Lösung
- Eine
natürliche Zahl
heißt eine Primzahl, wenn die einzigen natürlichen
Teiler
von ihr
und
sind.
- Für eine reelle Zahl
ist der Betrag folgendermaßen definiert.
-
![{\displaystyle {}\vert {x}\vert ={\begin{cases}x,{\text{ falls }}x\geq 0\,,\\-x,{\text{ falls }}x<0\,.\end{cases}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd23b99922412679cb3d42157bf4007fe8f1a290)
- Die eulersche Zahl ist durch
-
![{\displaystyle {}e=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/315535235aeeff2af888bc026eb54212c79c7d0e)
definiert.
- Die Taylor-Reihe zu
im Entwicklungspunkt
ist
-
- Die Teilmenge
heißt Untervektorraum, wenn die folgenden Eigenschaften gelten.
.
- Mit
ist auch
.
- Mit
und
ist auch
.
- Ein Element
,
,
heißt ein Eigenvektor von
,
wenn
-
![{\displaystyle {}\varphi (v)=\lambda v\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5723ae46bbea79f11d176fb7d06b19ca77cae1b4)
mit einem gewissen
gilt.
Lösung
- Für jede natürliche Zahl
sei eine Aussage
gegeben. Es gelte
ist wahr.
- Für alle
gilt: wenn
gilt, so ist auch
wahr.
Dann gilt
für alle
.
- Es seien
reelle Zahlen und sei
eine stetige Funktion. Es sei
eine reelle Zahl zwischen
und
.
Dann gibt es ein
mit
.
- Es sei
-
![{\displaystyle {}g(x):=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4885ab6b2ba4f9fbd5c9d2e80bb1e5868162f565)
eine Potenzreihe, die auf dem offenen Intervall
konvergiere und dort die Funktion
darstellt.
Dann ist auch die formal abgeleitete Potenzreihe
-
![{\displaystyle {}{\tilde {g}}(x):=\sum _{n=1}^{\infty }na_{n}x^{n-1}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d96b71ef4c55da2881fa7eaf834ff9ce80904a8)
auf
konvergent. Die Funktion
ist in jedem Punkt dieses Intervalls differenzierbar
mit
-
![{\displaystyle {}f'(x)={\tilde {g}}(x)\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41e56be976671b8302cab63375ad34941b111a88)
Lösung
- Da beide mit der gleichen Dicke streichen, ist der Butterverbrauch proportional zur bestrichenen Fläche. Bei Lucy ist die bestrichene Fläche
(in Quadratzentimetern)
gleich
-
![{\displaystyle {}20\cdot 3=60\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/371f7ffdf135e89020a7ee326aedf6e4e0eefdb7)
Wegen
hat Heidi
Stücke zu bestreichen, ihre bestrichene Fläche ist gleich
-
![{\displaystyle {}8\cdot \pi \cdot 1{,}5^{2}=8\cdot 2{,}25\cdot \pi =18\cdot \pi \leq 18\cdot 3{,}2=57{,}6\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9e1056a58bc1bbf96aba43f4383a4299e59e51c)
Lucy verwendet also mehr Butter.
- Lucy verwendet
-
![{\displaystyle {}60\cdot 0{,}05=3\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28728673aa2b1a4a60170c50629fd75380956d0a)
Kubikzentimeter Butter für ihre Laugenstange.
- Es ist
-
![{\displaystyle {}250:3=83{,}33..\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf5297a438b1d85a75f5d71c899fe18772442b71)
Lucy kann also
Laugenstangen mit ihrer Methode bestreichen.
Lösung Pferde/Farbe/Induktion/Aufgabe/Lösung
Drücke
-
mit einer einzigen Wurzel aus.
Lösung
Es ist
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}{\sqrt[{2}]{5}}\cdot {\sqrt[{3}]{7}}&=5^{\frac {1}{2}}\cdot 7^{\frac {1}{3}}\\&={\left(5^{3}\right)}^{\frac {1}{6}}\cdot {\left(7^{2}\right)}^{\frac {1}{6}}\\&=125^{\frac {1}{6}}\cdot 49^{\frac {1}{6}}\\&=6125^{\frac {1}{6}}\\&={\sqrt[{6}]{6125}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1668f731be283c354afccc923e042063f10cd107)
Lösung
Lösung
Das muss keine Cauchy-Folge sein. Betrachten wir die harmonische Reihe, also die Folge, die durch
-
![{\displaystyle {}x_{n}:=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+\cdots +{\frac {1}{n}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/041d7284d5644ca19ebe2e9f8d8979d63e342243)
gegeben ist. Es ist dann
-
![{\displaystyle {}x_{n}-x_{n-1}={\frac {1}{n}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb662d25adf60f2534a0f4e49769f39090096c25)
und diese Folge erfüllt die Bedingung. Die harmonische Reihe ist aber nach
Beispiel 9.6 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024))
nicht konvergent und daher auch keine Cauchy-Folge.
Beweise den Satz über die Konvergenz der Exponentialreihe.
Lösung
Es sei
-
![{\displaystyle {}f(x)=x^{3}-5x^{2}-x+2\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3e2301015f91344f1237eec495df499b0ba5470)
Zeige, dass für alle
die folgende Beziehung gilt: Wenn
-
![{\displaystyle {}\vert {x+2}\vert \leq {\frac {1}{1000}}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8e9a748b057de0a82735a7259b9bca98b6275d4)
dann ist
-
![{\displaystyle {}\vert {f(x)-f(-2)}\vert \leq {\frac {1}{20}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14c1400fb3b6819da2736ee2ad74dc5d7305c53c)
Lösung
Unter der Bedingung
-
![{\displaystyle {}\vert {x+2}\vert \leq {\frac {1}{1000}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15f627b036d5c8ae22d726f3c13fd0f00fa33e98)
ist
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}\vert {f(x)-f(-2)}\vert &=\vert {x^{3}-5x^{2}-x+2-{\left((-2)^{3}-5\cdot (-2)^{2}-(-2)+2\right)}}\vert \\&=\vert {x^{3}-5x^{2}-x+2-(-2)^{3}+5\cdot (-2)^{2}-2-2}\vert \\&=\vert {x^{3}-(-2)^{3}-5{\left(x^{2}-(-2)^{2}\right)}-x-2}\vert \\&\leq \vert {x^{3}-(-2)^{3}}\vert +5\vert {x^{2}-(-2)^{2}}\vert +\vert {x+2}\vert \\&=\vert {x+2}\vert \cdot \vert {x^{2}-2x+(-2)^{2}}\vert +5\vert {x+2}\vert \cdot \vert {x-2}\vert +\vert {x+2}\vert \\&\leq {\frac {1}{1000}}\cdot \vert {x^{2}-2x+(-2)^{2}}\vert +{\frac {5}{1000}}\cdot \vert {x-2}\vert +{\frac {1}{1000}}\\&\leq {\frac {1}{1000}}\cdot \vert {9+6+4}\vert +{\frac {5}{1000}}\cdot 5+{\frac {1}{1000}}\\&={\frac {45}{1000}}\\&\leq {\frac {1}{20}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a52dc8e1b26a4bc8e590d03455c452a149ee4ec)
Beweise die Produktregel für differenzierbare Funktionen mit Hilfe der linearen Approximierbarkeit.
Lösung
Wir gehen von
-
![{\displaystyle {}f(x)=f(a)+s(x-a)+r(x)(x-a)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50d8e5719f01bb2908781b5780aa174e849b9b26)
und
-
![{\displaystyle {}g(x)=g(a)+{\tilde {s}}(x-a)+{\tilde {r}}(x)(x-a)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89f38aa82a197bb157951afdc6004d4d87f93edf)
aus, wobei die Bedingungen aus der linearen Approximierbarkeit erfüllt sein sollen, und multiplizieren die beiden Gleichungen. Dies führt zu
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}f(x)g(x)&=(f(a)+s(x-a)+r(x)(x-a))(g(a)+{\tilde {s}}(x-a)+{\tilde {r}}(x)(x-a))\\&=f(a)g(a)+(sg(a)+{\tilde {s}}f(a))(x-a)\\&\,\,\,\,\,+(f(a){\tilde {r}}(x)+g(a)r(x)+s{\tilde {s}}(x-a)+s{\tilde {r}}(x)(x-a)+{\tilde {s}}r(x)(x-a)+r(x){\tilde {r}}(x)(x-a))(x-a).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4a4ea48f054b326c6cfcffc8e21ee372507e29e)
Aufgrund von
[[Funktion/K/Grenzwert/Epsilon/Rechenregeln/Fakt|Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)/Funktion/K/Grenzwert/Epsilon/Rechenregeln/Fakt/Faktreferenznummer (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024))]]
für
Limiten
ist die aus der letzten Zeile ablesbare Funktion stetig mit dem Wert
für
.
Es sei
und
.
a) Bestimme die
Ableitung
von
und von
.
b) Berechne die
Hintereinanderschaltung
.
c) Bestimme die Ableitung von
mit Hilfe von Teil b).
d) Bestimme die Ableitung von
mittels der
Kettenregel.
Lösung
a) Nach der Quotientenregel ist
-
![{\displaystyle {}f'(x)={\frac {2xx-(x^{2}-1)}{x^{2}}}={\frac {x^{2}+1}{x^{2}}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7fcae444f237dc33e06dd7e9dd0e1fb701275c7)
und
-
![{\displaystyle {}g'(y)={\frac {2y(y-1)-y^{2}}{(y-1)^{2}}}={\frac {y^{2}-2y}{y^{2}-2y+1}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9322bcd6b58a44c1aa2e299c03d4604eed1674f)
b) Es ist
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}g(f(x))&={\frac {{\left({\frac {x^{2}-1}{x}}\right)}^{2}}{{\frac {x^{2}-1}{x}}-1}}\\&={\frac {{\left(x^{2}-1\right)}^{2}}{x(x^{2}-1)-x^{2}}}\\&={\frac {x^{4}-2x^{2}+1}{x^{3}-x^{2}-x}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a1b07b51ad9d9e5979a5d975d0e6b4d7f05ce82)
c) Die Ableitung von
-
![{\displaystyle {}h(x)={\frac {x^{4}-2x^{2}+1}{x^{3}-x^{2}-x}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87c3a2941536b53682e4c538f926091b80ff63bf)
ist
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}h'(x)&={\frac {{\left(4x^{3}-4x\right)}{\left(x^{3}-x^{2}-x\right)}-{\left(x^{4}-2x^{2}+1\right)}{\left(3x^{2}-2x-1\right)}}{{\left(x^{3}-x^{2}-x\right)}^{2}}}\\&={\frac {4x^{6}-4x^{5}-4x^{4}-4x^{4}+4x^{3}+4x^{2}-{\left(3x^{6}-2x^{5}-x^{4}-6x^{4}+4x^{3}+2x^{2}+3x^{2}-2x-1\right)}}{x^{2}{\left(x^{2}-x-1\right)}^{2}}}\\&={\frac {x^{6}-2x^{5}-x^{4}-x^{2}+2x+1}{x^{2}{\left(x^{4}+x^{2}+1-2x^{3}-2x^{2}+2x\right)}}}\\&={\frac {x^{6}-2x^{5}-x^{4}-x^{2}+2x+1}{x^{6}-2x^{5}-x^{4}+2x^{3}+x^{2}}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1910c9a549380a88904d40ff47102091e6148091)
d) Es ist
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}g'(f(x))f'(x)&={\frac {{\left({\frac {x^{2}-1}{x}}\right)}^{2}-2{\frac {x^{2}-1}{x}}}{{\left({\frac {x^{2}-1}{x}}\right)}^{2}-2{\frac {x^{2}-1}{x}}+1}}\cdot {\frac {x^{2}+1}{x^{2}}}\\&={\frac {{\left(x^{2}-1\right)}^{2}-2{\left(x^{2}-1\right)}x}{{\left(x^{2}-1\right)}^{2}-2{\left(x^{2}-1\right)}x+x^{2}}}\cdot {\frac {x^{2}+1}{x^{2}}}\\&={\frac {x^{4}-2x^{2}+1-2x^{3}+2x}{x^{4}-2x^{2}+1-2x^{3}+2x+x^{2}}}\cdot {\frac {x^{2}+1}{x^{2}}}\\&={\frac {x^{4}-2x^{3}-2x^{2}+2x+1}{x^{4}-2x^{3}-x^{2}+2x+1}}\cdot {\frac {x^{2}+1}{x^{2}}}\\&={\frac {x^{6}-2x^{5}-x^{4}-x^{2}+2x+1}{x^{6}-2x^{5}-x^{4}+2x^{3}+x^{2}}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6755426f0c721eb61d3a5ccc36291230cad62ce0)
Wir betrachten die Funktion
-
![{\displaystyle {}F(x)=x^{4}-x^{3}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e7647cdd42023a67fb326a0bbb8ec9e942e6809)
- Bestimme die Nullstellen der Funktion.
- Bestimme, in welchen Abschnitten die Funktion positiv bzw. negativ ist.
- Bestimme die Extrema der Funktion.
Lösung
- Es ist
-
![{\displaystyle {}x^{4}-x^{3}=x^{3}(x-1)\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88a4b1112b66b7b2a566cb3cd8d8b6dbef841915)
Deshalb gibt es die beiden Nullstellen
und
.
- Wir arbeiten weiter mit der Faktorzerlegung
-
![{\displaystyle {}x^{4}-x^{3}=x^{3}(x-1)\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88a4b1112b66b7b2a566cb3cd8d8b6dbef841915)
Für negatives
sind beide Faktoren negativ, daher ist ihr Produkt positiv. Für
ist der Faktor
positiv und der Faktor
negativ, auf diesem Intervall ist also die Funktion negativ. Für
sind beide Faktoren positiv und somit ist die Funktion in diesem Abschnitt positiv.
- Es ist
-
![{\displaystyle {}F'(x)=4x^{3}-3x^{2}=x^{2}(4x-3)=4x^{2}{\left(x-{\frac {3}{4}}\right)}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b4f3b470b6b4e87cb907553fe273ba46fb72a92)
Die Nullstellen der Ableitung sind also
und
.
Bei
gibt es kein Extremum, da dort nach Teil (2) ein Übergang von positiv nach negativ stattfindet. Bei
ziehen wir die zweite Ableitung heran, diese ist
-
![{\displaystyle {}F^{\prime \prime }(x)=12x^{2}-6x=6x(2x-1)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab8bfdd336950b0b3fc43f42a453efbdc5476d24)
und hat wegen
-
![{\displaystyle {}2\cdot {\frac {3}{4}}-1={\frac {1}{2}}>0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c3bb96441e186c9b95c4ffae8c46b330637252e)
dort einen positiven Wert. Also liegt in
ein lokales Minimum vor, das wegen der Überlegungen aus Teil (2) auch ein absolutes Minimum ist.
Bestimme das
Taylor-Polynom
der Ordnung
zur
rationalen Funktion
-
im Entwicklungspunkt
.
Lösung
Nach der Quotientenregel ist
-
![{\displaystyle {}f'(x)={\frac {(2x+6)(4x+4)-4(x^{2}+6x+1)}{(4x+4)^{2}}}={\frac {4x^{2}+8x+20}{16(x^{2}+2x+1)}}={\frac {x^{2}+2x+5}{4(x^{2}+2x+1)}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/faf29f185166e33c1b104cbd330145662ac55d37)
und
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}f^{\prime \prime }(x)&={\frac {4(2x+2)(x^{2}+2x+1)-4(x^{2}+2x+5)(2x+2)}{16(x^{2}+2x+1)^{2}}}\\&={\frac {(2x+2){\left((x^{2}+2x+1)-(x^{2}+2x+5)\right)}}{4(x^{2}+2x+1)^{2}}}\\&=-{\frac {2x+2}{(x^{2}+2x+1)^{2}}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53cfcd7d6c6603a05e448d0b06a145d80b6f938a)
Es ist
-
![{\displaystyle {}f(1)=1\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59ed74c7710e1380a86f8ab7396a26ba65268663)
-
![{\displaystyle {}f'(1)={\frac {1}{2}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53418c2cca2b9e0d46d6f257700a68787ad6bf10)
und
-
![{\displaystyle {}f^{\prime \prime }(1)={\frac {-4}{16}}=-{\frac {1}{4}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2710fc8f3f91ecfbe7b149fcef923c58c97d4da)
Somit ist das gesuchte Taylor-Polynom gleich
-
Bestimme eine
Stammfunktion
zu
-
![{\displaystyle {}f(x)=x^{2}\ln x\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a9b8b581788834eddd5864177aa82cecaa6aec)
auf
.
Lösung
Mit partieller Integration erhält man die Beziehung
-
![{\displaystyle {}\int _{a}^{b}x^{2}\ln xdx=\left({\frac {1}{3}}x^{3}\ln x\right)|_{a}^{b}-\int _{a}^{b}{\frac {1}{3}}x^{2}dx\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d6cc9a4cedabd545ffaaaa2df85bdd6f49b4ee4)
und daher ist
-
eine Stammfunktion zu
.
Löse das
inhomogene Gleichungssystem
-
Lösung
Wir eliminieren zuerst die Variable
, indem wir die zweite Gleichung dreimal von der ersten Gleichung abziehen. Dies führt auf
-
Nun eliminieren wir die Variable
, indem wir
(bezogen auf das vorhergehende System)
und
ausrechnen. Dies führt auf
-
Mit
ergibt sich
-
![{\displaystyle {}-8z=10\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20f09ed830ccb31bde6194b30fbd2ac2c0c919ef)
und
-
![{\displaystyle {}z=-{\frac {5}{4}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60e9ac4b5173bf53c76658fbec6b2fd7f160ca5d)
Rückwärts gelesen ergibt sich
-
![{\displaystyle {}y={\frac {19}{20}}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e98957a8ced6b27c01e523733c186192f2c6cdf)
-
![{\displaystyle {}w={\frac {33}{20}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c92a97a8e9429dd208f8c5567d3874996f92efd)
und
-
![{\displaystyle {}x={\frac {67}{20}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c4c3f8d175e02a26d6bd3ed4a3242cdfe97b86b)
Es sei
der
Körper mit zwei Elementen.
Bestimme die
Dimension
des von den Vektoren
-
erzeugten
Untervektorraumes
des
.
Lösung
Bestimme die
inverse Matrix
zu
-
Lösung
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Es sei
ein
Körper und
.
Zeige, dass die
Determinante
-
für beliebiges
und beliebige
Vektoren
,
für
und für
die Gleichheit
-
![{\displaystyle {}\det {\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{k-1}\\su\\v_{k+1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}=s\det {\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{k-1}\\u\\v_{k+1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2d3615b5dab9dcafc455071912c944ea0a0ce98)
gilt.
Lösung
Wir beweisen die Aussage durch Induktion nach
, wobei der Fall
klar ist. Es sei
-
![{\displaystyle {}M={\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{k-1}\\u\\v_{k+1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be0192869ad14956a2defa0a0c68beaf6d655068)
wobei wir die Einträge mit
bezeichnen, und
-
![{\displaystyle {}M'={\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{k-1}\\su\\v_{k+1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e1e50cc47145a9ee90d82805cf9397d7043ddca)
wobei wir die Einträge mit
bezeichnen. Für
ist
und nach Induktionsvoraussetzung ist
-
![{\displaystyle {}\det M'_{i}=s\det M_{i}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1600a99046aad7b638deeaa594465c8f3855afc)
Für
ist
und
-
![{\displaystyle {}M'_{k}=M_{k}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72ae0c16d90671e365302e148a4cfadcb766bc6b)
Insgesamt ist somit
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}\det M'&=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+1}{a'}_{i1}\det M'_{i}\\&=\sum _{i=1,\,i\neq k}^{n}(-1)^{i+1}{a'}_{i1}\det M'_{i}+(-1)^{k+1}{a'}_{k1}\det M'_{k}\\&=\sum _{i=1,\,i\neq k}^{n}(-1)^{i+1}{a}_{i1}s\det M_{i}+(-1)^{k+1}s{a}_{k1}\det M_{k}\\&=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+1}s{a}_{i1}\det M_{i}\\&=s\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+1}{a}_{i1}\det M_{i}\\&=s\det M.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c86d3cb6bbb449cb69f1ccfbf36abd0b9e840881)