Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil II/2/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe * (4 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine obere Treppenfunktion zu einer Funktion

    auf einem beschränkten Intervall .

  2. Das totale Differential in einem Punkt einer in diesem Punkt total differenzierbaren Abbildung

    (dabei seien und endlichdimensionale reelle Vektorräume).

  3. Den Tangentialraum an die Faser einer stetig differenzierbare Abbildung

    zwischen endlichdimensionalen -Vektorräumen durch einen Punkt , in dem das totale Differential surjektiv ist.

  4. Ein (zeitabhängiges) Vektorfeld auf einer offenen Menge .
  5. Eine Bilinearform auf einem -Vektorraum .
  6. Die Gramsche Matrix zu einer Bilinearform auf einem -Vektorraum bezüglich einer Basis von .
  7. Der Dualraum zu einem -Vektorraum .
  8. Eine trigonalisierbare lineare Abbildung , wobei ein endlichdimensionaler -Vektorraum ist.

Lösung

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine obere Treppenfunktion zu einer Funktion

    auf einem beschränkten Intervall .

  2. Das totale Differential in einem Punkt einer in diesem Punkt total differenzierbaren Abbildung

    (dabei seien und endlichdimensionale reelle Vektorräume).

  3. Den Tangentialraum an die Faser einer stetig differenzierbare Abbildung

    zwischen endlichdimensionalen -Vektorräumen durch einen Punkt , in dem das totale Differential surjektiv ist.

  4. Ein (zeitabhängiges) Vektorfeld auf einer offenen Menge .
  5. Eine Bilinearform auf einem -Vektorraum .
  6. Die Gramsche Matrix zu einer Bilinearform auf einem -Vektorraum bezüglich einer Basis von .
  7. Der Dualraum zu einem -Vektorraum .
  8. Eine trigonalisierbare lineare Abbildung , wobei ein endlichdimensionaler -Vektorraum ist.


 

Aufgabe * (4 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die komplexe Partialbruchzerlegung.
  2. Die Formel für die Länge einer Kurve
  3. Der Satz über den Zusammenhang von totaler Differenzierbarkeit und Richtungsableitung für eine Abbildung
    in einem Punkt .
  4. Der Satz über die Umkehrabbildung.

Lösung

  1. Es seien Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle {{}} P,Q \in {{<span class="error">Expansion depth limit exceeded</span>|latex={\mathbb C} |#default=\Complex }}[X]} , , {{Expansion depth limit exceeded}}{{Expansion depth limit exceeded|Seitenname=}} und es sei

    mit verschiedenen Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle {{}} a_i \in {{<span class="error">Expansion depth limit exceeded</span>|latex={\mathbb C} |#default=\Complex }}} .

    Dann gibt es ein eindeutig bestimmtes Polynom Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle {{}} H \in {{<span class="error">Expansion depth limit exceeded</span>|latex={\mathbb C} |#default=\Complex }}[X]} und eindeutig bestimmte Koeffizienten Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle {{}} c_{ij} \in {{<span class="error">Expansion depth limit exceeded</span>|latex={\mathbb C} |#default=\Complex }}} , , , mit

  2. Es sei ein kompaktes Intervall und

    eine stetig differenzierbare Abbildung. Dann ist rektifizierbar und für die Kurvenlänge gilt

  3. Sei im Punkt total differenzierbar mit dem totalen Differential . Dann ist in in jede Richtung differenzierbar, und es gilt
  4. Es seien und euklidische Vektorräume, sei offen und es sei

    eine stetig differenzierbare Abbildung. Es sei ein Punkt derart, dass das totale Differential

    bijektiv ist. Dann gibt es eine offene Menge und eine offene Menge mit und mit derart, dass eine Bijektion

    induziert, und dass die Umkehrabbildung

    ebenfalls stetig differenzierbar ist.


 

Aufgabe * (3 Punkte)

Berechne das bestimmte Integral zur Funktion

über .

Lösung

Eine Stammfunktion zu ist

Daher ist


 

Aufgabe * (9 (6+3) Punkte)

Wir betrachten die Funktion

a) Bestimme die reelle Partialbruchzerlegung von .

b) Bestimme eine Stammfunktion von für .

Lösung

a) Zunächst ist

Polynomdivision des Zählers durch den Nenner ergibt

Daher ist

Für den rechten Bruch bestimmen wir die Partialbruchzerlegung über den Ansatz

der wiederum auf

führt.

Für ergibt sich

also .

Für ergibt sich

also .

Für ergibt sich

also .

Der Koeffizient zu führt schließlich auf

Die Subtraktion der dritten Gleichung von der zweiten führt auf

Aus der vierten Gleichung folgt daraus und aus der zweiten Gleichung ergibt sich

Somit ergibt sich insgesamt die Partialbruchzerlegung

b) Eine Stammfunktion von ist


 

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei

eine stetig differenzierbare Kurve und sei

eine lineare Isometrie. Beweise die Längengleichheit

Lösung

Für eine stetig differenzierbare Kurve

gilt

Die Kurve ist ebenfalls stetig differenzierbar, und nach der Kettenregel gilt

da linear ist. Da eine Isometrie ist, stimmt die Norm von mit der Norm von überein. Daher ist


 

Aufgabe * (6 (2+2+2) Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

a) Bestimme die Jacobi-Matrix zu dieser Abbildung.

b) Zeige, dass im Nullpunkt nicht regulär ist.

c) Zeige, dass in regulär ist.

Lösung

a) Die Jacobi-Matrix ist

b) Die Jacobi-Matrix im Nullpunkt ist

Diese Matrix hat den Rang , so dass der Nullpunkt nicht regulär ist.

c) Die Jacobi-Matrix in ist

Die Determinante der vorderen -Untermatrix ist , so dass die ersten vier Spaltenvektoren linear unabhängig sind und daher der Rang der Matrix gleich ist. Daher handelt es sich um einen regulären Punkt.


 

Aufgabe * (4 Punkte)

Untersuche die Funktion

auf kritische Punkte und Extrema.

Lösung

Die partiellen Ableitungen der Funktion sind

und

Eine notwendige Voraussetzung für die Existenz eines lokalen Extremums ist, dass der Gradient ist. Aus

folgt sofort

also und daraus

Es kann also allenfalls im kritischen Punkt ein lokales Extremum vorliegen.

Die Hesse-Matrix der Funktion ist

Der Eintrag links oben ist also positiv und die Determinante ist negativ. Daher ist die Hesse-Matrix indefinit und somit liegt kein Extremum vor.


 

Aufgabe * (6 Punkte)

Beweise den Mittelwertsatz der Integralrechnung.

Lösung

Es sei

eine stetige Funktion. Über dem kompakten Intervall ist die Funktion nach oben und nach unten beschränkt, es seien und das Minimum bzw. das Maximum der Funktion. Dann ist insbesondere für alle und

Daher ist mit einem und aufgrund des Zwischenwertsatzes gibt es ein mit .


 

Aufgabe * (8 Punkte)

Beweise den Satz über implizite Abbildungen für den Fall einer linearen surjektiven Abbildung

Für welche Punkte sind die Voraussetzungen des Satzes erfüllt?

Lösung

Es ist und sei ein beliebiger Punkt. Bei einer linearen Abbildung stimmt das totale Differential mit der linearen Abbildung überein. Da diese nach Voraussetzung surjektiv ist, sind die Voraussetzungen des Satzes für jeden Punkt erfüllt. Ferner folgt aus der Surjektivität. Es sei der Kern der linearen Abbildung, der nach dem Dimensionssatz die Dimension besitzt. Daher gibt es eine lineare Isomorphie , die eine lineare injektive Abbildung definiert.

Die Faser durch , also das Urbild von , ist die Teilmenge
und ergibt sich daher aus dem Kern durch verschieben um . Insgesamt erhalten wir

wobei vorne eine lineare injektive Abbildung (deren Bild gleich ist) und hinten eine Verschiebung steht. Daher ist die Abbildung stetig differenzierbar und injektiv. Das Bild von ist nach der Vorüberlegung genau , so dass eine Bijektion vorliegt.

Als Verknüpfung einer linearen Einbettung und einer Verschiebung ist in jedem Punkt regulär. Das totale Differential von ist , da das totale Differential einer Verschiebung die Identität ist. Wegen gilt auch der Zusatz.


 

Aufgabe * (8 Punkte)

Wir betrachten die Funktion

Für welche , , besitzt die zugehörige dreistufige (maximale) untere Treppenfunktion zu den maximalen Flächeninhalt? Welchen Wert besitzt er?

Lösung

Es seien die Markierungen der möglichen Intervallunterteilungen. Der Flächeninhalt der zugehörigen maximalen unteren Treppenfunktion von ist

Die partiellen Ableitungen davon sind

Wir bestimmen die kritischen Punkte. Aus der ersten Gleichung folgt

(den negativen Fall kann man ausschließen). Wir setzen in die zweite Gleichung ein und erhalten die Bedingung

woraus

folgt. Daher ist

und der einzige kritische Punkt ist

Die Hesse-Matrix von ist

Im kritischen Punkt ist der Eintrag links oben negativ. Die Determinante ist

positiv, so dass die Hesse-Matrix negativ definit ist und daher im kritischen Punkt ein Maximum vorliegt. Da es auch in einer geeigneten (kleinen) offenen Umgebung des abgeschlossenen Definitionsbereiches keinen weiteren kritischen Punkt gibt, liegt ein absolutes Maximum vor. Der Wert ist


 

Aufgabe * (8 (5+3) Punkte)

a) Bestimme den Lösungsraum des linearen Differentialgleichungssystems

b) Löse das Anfangswertproblem

mit der Anfangsbedingung .

Lösung

a) Wir berechnen die Eigenwerte der Matrix. Das charakteristische Polynom davon ist

Daher sind und die Eigenwerte, und daher ist die Matrix diagonalisierbar.

Zur Bestimmung eines Eigenvektors zum Eigenwert berechnen wir den Kern von

Dies ergibt den Eigenvektor zum Eigenwert und damit die erste Fundamentallösung

Zur Bestimmung eines Eigenvektors zum Eigenwert berechnen wir den Kern von

Dies ergibt den Eigenvektor zum Eigenwert und damit die zweite Fundamentallösung

Die allgemeine Lösung hat demnach die Form

mit .

b) Um das Anfangsproblem zu lösen müssen wir und so bestimmen, dass

ist. Die zweite Gleichung bedeutet . Wir addieren das -fache der ersten Zeile zu dazu und erhalten

woraus sich

und somit

ergibt. Daher ist

Die Lösung des Anfangswertproblems ist also


 









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