  ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$  eine kompakte Teilmenge und sei

$f\colon T\longrightarrow M$

eine stetige Abbildung in einen metrischen Raum ${}M$.

Dann ist ${}f$ gleichmäßig stetig.

Beweis

 Wir nehmen an, dass ${}f$ nicht gleichmäßig stetig ist. Dann gibt es ein  ${}\epsilon >0$  derart, dass für kein  ${}\delta >0$  die Beziehung  ${}f(U{\left(x,\delta \right)})\subseteq U{\left(f(x),\epsilon \right)}$  für alle  ${}x\in T$  erfüllt ist. Insbesondere gibt es also für jedes  ${}n\in \mathbb {N} _{+}$  ein Paar  ${}x_{n},y_{n}\in T$  mit  ${}d{\left(x_{n},y_{n}\right)}\leq {\frac {1}{n}}$,  aber mit  ${}d{\left(f(x_{n}),f(y_{n})\right)}\geq \epsilon$.  Wegen der Kompaktheit gibt es aufgrund von Satz 22.3 eine Teilfolge ${}(x_{n})_{n\in N}$ (dabei ist ${}N\subseteq \mathbb {N}$ unendlich) von ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$, die gegen ein  ${}x\in T$  konvergiert. Die entsprechende Teilfolge ${}(y_{n})_{n\in N}$ konvergiert ebenfalls gegen ${}x$. Wegen der Stetigkeit konvergieren die beiden Bildfolgen ${}(f(x_{n}))_{n\in N}$ und ${}(f(y_{n}))_{n\in N}$ gegen ${}f(x)$. Dies ergibt aber einen Widerspruch, da  ${}d{\left(f(x_{n}),f(y_{n})\right)}\geq \epsilon$  ist.

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