Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil I/Vorlesung 22

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Der Satz von Bolzano-Weierstraß




Satz  

Es sei eine beschränkte Folge von reellen Zahlen.

Dann besitzt die Folge eine konvergente Teilfolge.

Beweis  

Die Folge sei durch

beschränkt. Wir definieren zuerst induktiv eine Intervallhalbierung derart, dass in den Intervallen unendlich viele Folgenglieder liegen. Das Startintervall ist . Sei das -te Intervall bereits konstruiert. Wir betrachten die beiden Hälften

In mindestens einer der Hälften liegen unendlich viele Folgenglieder, und wir wählen als Intervall eine Hälfte mit unendlich vielen Gliedern. Da sich bei diesem Verfahren die Intervalllängen mit jedem Schritt halbieren, liegt eine Intervallschachtelung vor. Als Teilfolge wählen wir nun ein beliebiges Element

mit . Dies ist möglich, da es in diesen Intervallen unendlich viele Folgenglieder gibt. Diese Teilfolge konvergiert nach Aufgabe ***** gegen die durch die Intervallschachtelung bestimmte Zahl .




Kompaktheit

Definition  

Eine Teilmenge heißt kompakt, wenn sie abgeschlossen und beschränkt ist.



Satz  

Sei eine Teilmenge.

Dann ist genau dann kompakt, wenn jede Folge in eine in konvergente Teilfolge besitzt.

Beweis  

Wenn nicht beschränkt ist, so gibt es zu jeder natürlichen Zahl ein mit . Diese Folge kann keine konvergente Teilfolge besitzen. Wenn nicht abgeschlossen ist, so gibt es nach Satz 19.16 eine Folge , die gegen ein , konvergiert. Jede Teilfolge davon konvergiert ebenfalls gegen , so dass es keine in konvergente Teilfolge geben kann.

Sei nun abgeschlossen und beschränkt, und sei eine Folge vorgegeben. Für diese Folge ist insbesondere jede Komponentenfolge beschränkt. Wir betrachten die erste Komponente . Nach dem Satz von Bolzano-Weierstrass gibt es eine Teilfolge derart, dass die erste Komponente dieser Folge konvergiert. Aus dieser Teilfolge wählen wir nun eine weitere Teilfolge derart, dass auch die zweite Komponentenfolge konvergiert. Insgesamt erhält man durch dieses Verfahren eine Teilfolge, wo jede Komponentenfolge konvergiert. Nach Lemma 19.13 konvergiert dann die gesamte Teilfolge in . Da abgeschlossen ist, liegt nach Satz 19.16 der Grenzwert in .




Satz  

Sei eine kompakte Teilmenge und

eine stetige Abbildung.

Dann ist auch das Bild kompakt.

Beweis  

Es sei eine Folge, wobei wir mit schreiben können. Da kompakt ist, gibt es nach Satz 22.3 eine konvergente Teilfolge , die gegen ein konvergiert. Aufgrund der Stetigkeit konvergiert auch die Bildfolge gegen . Damit ist eine konvergente Teilfolge gefunden und ist kompakt nach Satz 22.3.


Extrema example it.svg

Definition  

Es sei eine Menge und

eine Funktion. Man sagt, dass in einem Punkt das Maximum annimmt, wenn

und dass das Minimum annimmt, wenn

Ein lokales, aber kein globales Maximum der Höhenfunktion auf der Erdsphäre .

Die gemeinsame Bezeichnung für ein Maximum oder ein Minimum ist Extremum. In der vorstehenden Definition spricht man auch von globalem Maximum, da darin Bezug auf sämtliche Elemente der Definitionsmenge genommen wird. Interessiert man sich nur für das Verhalten in einer offenen, eventuell kleinen Umgebung, so gelangt man zum Begriff des lokalen Maximums.


Definition  

Sei ein metrischer Raum und

eine Funktion. Man sagt, dass in einem Punkt ein lokales Maximum besitzt, wenn es ein derart gibt, dass für alle  mit die Abschätzung

gilt. Man sagt, dass in ein lokales Minimum besitzt, wenn es ein derart gibt, dass für alle  mit die Abschätzung

gilt.



Satz  

Sei eine nichtleere kompakte Teilmenge und sei

eine stetige Funktion.

Dann gibt es mit

D.h., dass die Funktion ihr Maximum (und ihr Minimum) annimmt.

Beweis  

Aufgrund von Satz 22.4 ist kompakt, also abgeschlossen und beschränkt. Insbesondere ist für eine reelle Zahl . Wegen besitzt wegen Satz 8.9 ein Supremum in , das wegen der Abgeschlossenheit nach Fakt ***** zu gehört, also das Maximum von ist. Daher gibt es auch ein mit .



Beispiel  

Wir gehen davon aus, dass die Temperatur stetig vom Ort abhängt, d.h. die Temperatur (zu einem bestimmten Zeitpunkt) ist eine stetige Funktion

wobei eine Teilmenge ist. Es hängt dann von topologischen Eigenschaften des Gebietes, für das man sich interessiert, ab, ob es einen wärmsten

(oder kältesten) Punkt in gibt. Bei (dem naiven unbeschränkten Weltall) muss es keinen wärmsten Punkt geben, z. B. wenn es eine unendliche Folge von zunehmend heißeren Sonnen gibt. Auf der Erdoberfläche gibt es hingegen einen wärmsten Punkt, da die Erdoberfäche kompakt ist. Das Gleiche gilt für die gesamte Erdkugel einschließlich der Erdoberfläche. Für das Erdinnere, also die Erdkugel ohne die Erdoberfläche, muss es keinen kältesten Punkt geben, da die Erde zum Rand hin zunehmend kälter werden könnte.




Korollar  

Sei ein Polynom.

Dann gibt es ein mit

für alle .

D.h. das Minimum des Betrags eines Polynoms wird angenommen.

Beweis  

Es sei

(mit ). Wir setzen und . Bei ist die Aussage klar, sei also . Für mit gelten die Abschätzungen

Auf der kompakten Menge nimmt die stetige Funktion nach Satz 22.7 ihr Minimum an, d.h. es gibt ein mit für alle . Wegen und der Überlegung für mit

ergibt sich, dass im Punkt überhaupt das Minimum der Funktion angenommen wird.


Bei besitzt das Minimum des Betrags eines nichtkonstanten Polynoms stets den Wert  - dies ist der Inhalt des Fundamentalsatzes der Algebra, und das vorstehende Lemma ist eine Vorstufe zu seinem Beweis.



Gleichmäßige Stetigkeit

Die Funktion

ist stetig. In jedem Punkt gibt es zu jedem ein mit . Dabei hängt das nicht nur von der Zielgenauigkeit , sondern auch von ab. Je kleiner wird, desto steiler wird der Funktionsgraph und desto kleiner muss gewählt werden, damit das Bild der -Umgebung innerhalb der -Umgebung von landet. Es gibt natürlich auch Funktionen, bei denen man zu jedem ein findet, dass für alle die Stetigkeitseigenschaft sichert.


Definition  

Es sei

eine Abbildung zwischen den metrischen Räumen und . Dann heißt gleichmäßig stetig, wenn es zu jedem ein gibt mit folgender Eigenschaft: Für alle mit ist .



Satz  

Es sei eine kompakte Teilmenge und sei

eine stetige Abbildung in einen metrischen Raum .

Dann ist gleichmäßig stetig.

Beweis  

 Wir nehmen an, dass nicht gleichmäßig stetig ist. Dann gibt es ein derart, dass für kein die Beziehung für alle erfüllt ist. Insbesondere gibt es also für jedes ein Paar mit , aber mit . Wegen der Kompaktheit gibt es aufgrund von Satz 22.3 eine Teilfolge (dabei ist unendlich) von , die gegen ein konvergiert. Die entsprechende Teilfolge konvergiert ebenfalls gegen . Wegen der Stetigkeit konvergieren die beiden Bildfolgen und gegen . Dies ergibt aber einen Widerspruch, da ist.



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