Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil II/1/Probeklausur mit Lösungen

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Aufgabe * (3 Punkte)

Lösung


 

Aufgabe * (2 (1+1) Punkte)

a) Unterteile das Intervall in sechs gleichgroße Teilintervalle.

b) Bestimme das Treppenintegral derjenigen Treppenfunktion auf , die auf der in a) konstruierten Unterteilung abwechselnd die Werte und annimmt.

Lösung

a) Die Länge des Intervalls ist , daher muss die Länge der Teilintervalle gleich sein. Dies ergibt die Teilintervalle

b) Die Treppenfunktion, die abwechselnd die Werte und besitzt, hat das Treppenintegral


 

Aufgabe * (5 Punkte)

Berechne durch geeignete Substitutionen eine Stammfunktion zu

Lösung

Wir schreiben

Daher ist mit der Substitution

bzw.

Eine Stammfunktion hiervon ist

und damit ist

eine Stammfunktion von


 

Aufgabe * (5 (2+3) Punkte)

a) Es sei und es sei
eine rationale Funktion in

und in . Man gebe direkt (ohne Bezug auf Standardsubstitutionen der Vorlesung) eine geeignete Substitution an, mit der die Berechnung der Stammfunktion zu auf die Berechnung einer Stammfunktion einer rationalen Funktion in einer Variablen zurückgeführt werden kann.

b) Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion (mit )

Lösung

a) Wir betrachten die Substitution bzw. . Damit ist

Dabei ist jetzt eine rationale Funktion in , und bei der Multiplikation mit bleibt dies eine rationale Funktion.

b) Mit der Substitution bzw. ist

Polynomdivision ergibt

und daher ist dieses Integral gleich

Eine Stammfunktion ist daher

Somit ist

eine Stammfunktion von .


 

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion ()

Lösung

Die Stammfunktion von

berechnet sich unter Verwendung von Lemma 35.4 folgendermaßen.

Eine Stammfunktion von ist . Daher ist

eine Stammfunktion von .


 

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme eine Stammfunktion von

Lösung

Die Funktion hat die Gestalt

deshalb ist nach der Kettenregel (für drei Funktionen) eine Stammfunktion dieser Funktion, wobei eine Stammfunktion von bezeichnet. Also ist

eine Stammfunktion.


 

Aufgabe * (6 Punkte)

Sei ein reelles Intervall und sei

eine stetige Funktion. Es sei und es sei

die zugehörige Integralfunktion. Zeige, dass dann differenzierbar

ist und dass
für alle gilt.

Lösung

Es sei fixiert. Der Differenzenquotient ist

Wir müssen zeigen, dass für der Limes existiert und gleich ist. Nach dem Mittelwertsatz der Integralrechnung gibt es zu jedem ein mit

und damit ist

Für konvergiert dies wegen der Stetigkeit von gegen .


 

Aufgabe * (8 (4+1+3) Punkte)

a) Bestimme die reelle Partialbruchzerlegung von

b) Bestimme eine Stammfunktion von

c) Bestimme eine Stammfunktion von

Lösung

Es ist

Damit liegt die Faktorzerlegung des Nenners vor, so dass die Partialbruchzerlegung die Gestalt

mit reellen Zahlen besitzt. Multiplikation mit dem Hauptnenner ergibt

Einsetzen von ergibt , also .

Einsetzen von ergibt , also .

Einsetzen von ergibt , also ist , also .

Einsetzen von ergibt

Also ist und daher . Die Partialbruchzerlegung ist also

b) Eine Stammfunktion von

ist

c) Es ist

Wir wenden die Standardsubstitution an und erhalten

Nach Teil b) ist

eine Stammfunktion von .


 

Aufgabe * (11 (4+7) Punkte)

a) Sei

eine monoton fallende stetige Funktion. Es sei vorausgesetzt, dass das uneigentliche Integral

existiert. Zeige, dass

ist.

b) Man zeige durch ein Beispiel, dass die Aussage in a) für eine stetige, nicht monoton fallende Funktion nicht gelten muss.

Lösung

a) Da das uneigentliche Integral existiert sind insbesondere die eigentlichen Integrale für nach oben beschränkt, sagen wir durch die Schranke . Nehmen wir an, dass die Funktion für nicht gegen konvergiert. Dann gibt es ein derart, dass es zu jedem ein mit gibt. Wegen der Monotonie gilt auch für alle . Daher ist

Wir wählen so, dass ist und erhalten einen Widerspruch.

b) Wir betrachten die Funktion

die folgendermaßen definiert ist. Wenn zu einem Intervall der Form

(mit einer natürlichen Zahl ) gehört, so setzen wir

und sonst. Dabei ist für natürliche Zahlen , wie sich direkt durch Einsetzen ergibt. Da andererseits ist, existiert kein Grenzwert für . Die Abbildung ist stetig, wie sich ebenfalls durch Einsetzen an den Übergangsstellen ergibt. Um zu zeigen, dass das uneigentliche Integral existiert, betrachten wir zu natürlichen Zahlen die Integrale

Da es sich um ein Dreieck mit Grundseite und Höhe handelt, ist dieses Integral gleich (man kann auch durch abschätzen). Daher ist

Da die Reihe rechts konvergiert, ist die linke Seite nach oben beschränkt, daher existiert das uneigentliche Integral.


 

Aufgabe * (7 (1+2+2+2) Punkte)

a) Zeige, dass für die Abschätzung

gilt.

b) Zeige, dass die Funktion mit

für monoton wachsend ist.

c) Zeige, dass gilt.

d) Zeige, dass für die Fakultätsfunktion für die Abschätzung

gilt.

Lösung

a) Es ist

b) Sei . Dann ist für alle . Daher ist

für alle und daher überträgt sich dies auf die uneigentlichen Integrale, also ist

c) Es ist . Daher ist

d) Sei . Es sei . Dann ist wegen a), b) und c)


 

Aufgabe * (4 (1+2+1) Punkte)

a) Finde alle Lösungen der gewöhnlichen Differentialgleichung ()

b) Finde alle Lösungen der gewöhnlichen Differentialgleichung ()

c) Löse das Anfangswertproblem

Lösung

a) Nach dem Lösungsansatz für homogene lineare Differentialgleichungen müssen wir zuerst eine Stammfunktion von bestimmen, eine solche ist . Die Exponentialfunktion davon ist , so dass (mit ) die Lösungen von sind.

b) Eine Stammfunktion zu ist

Damit ist

eine Lösung der inhomogenen Differentialgleichung und somit sind

alle Lösungen.

c) Wenn zusätzlich die Anfangsbedingung erfüllt sein soll, so muss

gelten, also

Die Lösungs des Anfangsproblems ist also


 

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme die Lösungen der Differentialgleichung ()

mit dem Lösungsansatz für getrennte Variablen. Was ist der Definitionsbereich der Lösungen?

Lösung

Wir schreiben und . Eine Stammfunktion zu ist ( ist also negativ) mit der Umkehrfunktion

Die Stammfunktionen zu sind mit . Daher sind die Lösungen der Differentialgleichung von der Form

Bei gegebenem ist diese Wurzel genau dann definiert, wenn

ist. Dies bedeutet

Die Definitionsbereiche sind also


 

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