a) Die Länge des Intervalls ist
, daher muss die Länge der Teilintervalle gleich
-

sein. Dies ergibt die Teilintervalle
-
b) Die Treppenfunktion, die abwechselnd die Werte
und
besitzt, hat das Treppenintegral
-

Wir schreiben

Daher ist mit der Substitution
-

bzw.
-

-

Eine Stammfunktion hiervon ist
-
und damit ist
-
eine Stammfunktion von
-
a) Wir betrachten die Substitution
bzw.
. Damit ist
-
![{\displaystyle {}\int _{}^{}f(x)\,dx=\int _{}^{}R(x,{\sqrt[{k}]{x}})\,dx=\int _{}^{}R(u^{k},u)\cdot ku^{k-1}\,du\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/450137d49607e9de6669be56a36615ce12959738)
Dabei ist jetzt
eine rationale Funktion in
, und bei der Multiplikation mit
bleibt dies eine rationale Funktion.
b) Mit der Substitution
bzw.
ist
-
![{\displaystyle {}\int _{}^{}{\frac {{\sqrt[{3}]{x}}+x}{({\sqrt[{3}]{x}})^{2}-{\sqrt[{3}]{x}}}}\,dx=\int _{}^{}{\frac {u+u^{3}}{u^{2}-u}}\cdot 3u^{2}\,du=\int _{}^{}{\frac {3u^{2}+3u^{4}}{u-1}}\,du\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6878af4503e5ab45b92864fb677856816a83c4e4)
Polynomdivision ergibt
-

und daher ist dieses Integral gleich
-

Eine Stammfunktion ist daher
-
Somit ist
-
eine Stammfunktion von
.
Die
Stammfunktion
von
-
berechnet sich unter Verwendung von
Lemma 35.4
folgendermaßen.
-

Eine Stammfunktion von
ist
. Daher ist
-
eine Stammfunktion von
.
a) Es ist
-

Damit liegt die Faktorzerlegung des Nenners vor, sodass die Partialbruchzerlegung die Gestalt
-

mit reellen Zahlen
besitzt. Multiplikation mit dem Hauptnenner ergibt
-

Einsetzen von
ergibt
,
also
.
Einsetzen von
ergibt
,
also
.
Einsetzen von
ergibt
,
also ist
,
also
.
Einsetzen von
ergibt
-

Also ist
und daher
.
Die Partialbruchzerlegung ist also
-

b) Eine Stammfunktion von
-

ist
-
c) Es ist
-

Wir wenden die Standardsubstitution
an und erhalten

Nach Teil b) ist
-
eine Stammfunktion von
.
a) Da das uneigentliche Integral existiert sind insbesondere die eigentlichen Integrale
für
nach oben beschränkt, sagen wir durch die Schranke
. Nehmen wir an, dass die Funktion
für
nicht gegen
konvergiert. Dann gibt es ein
derart, dass es zu jedem
ein
mit
gibt. Wegen der Monotonie gilt auch
für alle
. Daher ist
-

Wir wählen
derart, dass
ist und erhalten einen Widerspruch.
b) Wir betrachten die Funktion
-
die folgendermaßen definiert ist. Wenn

zu einem Intervall der Form
-
(mit einer natürlichen Zahl
)
gehört, so setzen wir
-
und
sonst. Dabei ist
für natürliche Zahlen
, wie sich direkt durch Einsetzen ergibt. Da andererseits
ist, existiert kein Grenzwert für
. Die Abbildung ist stetig, wie sich ebenfalls durch Einsetzen an den Übergangsstellen ergibt. Um zu zeigen, dass das uneigentliche Integral existiert, betrachten wir zu natürlichen Zahlen
die Integrale
-
Da es sich um ein Dreieck mit Grundseite
und Höhe
handelt, ist dieses Integral gleich
(man kann auch durch
abschätzen).
Daher ist
-
Da die Reihe rechts konvergiert, ist die linke Seite nach oben beschränkt, daher existiert das uneigentliche Integral.
a) Es ist
-

b)
Es sei
.
Dann ist
-

für alle
.
Daher ist
-

für alle
und daher überträgt sich dies auf die uneigentlichen Integrale, also ist
-

c) Es ist
.
Daher ist

d)
Es sei
.
Es sei
-

Dann ist wegen a), b) und c)

a) Nach dem Lösungsansatz für homogene lineare Differentialgleichungen müssen wir zuerst eine Stammfunktion von
bestimmen, eine solche ist
. Die Exponentialfunktion davon ist
, sodass
(mit
)
die Lösungen von
-

sind.
b) Eine Stammfunktion zu
ist
-
Damit ist
-

eine Lösung der inhomogenen Differentialgleichung und somit sind
-
alle Lösungen.
c) Wenn zusätzlich die Anfangsbedingung
erfüllt sein soll, so muss
-

gelten, also
-

Die Lösungs des Anfangsproblems ist also
-

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