Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/3/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
Punkte 3 3 2 5 2 4 4 3 4 2 4 3 5 3 1 7 3 6 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine Teilmenge einer Menge .
  2. Die Umkehrabbildung zu einer bijektiven Abbildung .
  3. Die Fakultät einer natürlichen Zahl .
  4. Die Exponentialreihe für .
  5. Das obere Treppenintegral zu einer oberen Treppenfunktion zu einer Funktion

    auf einem beschränkten Intervall .

  6. Eine diagonalisierbare lineare Abbildung

    auf einem -Vektorraum .


Lösung

  1. Man sagt, dass die Menge eine Teilmenge von ist, wenn jedes Element von auch ein Element von ist.
  2. Die Abbildung

    die jedes Element auf das eindeutig bestimmte Element mit abbildet, heißt die Umkehrabbildung zu .

  3. Unter der Fakultät von versteht man die Zahl
  4. Für jedes heißt die Reihe

    die Exponentialreihe in .

  5. Zur oberen Treppenfunktion

    von zur Unterteilung , , und den Werten , , heißt das Treppenintegral

    eine oberes Treppenintegral von auf .

  6. Der Endomorphismus heißt diagonalisierbar, wenn eine Basis aus Eigenvektoren zu besitzt.


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über Konvergenz und Beschränktheit von Folgen.
  2. Der Mittelwertsatz der Integralrechnung.
  3. Das Injektivitätskriterium für eine lineare Abbildung.


Lösung

  1. Eine konvergente reelle Folge ist beschränkt.
  2. Sei ein kompaktes Intervall und sei

    eine stetige Funktion. Dann gibt es ein mit

  3. Es sei ein Körper, und seien -Vektorräume und
    sei eine -lineare Abbildung. Dann ist injektiv genau dann, wenn ist.


Aufgabe (2 Punkte)

Es stehen zwei Eimer ohne Markierungen zur Verfügung, ferner eine Wasserquelle. Der eine Eimer hat ein Fassungsvermögen von und der andere ein Fassungsvermögen von Litern. Zeige, dass man allein durch Auffüllungen, Ausleerungen und Umschüttungen erreichen kann, dass in einem Eimer genau ein Liter Wasser enthalten ist.


Lösung

Die folgende Kette von Inhaltspaaren kann man bei den gegebenen Möglichkeiten offensichtlich erreichen.


Aufgabe (5 (1+1+1+2) Punkte)

Ein Zug ist Meter lang (ohne Lokomotive) und bewegt sich mit Stundenkilometer. Lucy Sonnenschein hat ihr Fahrrad mit in den Zug genommen und fährt mit einer Geschwindigkeit von Metern pro Sekunde von ganz vorne nach ganz hinten.

  1. Wie viele Sekunden benötigt Lucy für die gesamte Zuglänge?
  2. Welche Geschwindigkeit (in Meter pro Sekunde) hat Lucy bezogen auf die Umgebung?
  3. Welche Entfernung (in Meter) legt der Zug während der Fahrradfahrt zurück?
  4. Berechne auf zwei verschiedene Arten, welche Entfernung Lucy während ihrer Fahrradfahrt bezogen auf die Umgebung zurücklegt.


Lösung

  1. Lucy benötigt Sekunden für den Meter langen Zug.
  2. In Meter pro Sekunde hat der Zug eine Geschwindigkeit von

    Da die beiden Bewegungen sich überlagern, aber in umgekehrter Richtung ausgerichtet sind, ist die Gesamtgeschwindigkeit von Lucy gleich Meter pro Sekunde.

  3. In den Sekunden legt der Zug

    Meter zurück.

  4. Man kann von der vom Zug zurückgelegten Strecke die von Lucy im Zug zurückgelegte Strecke subtrahieren, dies ergibt

    Meter. Ebenso kann man mit ihrer Geschwindigkeit bezogen auf die Umgebung rechnen, und erhält ebenfalls

    Meter.


Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ein angeordneter Körper und . Zeige, dass genau dann gilt, wenn gilt.


Lösung

Wenn ist, so folgt daraus durch Multiplikation mit die Abschätzung

und durch Multiplikation mit auch

woraus sich insgesamt

ergibt.

Sei nun

vorausgesetzt. Wenn

gelten würde, so würde sich mit der Hinrichtung direkt

ergeben, also insgesamt

Wegen folgt daraus

ein Widerspruch.


Aufgabe (4 Punkte)

Beweise den Satz über die Anzahl von Nullstellen eines Polynoms über einem Körper .


Lösung

Wir beweisen die Aussage durch Induktion über . Für ist die Aussage offensichtlich richtig. Sei also und die Aussage sei für kleinere Grade bereits bewiesen. Sei eine Nullstelle von (falls keine Nullstelle besitzt, sind wir direkt fertig), Dann ist nach Lemma 6.5 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)) und hat den Grad , so dass wir auf die Induktionsvoraussetzung anwenden können. Das Polynom hat also maximal Nullstellen. Für gilt . Dies kann nur dann sein, wenn einer der Faktoren ist, so dass eine Nullstelle von gleich ist oder aber eine Nullstelle von ist. Es gibt also maximal Nullstellen von .


Aufgabe (4 Punkte)

Beweise das Cauchy-Kriterium für Reihen reeller Zahlen.


Lösung

Wir setzen . Die Konvergenz der Reihe bedeutet die Konvergenz dieser Folge der Partialsummen. Eine reelle Folge konvergiert genau dann, wenn es sich um eine Cauchyfolge handelt. Eine solche liegt vor, wenn es zu jedem ein derart gibt, dass zu jedem

die Abschätzung

gilt. Im Reihenfall bedeutet dies einfach

(die Verschiebung um in der Indexmenge macht keinen Unterschied).


Aufgabe (3 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für eine nichtstetige Funktion

derart, dass sämtliche Hintereinanderschaltungen unendlich oft differenzierbar sind.


Lösung

Wir betrachten die durch

definierte Funktion. Diese Funktion ist an der Stelle nicht stetig, da sie dort eine Sprungstelle besitzt. Es ist die konstante Funktion mit dem Wert , da nur die beiden Wert und besitzt und diese beiden auf abgebildet werden. Höhere Hintereinanderschaltungen von mit sich selbst sind aus demselben Grund ebenfalls die Nullabbildung. Als konstante Abbildung sind diese unendlich oft differenzierbar.


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass die Gleichung

eine reelle Lösung im Intervall besitzt und bestimme diese bis auf einen Fehler von maximal ein Achtel.


Lösung

Die Funktion hat an der Stelle den Wert

und an der Stelle den Wert

nach dem Zwischenwertsatz muss es also dazwischen ein Element mit dem Wert geben. Wir verwenden die Intervallhalbierung zur Approximation einer solchen Stelle. An der Stelle ist der Wert

Eine Lösung muss sich also im Intervall befinden. An der Stelle ist

Eine Lösung muss sich also im Intervall befinden. An der Stelle ist

Daher liegt eine Lösung im Intervall .


Aufgabe (2 (1+1) Punkte)

Wir betrachten die Funktion

a) Bestimme die Ableitung .

b) Bestimme die zweite Ableitung .


Lösung

a) Es ist

b) Es ist


Aufgabe (4 Punkte)

Es seien

zwei differenzierbare Funktionen. Es sei . Es gelte

Zeige, dass


Lösung

Wir betrachten die Hilfsfunktion

Nach den Voraussetzungen ist differenzierbar, es ist und es ist für alle . Wir müssen zeigen, dass für alle ist. Nehmen wir also an, dass es ein gibt mit . Aufgrund des Mittelwertsatzes gibt es ein mit

Da diese Zahl negativ ist, ergibt sich ein Widerspruch.


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die lokalen Extrema der Funktion


Lösung

Die Ableitung der Funktion ist

und die zweite Ableitung ist

Wenn wir die erste Ableitung gleich setzen, so erhalten wir

und damit

Für die zweite Ableitung an

ist

also liegt an der Stelle ein isoliertes lokales Minimum vor.

Für die zweite Ableitung an

ist

also liegt an der Stelle ein isoliertes lokales Maximum vor. Beide sind nicht global, da das kubische Polynom surjektiv ist.


Aufgabe (5 Punkte)

Beweise den Mittelwertsatz der Integralrechnung.


Lösung

Es sei

eine stetige Funktion. Über dem kompakten Intervall ist die Funktion nach oben und nach unten beschränkt, es seien und das Minimum bzw. das Maximum der Funktion. Dann ist insbesondere für alle und

Daher ist mit einem und aufgrund des Zwischenwertsatzes gibt es ein mit .


Aufgabe (3 Punkte)

Berechne das bestimmte Integral zur Funktion

über .


Lösung

Eine Stammfunktion zu ist

Daher ist


Aufgabe (1 Punkt)

Bestimme die Umkehrfunktion zur linearen Funktion


Lösung

Die Umkehrfunktion ist

da

ist.


Aufgabe (7 Punkte)

Es sei ein Körper und ein endlichdimensionaler -Vektorraum. Es sei ein Untervektorraum. Zeige, dass es einen -Vektorraum und eine surjektive -lineare Abbildung

derart gibt, dass ist.


Lösung

Der Unterraum ist ebenfalls endlichdimensional. Es sei eine Basis von , die wir durch zu einer Basis von ergänzen können. Es sei . Wir betrachten die lineare Abbildung

die durch

und

festgelegt ist (dabei sei der -te Standardvektor des ), was nach dem Basisfestlegungssatz möglich ist. Wegen

ist die Abbildung surjektiv. Offenbar ist . Es sei

Dann ist

Da die Standardbasis vorliegt, sind die und daher ist . Also ist .


Aufgabe (3 Punkte)

Berechne die Determinante der Matrix


Lösung

Wir entwickeln nach der vierten Zeile. Dies ergibt


Aufgabe (6 (2+4) Punkte)

Wir betrachten die Matrix

über dem Körper der rationalen Funktionen .

  1. Bestimme das charakteristische Polynom von .
  2. Bestimme, ob Eigenwerte besitzt.


Lösung

  1. Es ist
  2. Wir führen quadratische Ergänzung durch und schreiben dieses Polynom als
    Für das Polynom gilt:
    Daraus lassen sich direkt die 4 Nullstellen ablesen. Also besteht die Linearfaktorzerlegung von aus 4 unterschiedlichen Linearfaktoren.
    Nach dem Fundamentalsatz der Algebra hat jedes Polynom in eine komplexe Linearfaktorzerlegung.
    Wir behaupten, dass keine Quadratwurzel in (und damit auch in ) besitzt. Wenn es nämlich eine rationale Funktion mit

    geben würde, so wäre

    doch dann würde die komplexe Linearfaktorzerlegung von eine ungerade Anzahl von einem der Linearfaktoren von enthalten, die komplexe Linearfaktorzerlegung von jedoch enthält jeden Faktor in gerader Anzahl, was einen Widerspruch ergibt.
    Somit besitzt das charakteristische Polynom keine Nullstelle und daher hat die Matrix keinen Eigenwert.